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1. (★★)如图，$\odot O$是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形ABC的外接圆，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接BD，CD。以点D为圆心，BD的长为半径在$\odot O$内画弧，则阴影部分的面积为 【 】
A.$\frac{8π}{3}$
B.$4π$
C.$\frac{16π}{3}$
D.$16π$
A.$\frac{8π}{3}$
B.$4π$
C.$\frac{16π}{3}$
D.$16π$
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先结合等边三角形的性质求其外接圆的直径，再利用直径所对圆周角为直角、角平分线的性质求出BD的长度；第二步根据圆内接四边形对角互补求出圆心角∠BDC的度数；第三步观察图形，发现阴影部分面积可等价转化为以D为圆心、BD为半径的扇形面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求等边△ABC外接圆的半径：
等边△ABC的边长为$4\sqrt{3}$，它的高为$\frac{\sqrt{3}}{2} × 4\sqrt{3}=6$，等边三角形外接圆半径为高的$\frac{2}{3}$，因此外接圆半径$R=6 × \frac{2}{3}=4$，直径$AD=2R=8$。
2. 求BD的长度：
因为D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以AD平分∠BAC，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。又AD是直径，直径所对圆周角为直角，故$∠ ABD=90°$。在$Rt△ ABD$中，$BD=AD · \sin30°=8 × \frac{1}{2}=4$。
3. 求∠BDC的度数：
四边形ABDC是⊙O的内接四边形，对角互补，因此$∠ BDC=180°-∠ BAC=180°-60°=120°$。
4. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积等于圆心角为$120°$、半径为BD=4的扇形DBC的面积，代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S=\frac{120π × 4^2}{360}=\frac{16π}{3}$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，圆的有关性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于圆与几何图形结合的常规面积计算题，解题核心是通过割补法将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，需要熟练掌握等边三角形外接圆特点、圆周角相关定理和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步先结合等边三角形的性质求其外接圆的直径，再利用直径所对圆周角为直角、角平分线的性质求出BD的长度；第二步根据圆内接四边形对角互补求出圆心角∠BDC的度数；第三步观察图形，发现阴影部分面积可等价转化为以D为圆心、BD为半径的扇形面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求等边△ABC外接圆的半径：
等边△ABC的边长为$4\sqrt{3}$，它的高为$\frac{\sqrt{3}}{2} × 4\sqrt{3}=6$，等边三角形外接圆半径为高的$\frac{2}{3}$，因此外接圆半径$R=6 × \frac{2}{3}=4$，直径$AD=2R=8$。
2. 求BD的长度：
因为D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以AD平分∠BAC，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。又AD是直径，直径所对圆周角为直角，故$∠ ABD=90°$。在$Rt△ ABD$中，$BD=AD · \sin30°=8 × \frac{1}{2}=4$。
3. 求∠BDC的度数：
四边形ABDC是⊙O的内接四边形，对角互补，因此$∠ BDC=180°-∠ BAC=180°-60°=120°$。
4. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积等于圆心角为$120°$、半径为BD=4的扇形DBC的面积，代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S=\frac{120π × 4^2}{360}=\frac{16π}{3}$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，圆的有关性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于圆与几何图形结合的常规面积计算题，解题核心是通过割补法将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，需要熟练掌握等边三角形外接圆特点、圆周角相关定理和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
2. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$∠ C=70°$,以$AB$为直径作半圆,分别与$AC$,$BC$相交于点$D$,$E$,则$\overset{\frown}{DE}$的长度为 【 】
A.$\frac{π}{9}$
B.$\frac{5π}{9}$
C.$\frac{10π}{9}$
D.$\frac{25π}{9}$
A.$\frac{π}{9}$
B.$\frac{5π}{9}$
C.$\frac{10π}{9}$
D.$\frac{25π}{9}$
答案
C
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长度，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此解题分两步进行：首先确定半圆的半径，再求出弧$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角度数，最后代入公式计算即可。先由$AB$是直径、$AB=10$可直接得到半径$r=5$；再利用等腰三角形性质求出$△ ABC$各内角度数，结合同圆半径相等得到等腰$△ OAD$、等腰$△ OBE$，分别求出它们的顶角$∠ AOD$、$∠ BOE$的度数，用平角$180°$减去这两个角的度数即可得到弧$\overset{\frown}{DE}$的圆心角$∠ DOE$的度数，代入公式即可算出结果。
【解析】
连接$OD$、$OE$：
1. $\because AB=AC=10$，$∠ C=70°$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=70°$，$∠ BAC=180°-70°×2=40°$
2. $\because AB$是半圆$O$的直径
$\therefore$半圆的半径$OA=OD=OE=OB=\frac{1}{2}AB=5$
3. $\because OA=OD$，$∠ OAD=∠ BAC=40°$
$\therefore ∠ ODA=∠ OAD=40°$，$∠ AOD=180°-40°×2=100°$
4. $\because OB=OE$，$∠ OBE=∠ ABC=70°$
$\therefore ∠ OEB=∠ OBE=70°$，$∠ BOE=180°-70°×2=40°$
5. $\therefore ∠ DOE=180°-∠ AOD-∠ BOE=180°-100°-40°=40°$
6. 代入弧长公式得：$\overset{\frown}{DE}$的长度$=\frac{40π×5}{180}=\frac{10π}{9}$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题，解题的关键是正确作出辅助线，求出弧对应的圆心角度数，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长度，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此解题分两步进行：首先确定半圆的半径，再求出弧$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角度数，最后代入公式计算即可。先由$AB$是直径、$AB=10$可直接得到半径$r=5$；再利用等腰三角形性质求出$△ ABC$各内角度数，结合同圆半径相等得到等腰$△ OAD$、等腰$△ OBE$，分别求出它们的顶角$∠ AOD$、$∠ BOE$的度数，用平角$180°$减去这两个角的度数即可得到弧$\overset{\frown}{DE}$的圆心角$∠ DOE$的度数，代入公式即可算出结果。
【解析】
连接$OD$、$OE$：
1. $\because AB=AC=10$，$∠ C=70°$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=70°$，$∠ BAC=180°-70°×2=40°$
2. $\because AB$是半圆$O$的直径
$\therefore$半圆的半径$OA=OD=OE=OB=\frac{1}{2}AB=5$
3. $\because OA=OD$，$∠ OAD=∠ BAC=40°$
$\therefore ∠ ODA=∠ OAD=40°$，$∠ AOD=180°-40°×2=100°$
4. $\because OB=OE$，$∠ OBE=∠ ABC=70°$
$\therefore ∠ OEB=∠ OBE=70°$，$∠ BOE=180°-70°×2=40°$
5. $\therefore ∠ DOE=180°-∠ AOD-∠ BOE=180°-100°-40°=40°$
6. 代入弧长公式得：$\overset{\frown}{DE}$的长度$=\frac{40π×5}{180}=\frac{10π}{9}$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题，解题的关键是正确作出辅助线，求出弧对应的圆心角度数，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
3. (★★)如图,已知一块圆心角为$270°$的扇形铁皮,用它作一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径长是60 cm,则这块扇形铁皮的半径长是 【 】
A.40 cm
B.50 cm
C.60 cm
D.80 cm
A.40 cm
B.50 cm
C.60 cm
D.80 cm
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是理解圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先计算圆锥底面周长得到扇形弧长，再结合扇形弧长公式列方程求解扇形半径即可。
【解析】
首先计算圆锥底面圆的周长，也就是扇形的弧长：
已知圆锥底面直径为60cm，因此底面周长 $ C = π d = 60π \, \mathrm{cm} $，即扇形弧长 $ l = 60π \, \mathrm{cm} $。
设扇形铁皮的半径为 $ R \, \mathrm{cm} $，扇形圆心角 $ n=270° $，根据扇形弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $，代入已知量得：
$ 60π = \frac{270π R}{180} $
两边同时约去 $ π $，化简得：
$ 60 = \frac{3R}{2} $
解得 $ R = 40 $。
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长公式、圆的周长计算
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础题型，解题关键是找准展开图和原几何体之间的等量关系，公式记忆准确的情况下很容易得出结果。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是理解圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先计算圆锥底面周长得到扇形弧长，再结合扇形弧长公式列方程求解扇形半径即可。
【解析】
首先计算圆锥底面圆的周长，也就是扇形的弧长：
已知圆锥底面直径为60cm，因此底面周长 $ C = π d = 60π \, \mathrm{cm} $，即扇形弧长 $ l = 60π \, \mathrm{cm} $。
设扇形铁皮的半径为 $ R \, \mathrm{cm} $，扇形圆心角 $ n=270° $，根据扇形弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $，代入已知量得：
$ 60π = \frac{270π R}{180} $
两边同时约去 $ π $，化简得：
$ 60 = \frac{3R}{2} $
解得 $ R = 40 $。
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长公式、圆的周长计算
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础题型，解题关键是找准展开图和原几何体之间的等量关系，公式记忆准确的情况下很容易得出结果。
【难度系数】
0.7
4. (★★)如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，半径长为4，连接$OA$，$OB$，$OC$。若$∠ CAO = 40°$，$∠ ACB = 70°$，则阴影部分的面积是 【 】
A.$\dfrac{4π}{3}$
B.$\dfrac{8π}{3}$
C.$\dfrac{16π}{3}$
D.$\dfrac{32π}{3}$
A.$\dfrac{4π}{3}$
B.$\dfrac{8π}{3}$
C.$\dfrac{16π}{3}$
D.$\dfrac{32π}{3}$
答案
C
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分对应圆心角为∠BOC的扇形OBC，因此解题的核心是求出∠BOC的度数，再代入扇形面积公式计算即可。首先利用“同圆半径相等”得到OA=OC，结合已知∠CAO=40°求出∠OCA的度数，再结合∠ACB=70°求出∠OCB的度数，再由OB=OC得到∠OBC=∠OCB，利用三角形内角和求出圆心角∠BOC的度数，最后代入扇形面积公式计算得到结果。
【解析】
∵ OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴ OA=OC，即$△ OAC$为等腰三角形，
∴ $∠ OCA=∠ CAO=40°$，
又
∵ $∠ ACB=70°$，
∴ $∠ OCB=∠ ACB - ∠ OCA=70° - 40°=30°$，
∵ OB、OC均为$\odot O$的半径，
∴ OB=OC，即$△ OBC$为等腰三角形，
∴ $∠ OBC=∠ OCB=30°$，
在$△ OBC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180° - ∠ OBC - ∠ OCB=180° - 30° - 30°=120°$，
已知$\odot O$半径$r=4$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数），
阴影部分面积等于扇形OBC的面积，代入得：
$S_{阴影}=\frac{120π × 4^2}{360}=\frac{120π × 16}{360}=\frac{16π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题关键是结合等腰三角形性质求出扇形的圆心角度数，能准确识别阴影部分对应的是扇形即可快速求解，需要熟练掌握扇形面积公式的应用。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分对应圆心角为∠BOC的扇形OBC，因此解题的核心是求出∠BOC的度数，再代入扇形面积公式计算即可。首先利用“同圆半径相等”得到OA=OC，结合已知∠CAO=40°求出∠OCA的度数，再结合∠ACB=70°求出∠OCB的度数，再由OB=OC得到∠OBC=∠OCB，利用三角形内角和求出圆心角∠BOC的度数，最后代入扇形面积公式计算得到结果。
【解析】
∵ OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴ OA=OC，即$△ OAC$为等腰三角形，
∴ $∠ OCA=∠ CAO=40°$，
又
∵ $∠ ACB=70°$，
∴ $∠ OCB=∠ ACB - ∠ OCA=70° - 40°=30°$，
∵ OB、OC均为$\odot O$的半径，
∴ OB=OC，即$△ OBC$为等腰三角形，
∴ $∠ OBC=∠ OCB=30°$，
在$△ OBC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180° - ∠ OBC - ∠ OCB=180° - 30° - 30°=120°$，
已知$\odot O$半径$r=4$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数），
阴影部分面积等于扇形OBC的面积，代入得：
$S_{阴影}=\frac{120π × 4^2}{360}=\frac{120π × 16}{360}=\frac{16π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题关键是结合等腰三角形性质求出扇形的圆心角度数，能准确识别阴影部分对应的是扇形即可快速求解，需要熟练掌握扇形面积公式的应用。
【难度系数】
0.7
5. (★★)(2025·成都)如图，$\odot O$的半径长为1，A，B，C是$\odot O$上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为.
答案
$\boldsymbol{\frac{π}{3}}$
解析
【分析】
要计算阴影部分的不规则面积，优先考虑割补法转化为规则图形面积求解：首先结合已知条件，四边形OABC是平行四边形且OA、OC均为圆的半径，可判定OABC是菱形，四条边都等于半径1；再结合点B在圆上，可推出△OAB、△OBC都是等边三角形，得到圆心角∠AOC=120°；最后利用平行线间距离相等，可知△ABC和△OAC面积相等，因此阴影部分面积可等价转化为扇形OAC的面积，代入扇形面积公式即可求解。
【解析】
连接OB，
∵ 四边形OABC是平行四边形，⊙O的半径为1，
∴ OA=OC=1，AB=OC，BC=OA，即AB=BC=OA=OC=1，平行四边形OABC为菱形。
又
∵ 点B在⊙O上，
∴ OB=OA=AB=BC=OC=1，
∴ △OAB、△OBC均为等边三角形，∠AOB=∠BOC=60°，
∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。
∵ AB//OC，
∴ 点B和点O到直线AC的距离相等，即$S_{△ ABC}=S_{△ OAC}$。
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAC}-S_{△ OAC}+S_{△ ABC}=S_{扇形OAC}=\frac{120π × 1^2}{360}=\frac{π}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{π}{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质；扇形面积计算；圆的基本性质
【点评】
本题是典型的不规则面积计算问题，核心是利用割补法将阴影面积转化为规则扇形面积，解题的关键是结合平行四边形和圆的性质推导角度关系，找到面积相等的三角形完成转化。
【难度系数】
0.6
要计算阴影部分的不规则面积，优先考虑割补法转化为规则图形面积求解：首先结合已知条件，四边形OABC是平行四边形且OA、OC均为圆的半径，可判定OABC是菱形，四条边都等于半径1；再结合点B在圆上，可推出△OAB、△OBC都是等边三角形，得到圆心角∠AOC=120°；最后利用平行线间距离相等，可知△ABC和△OAC面积相等，因此阴影部分面积可等价转化为扇形OAC的面积，代入扇形面积公式即可求解。
【解析】
连接OB，
∵ 四边形OABC是平行四边形，⊙O的半径为1，
∴ OA=OC=1，AB=OC，BC=OA，即AB=BC=OA=OC=1，平行四边形OABC为菱形。
又
∵ 点B在⊙O上，
∴ OB=OA=AB=BC=OC=1，
∴ △OAB、△OBC均为等边三角形，∠AOB=∠BOC=60°，
∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。
∵ AB//OC，
∴ 点B和点O到直线AC的距离相等，即$S_{△ ABC}=S_{△ OAC}$。
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAC}-S_{△ OAC}+S_{△ ABC}=S_{扇形OAC}=\frac{120π × 1^2}{360}=\frac{π}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{π}{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质；扇形面积计算；圆的基本性质
【点评】
本题是典型的不规则面积计算问题，核心是利用割补法将阴影面积转化为规则扇形面积，解题的关键是结合平行四边形和圆的性质推导角度关系，找到面积相等的三角形完成转化。
【难度系数】
0.6
6. (★★)如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,FB的长为半径作$\overset{\frown}{BD}$,剪下图中阴影部分作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径长为.
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决本题需分三步思考：①先利用正六边形的内角性质、等腰三角形的性质求出扇形的半径FB的长度；②再求出扇形BFD的圆心角∠BFD的度数；③最后根据“圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一等量关系，列方程求出底面半径。
【解析】
解：
∵正六边形的每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且各边长相等，
∴$AF=AB=BC=CD=DE=EF=6$。
过点A作$AG⊥ FB$于点G，
∵$AF=AB$，$∠ BAF=120°$，
∴$∠ FAG=\frac{1}{2}∠ BAF=60°$，$FG=GB$。
在$Rt△ AFG$中，$FG=AF·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴$FB=2FG=6\sqrt{3}$，同理可得$FD=6\sqrt{3}$。
同理，在$△ BCD$中可求得$BD=6\sqrt{3}$，
∴$FB=FD=BD=6\sqrt{3}$，即$△ FBD$为等边三角形，
∴圆心角$∠ BFD=60°$。
∴$\overset{\frown}{BD}$的长度为：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{60π×6\sqrt{3}}{180}=2\sqrt{3}π$。
设圆锥的底面半径为$r$，
∵圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，
∴$2π r=2\sqrt{3}π$，
解得$r=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质，扇形弧长计算，圆锥的侧面展开图
【点评】
本题属于中等综合题，解题的关键是结合正六边形的性质求出扇形的半径和圆心角，熟练掌握圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系是计算的核心。
【难度系数】
0.6
要解决本题需分三步思考：①先利用正六边形的内角性质、等腰三角形的性质求出扇形的半径FB的长度；②再求出扇形BFD的圆心角∠BFD的度数；③最后根据“圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一等量关系，列方程求出底面半径。
【解析】
解：
∵正六边形的每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且各边长相等，
∴$AF=AB=BC=CD=DE=EF=6$。
过点A作$AG⊥ FB$于点G，
∵$AF=AB$，$∠ BAF=120°$，
∴$∠ FAG=\frac{1}{2}∠ BAF=60°$，$FG=GB$。
在$Rt△ AFG$中，$FG=AF·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴$FB=2FG=6\sqrt{3}$，同理可得$FD=6\sqrt{3}$。
同理，在$△ BCD$中可求得$BD=6\sqrt{3}$，
∴$FB=FD=BD=6\sqrt{3}$，即$△ FBD$为等边三角形，
∴圆心角$∠ BFD=60°$。
∴$\overset{\frown}{BD}$的长度为：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{60π×6\sqrt{3}}{180}=2\sqrt{3}π$。
设圆锥的底面半径为$r$，
∵圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，
∴$2π r=2\sqrt{3}π$，
解得$r=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质，扇形弧长计算，圆锥的侧面展开图
【点评】
本题属于中等综合题，解题的关键是结合正六边形的性质求出扇形的半径和圆心角，熟练掌握圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系是计算的核心。
【难度系数】
0.6
