7. (★★)如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的点，$∠ ADC=115°$，则$∠ BAC$的度数是
【 】

A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
（第7题）

A

【分析】
解题时首先观察题干条件：AB是$\odot O$的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ACB=90°$，即$△ ACB$是直角三角形，要求$∠ BAC$，只需要先求出$∠ ABC$的度数即可；已知$∠ ADC=115°$，且四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出$∠ ABC$的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出$∠ BAC$的度数。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
$\because$四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ ADC + ∠ ABC = 180°$（圆内接四边形对角互补），
$\because ∠ ADC=115°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-115°=65°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ BAC + ∠ ABC =90°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-65°=25°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补、直径所对圆周角为直角的性质，结合直角三角形两锐角互余的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7

8. (★★)如图，BD是$\odot O$的直径，点A，C在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，AC交BD于点G. 若$∠ COD=126°$，则$∠ AGB$的度数为 【 】

A.$99°$
B.$108°$
C.$110°$
D.$117°$

A

1. 因为BD是⊙O的直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，所以$∠ BAD=90°$，$∠ ABD=∠ ADB=45°$。
2. 由$∠ COD=126°$，可得$∠ BOC=180°-∠ COD=54°$，根据圆周角定理，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=27°$。
3. 在$△ AGB$中，由三角形内角和定理得$∠ AGB=180°-∠ BAC-∠ ABD=180°-27°-45°=99°$。

9. (★★)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB是直径,C为$\overset{\frown}{BD}$的中点,延长AD,BC交于点P,连接AC.
(1)求证:$AB=AP$;
(2)当$AB=10,DP=2$时,求线段CP的长.

(1) 证明：
∵ C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ BAC = ∠ CAD$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，即$AC⊥ BP$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACP = 90°$。
在$△ ABC$和$△ APC$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ PAC \\AC = AC \\∠ ACB = ∠ ACP\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ APC \ (\mathrm{ASA})$，
∴ $AB = AP$。
---
(2) 解：
由(1)得$AB = AP = 10$，
∵ $DP=2$，
∴ $AD = AP - DP = 10 - 2 = 8$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB = 90°$，即$△ ADB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$
∵ $∠ BDP = 180° - ∠ ADB = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDP$中：
$BP = \sqrt{BD^2 + DP^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$
由$△ ABC ≌ △ APC$得$BC=CP$，
∴ $CP = \frac{1}{2}BP = \sqrt{10}$。
答：线段$CP$的长为$\sqrt{10}$。

【分析】
(1) 要证明$AB=AP$，可通过证明$△ ABC$和$△ APC$全等来推导。首先根据弧中点的性质，等弧对应的圆周角相等，可得$∠ BAC=∠ CAD$；再结合AB是圆的直径，直径所对的圆周角为直角，可得$AC⊥ BP$，即$∠ ACB=∠ ACP=90°$，加上公共边$AC$，即可通过ASA判定两三角形全等，进而得到$AB=AP$。
(2) 求$CP$的长度时，首先由(1)的结论得$AP=AB=10$，先计算出$AD$的长度；再利用直径所对圆周角为直角，得到$△ ABD$是直角三角形，用勾股定理算出$BD$的长；接着可推出$△ BDP$也是直角三角形，用勾股定理算出$BP$的长；最后根据全等三角形对应边相等得$BC=CP$，即$CP$为$BP$的一半，即可求出$CP$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ BAC = ∠ CAD$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，即$AC⊥ BP$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACP = 90°$。
在$△ ABC$和$△ APC$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ PAC \\AC = AC \\∠ ACB = ∠ ACP\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ APC \ (\mathrm{ASA})$，
∴ $AB = AP$。
(2) 解：
由(1)得$AB = AP = 10$，
∵ $DP=2$，
∴ $AD = AP - DP = 10 - 2 = 8$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB = 90°$，即$△ ADB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$
∵ $∠ BDP = 180° - ∠ ADB = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDP$中：
$BP = \sqrt{BD^2 + DP^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$
由$△ ABC ≌ △ APC$得$BC=CP$，
∴ $CP = \frac{1}{2}BP = \sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\sqrt{10}$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的关键是熟练运用弧与圆周角的对应关系、直径的性质，结合全等三角形和勾股定理进行推导计算，侧重考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

10. (★★)如图, 四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,∠ADB=∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;
(2)若AB=$\sqrt{2}$,AD=1,求CD的长.

(1) $△ ABC$是等腰直角三角形，证明如下：
证明：
$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
$\because ∠ ADB=∠ ACB$，$∠ CDB=∠ CAB$（同弧所对的圆周角相等），
又$\because ∠ ADB=∠ CDB$，
$\therefore ∠ ACB=∠ CAB$，
$\therefore AB=BC$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形。
---
(2) 求$CD$的长：
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$
$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=1$，$AC=2$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
综上，$CD$的长为$\sqrt{3}$。

【分析】
(1) 判断△ABC的形状可分两步思考：首先由AC是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可直接得到∠ABC=90°，确定△ABC是直角三角形；再结合已知∠ADB=∠CDB，利用同弧所对圆周角相等的性质，将这两个角转化为△ABC的内角∠ACB和∠CAB，等量代换得到两角相等，即可推出AB=BC，最终确定三角形的形状。
(2) 求CD的长时，先借助第(1)问的等腰直角三角形结论，用勾股定理求出直径AC的长度；再根据直径所对圆周角为直角，得到∠ADC=90°，最后在Rt△ADC中用勾股定理计算即可得到CD的长度。
【解析】
(1) △ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵ AC为⊙O的直径，
∴ ∠ABC=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵ 同弧所对的圆周角相等，∠ADB与∠ACB同对弧AB，∠CDB与∠CAB同对弧CB，
∴ ∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
又
∵ ∠ADB=∠CDB，
∴ ∠ACB=∠CAB，
∴ AB=BC，
∴ △ABC是等腰直角三角形。
(2) 求CD的长：
在Rt△ABC中，AB=BC=√2，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$，
∵ AC为⊙O的直径，
∴ ∠ADC=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) △ABC是等腰直角三角形；(2) CD的长为$\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质与直角三角形计算结合的基础题型，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，结合勾股定理求解边长，属于圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7