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14. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,E$在$BC$上,$BD=CE$.过$A,D,E$三点作$\odot O$,连接$AO$并延长,交$BC$于点$F$.
(1)求证:$AF ⊥ BC$;
(2)若$AB=10$,$BC=12$,$BD=2$,求$\odot O$的半径长.
(1)求证:$AF ⊥ BC$;
(2)若$AB=10$,$BC=12$,$BD=2$,求$\odot O$的半径长.
答案
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠ B=∠ C \\BD=CE\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD=AE$，
∴ 点$A$在$DE$的垂直平分线上。
又∵ $O$是$\odot O$的圆心，$OD=OE$，
∴ 点$O$在$DE$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ $AF$垂直平分$DE$，
∴ $AF ⊥ BC$。
---
(2) 解：
∵ $AB=AC$，$AF ⊥ BC$，
∴ $BF = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 12 = 6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
∵ $BD=2$，
∴ $DF = BF - BD = 6 - 2 = 4$。
连接$OD$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OF = AF - AO = 8 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2 = OF^2 + DF^2$，
即 $r^2 = (8 - r)^2 + 4^2$，
展开化简得：$16r = 80$，
解得 $r=5$。
答：$\odot O$的半径长为$\boldsymbol{5}$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠ B=∠ C \\BD=CE\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD=AE$，
∴ 点$A$在$DE$的垂直平分线上。
又∵ $O$是$\odot O$的圆心，$OD=OE$，
∴ 点$O$在$DE$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ $AF$垂直平分$DE$，
∴ $AF ⊥ BC$。
---
(2) 解：
∵ $AB=AC$，$AF ⊥ BC$，
∴ $BF = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 12 = 6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
∵ $BD=2$，
∴ $DF = BF - BD = 6 - 2 = 4$。
连接$OD$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OF = AF - AO = 8 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2 = OF^2 + DF^2$，
即 $r^2 = (8 - r)^2 + 4^2$，
展开化简得：$16r = 80$，
解得 $r=5$。
答：$\odot O$的半径长为$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证明$AF⊥BC$，可先证$AF$是$DE$的垂直平分线：首先根据已知的$AB=AC$、$BD=CE$，通过SAS判定$△ ABD≌△ ACE$得到$AD=AE$，说明点$A$在$DE$的垂直平分线上；再结合圆心$O$到$D$、$E$的距离相等（均为圆的半径），说明$O$也在$DE$的垂直平分线上，因此$AF$为$DE$的垂直平分线，即可得$AF⊥BC$。
(2) 求$\odot O$的半径，首先利用等腰三角形三线合一求出$BF$的长度，再用勾股定理计算$AF$的长，接着求出$DF$的长度；连接$OD$后设半径为$r$，用$r$表示出$OF$的长度，在$\mathrm{Rt}△ ODF$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠ B=∠ C \\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=AE$，
$\therefore$点$A$在$DE$的垂直平分线上。
又$\because O$是$\odot O$的圆心，$OD=OE$，
$\therefore$点$O$在$DE$的垂直平分线上。
$\because$两点确定一条直线，
$\therefore AF$垂直平分$DE$，
$\therefore AF ⊥ BC$。
(2) 解：
$\because AB=AC$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore BF = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 12 = 6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
$\because BD=2$，
$\therefore DF = BF - BD = 6 - 2 = 4$。
连接$OD$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OF = AF - AO = 8 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2 = OF^2 + DF^2$，
即 $r^2 = (8 - r)^2 + 4^2$，
展开化简得：$16r = 80$，
解得 $r=5$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的常规题型，第一问借助垂直平分线的判定证明垂直，逻辑清晰；第二问运用方程思想结合勾股定理求解圆的半径，是圆中求线段长度的常用方法，需熟练掌握该类题型的解题思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AF⊥BC$，可先证$AF$是$DE$的垂直平分线：首先根据已知的$AB=AC$、$BD=CE$，通过SAS判定$△ ABD≌△ ACE$得到$AD=AE$，说明点$A$在$DE$的垂直平分线上；再结合圆心$O$到$D$、$E$的距离相等（均为圆的半径），说明$O$也在$DE$的垂直平分线上，因此$AF$为$DE$的垂直平分线，即可得$AF⊥BC$。
(2) 求$\odot O$的半径，首先利用等腰三角形三线合一求出$BF$的长度，再用勾股定理计算$AF$的长，接着求出$DF$的长度；连接$OD$后设半径为$r$，用$r$表示出$OF$的长度，在$\mathrm{Rt}△ ODF$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠ B=∠ C \\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=AE$，
$\therefore$点$A$在$DE$的垂直平分线上。
又$\because O$是$\odot O$的圆心，$OD=OE$，
$\therefore$点$O$在$DE$的垂直平分线上。
$\because$两点确定一条直线，
$\therefore AF$垂直平分$DE$，
$\therefore AF ⊥ BC$。
(2) 解：
$\because AB=AC$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore BF = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 12 = 6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
$\because BD=2$，
$\therefore DF = BF - BD = 6 - 2 = 4$。
连接$OD$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OF = AF - AO = 8 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2 = OF^2 + DF^2$，
即 $r^2 = (8 - r)^2 + 4^2$，
展开化简得：$16r = 80$，
解得 $r=5$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的常规题型，第一问借助垂直平分线的判定证明垂直，逻辑清晰；第二问运用方程思想结合勾股定理求解圆的半径，是圆中求线段长度的常用方法，需熟练掌握该类题型的解题思路。
【难度系数】
0.7
15. (★★)如图为桥洞的主截面,是由圆弧$\overset{\frown}{CD}$和矩形ABCD构成的.点O为$\overset{\frown}{CD}$所在$\odot O$的圆心,AB紧贴水面,圆心O在AB上.若桥洞跨度CD为8 m,拱高EF($OE ⊥$弦CD于点F)为2 m.
(1)求$\odot O$的半径长;
(2)若河里行驶来一艘主截面为矩形的船,其宽6 m,露出水面AB的高度为h m,求船恰好能通过桥洞时露出水面的高度h m(船通过时,水面高度无变化).
(1)求$\odot O$的半径长;
(2)若河里行驶来一艘主截面为矩形的船,其宽6 m,露出水面AB的高度为h m,求船恰好能通过桥洞时露出水面的高度h m(船通过时,水面高度无变化).
答案
解：
(1) 设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OD=OE=r\ \mathrm{m}$。
$\because OE⊥ CD$，$OE$过圆心$O$，$CD=8\ \mathrm{m}$，
$\therefore DF=\dfrac{1}{2}CD=4\ \mathrm{m}$。
$\because EF=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore OF=OE-EF=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2=OF^2+DF^2$
即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
解得$r=5$。
$\therefore \odot O$的半径长为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 设船的主截面矩形的上边两端点$M$、$N$在圆弧$\overset{\frown}{CD}$上，$MN// AB$，$MN=6\ \mathrm{m}$。
过点$O$作$OG⊥ MN$于点$G$，连接$OM$。
$\because OM=5\ \mathrm{m}$，$OG⊥ MN$，
$\therefore MG=\dfrac{1}{2}MN=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OM^2-MG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{m}$。
$\because$ 点$O$在$AB$上，$AB$紧贴水面，$OG⊥ AB$，
$\therefore$ 船露出水面$AB$的高度$h=OG=4\ \mathrm{m}$。
答：船恰好能通过桥洞时露出水面的高度$h$为$4\ \mathrm{m}$。
(1) 设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OD=OE=r\ \mathrm{m}$。
$\because OE⊥ CD$，$OE$过圆心$O$，$CD=8\ \mathrm{m}$，
$\therefore DF=\dfrac{1}{2}CD=4\ \mathrm{m}$。
$\because EF=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore OF=OE-EF=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2=OF^2+DF^2$
即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
解得$r=5$。
$\therefore \odot O$的半径长为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 设船的主截面矩形的上边两端点$M$、$N$在圆弧$\overset{\frown}{CD}$上，$MN// AB$，$MN=6\ \mathrm{m}$。
过点$O$作$OG⊥ MN$于点$G$，连接$OM$。
$\because OM=5\ \mathrm{m}$，$OG⊥ MN$，
$\therefore MG=\dfrac{1}{2}MN=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OM^2-MG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{m}$。
$\because$ 点$O$在$AB$上，$AB$紧贴水面，$OG⊥ AB$，
$\therefore$ 船露出水面$AB$的高度$h=OG=4\ \mathrm{m}$。
答：船恰好能通过桥洞时露出水面的高度$h$为$4\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 求$\odot O$的半径时，先利用垂径定理得到弦CD一半的长度，再设半径为$r$，用$r$表示出直角三角形$ODF$的三边，最后结合勾股定理列方程即可求解。
(2) 船恰好能通过时，船顶的宽度对应圆内长度为6m的平行弦，同样借助垂径定理得到该弦一半的长度，结合已求的半径用勾股定理算出弦到圆心的距离，因圆心在水面AB上，该距离就是船露出水面的高度$h$。
【解析】
(1) 设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OD=OE=r\ \mathrm{m}$。
$\because OE⊥ CD$，$OE$过圆心$O$，$CD=8\ \mathrm{m}$，
$\therefore DF=\dfrac{1}{2}CD=4\ \mathrm{m}$。
$\because EF=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore OF=OE-EF=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2=OF^2+DF^2$
即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
解得$r=5$。
$\therefore \odot O$的半径长为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 设船恰好能通过时，船顶矩形的上边两端点$M$、$N$在圆弧$\overset{\frown}{CD}$上，$MN// AB$，$MN=6\ \mathrm{m}$。
过点$O$作$OG⊥ MN$于点$G$，连接$OM$。
$\because OM=5\ \mathrm{m}$，$OG⊥ MN$，
$\therefore MG=\dfrac{1}{2}MN=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OM^2-MG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{m}$。
$\because$ 点$O$在$AB$上，$AB$紧贴水面，$OG⊥ AB$，
$\therefore$ 船露出水面$AB$的高度$h=OG=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(2) 船恰好能通过桥洞时露出水面的高度$h$为$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考察圆的相关计算，解题关键是将实际问题转化为圆内弦的计算问题，通过垂径定理构造直角三角形，再用勾股定理求解，难度适中，侧重考察知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求$\odot O$的半径时，先利用垂径定理得到弦CD一半的长度，再设半径为$r$，用$r$表示出直角三角形$ODF$的三边，最后结合勾股定理列方程即可求解。
(2) 船恰好能通过时，船顶的宽度对应圆内长度为6m的平行弦，同样借助垂径定理得到该弦一半的长度，结合已求的半径用勾股定理算出弦到圆心的距离，因圆心在水面AB上，该距离就是船露出水面的高度$h$。
【解析】
(1) 设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OD=OE=r\ \mathrm{m}$。
$\because OE⊥ CD$，$OE$过圆心$O$，$CD=8\ \mathrm{m}$，
$\therefore DF=\dfrac{1}{2}CD=4\ \mathrm{m}$。
$\because EF=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore OF=OE-EF=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2=OF^2+DF^2$
即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
解得$r=5$。
$\therefore \odot O$的半径长为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 设船恰好能通过时，船顶矩形的上边两端点$M$、$N$在圆弧$\overset{\frown}{CD}$上，$MN// AB$，$MN=6\ \mathrm{m}$。
过点$O$作$OG⊥ MN$于点$G$，连接$OM$。
$\because OM=5\ \mathrm{m}$，$OG⊥ MN$，
$\therefore MG=\dfrac{1}{2}MN=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OM^2-MG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{m}$。
$\because$ 点$O$在$AB$上，$AB$紧贴水面，$OG⊥ AB$，
$\therefore$ 船露出水面$AB$的高度$h=OG=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(2) 船恰好能通过桥洞时露出水面的高度$h$为$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考察圆的相关计算，解题关键是将实际问题转化为圆内弦的计算问题，通过垂径定理构造直角三角形，再用勾股定理求解，难度适中，侧重考察知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
16. (★★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,过点$O$作$AC$的垂线,垂足为$D$,分别交直线$BC$,$\overset{\frown}{AC}$于点$E$,$F$,射线$AF$交直线$BC$于点$G$.
(1)求证:$AC=CG$.
(2)若点$E$在$CB$的延长线上,且$EB=CG$,求$∠ BAC$的度数.
(1)求证:$AC=CG$.
(2)若点$E$在$CB$的延长线上,且$EB=CG$,求$∠ BAC$的度数.
答案
(1) 证明：
∵ $EF ⊥ AC$，且直线$EF$过$\odot O$的圆心$O$，
由垂径定理得：$EF$垂直平分$AC$，
∴ $AF=CF$，
∴ $∠ FAC = ∠ FCA$。
在$△ AFC$中，$∠ AFC + ∠ FAC + ∠ FCA = 180°$，
即 $∠ AFC + 2∠ FAC = 180°$。
∵ 四边形$ABCF$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ AFC = 180°$，
∴ $∠ ABC = 2∠ FAC$，即 $∠ ABC = 2∠ CAG$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $∠ ACB = 2∠ CAG$。
又∵ $∠ ACB$是$△ ACG$的外角，
∴ $∠ ACB = ∠ CAG + ∠ AGC$，
代入得 $2∠ CAG = ∠ CAG + ∠ AGC$，
∴ $∠ CAG = ∠ AGC$，
∴ $AC=CG$。
---
(2) 解：
由(1)知$AC=CG$，结合已知$EB=CG$，且$AB=AC$，
∴ $EB=AB$，
∴ $∠ E = ∠ BAE$。
∵ $∠ ABC$是$△ EAB$的外角，
∴ $∠ ABC = ∠ E + ∠ BAE = 2∠ E$。
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中，$∠ EDC=90°$，
∴ $∠ E + ∠ ACB = 90°$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
结合$∠ ABC=2∠ E$，得$∠ E = \frac{1}{2}∠ ACB$，
代入$∠ E + ∠ ACB = 90°$，得：
$\frac{1}{2}∠ ACB + ∠ ACB = 90°$
解得$∠ ACB=60°$。
∵ $AB=AC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形，
∴ $∠ BAC=60°$。
答：$∠ BAC$的度数为$60°$。
∵ $EF ⊥ AC$，且直线$EF$过$\odot O$的圆心$O$，
由垂径定理得：$EF$垂直平分$AC$，
∴ $AF=CF$，
∴ $∠ FAC = ∠ FCA$。
在$△ AFC$中，$∠ AFC + ∠ FAC + ∠ FCA = 180°$，
即 $∠ AFC + 2∠ FAC = 180°$。
∵ 四边形$ABCF$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ AFC = 180°$，
∴ $∠ ABC = 2∠ FAC$，即 $∠ ABC = 2∠ CAG$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $∠ ACB = 2∠ CAG$。
又∵ $∠ ACB$是$△ ACG$的外角，
∴ $∠ ACB = ∠ CAG + ∠ AGC$，
代入得 $2∠ CAG = ∠ CAG + ∠ AGC$，
∴ $∠ CAG = ∠ AGC$，
∴ $AC=CG$。
---
(2) 解：
由(1)知$AC=CG$，结合已知$EB=CG$，且$AB=AC$，
∴ $EB=AB$，
∴ $∠ E = ∠ BAE$。
∵ $∠ ABC$是$△ EAB$的外角，
∴ $∠ ABC = ∠ E + ∠ BAE = 2∠ E$。
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中，$∠ EDC=90°$，
∴ $∠ E + ∠ ACB = 90°$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
结合$∠ ABC=2∠ E$，得$∠ E = \frac{1}{2}∠ ACB$，
代入$∠ E + ∠ ACB = 90°$，得：
$\frac{1}{2}∠ ACB + ∠ ACB = 90°$
解得$∠ ACB=60°$。
∵ $AB=AC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形，
∴ $∠ BAC=60°$。
答：$∠ BAC$的度数为$60°$。
解析
【分析】
(1) 要证明$AC=CG$，只需证明$∠ CAG=∠ AGC$即可。首先观察到$EF$过圆心$O$且垂直于弦$AC$，可利用垂径定理得到$EF$垂直平分$AC$，推出$AF=CF$，得到$∠ FAC=∠ FCA$；再结合圆内接四边形对角互补的性质，以及等腰$△ ABC$底角相等的性质，可推导得到$∠ ACB=2∠ CAG$；最后利用三角形外角的性质，即可推出$∠ CAG=∠ AGC$，完成证明。
(2) 可直接利用(1)的结论$AC=CG$，结合已知$EB=CG$、$AB=AC$，得到$EB=AB$，推出$∠ E=∠ BAE$，再由三角形外角性质得到$∠ ABC=2∠ E$；然后在$\mathrm{Rt}△ EDC$中利用直角三角形两锐角互余得到$∠ E+∠ ACB=90°$，结合$∠ ABC=∠ ACB$，即可求出$∠ ACB$的度数，进而判断$△ ABC$的形状，得到$∠ BAC$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $EF ⊥ AC$，且直线$EF$过$\odot O$的圆心$O$，
由垂径定理得：$EF$垂直平分$AC$，
∴ $AF=CF$，
∴ $∠ FAC = ∠ FCA$。
在$△ AFC$中，$∠ AFC + ∠ FAC + ∠ FCA = 180°$，
即 $∠ AFC + 2∠ FAC = 180°$。
∵ 四边形$ABCF$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ AFC = 180°$，
∴ $∠ ABC = 2∠ FAC$，即 $∠ ABC = 2∠ CAG$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $∠ ACB = 2∠ CAG$。
又
∵ $∠ ACB$是$△ ACG$的外角，
∴ $∠ ACB = ∠ CAG + ∠ AGC$，
代入得 $2∠ CAG = ∠ CAG + ∠ AGC$，
∴ $∠ CAG = ∠ AGC$，
∴ $AC=CG$。
(2) 解：
由(1)知$AC=CG$，结合已知$EB=CG$，且$AB=AC$，
∴ $EB=AB$，
∴ $∠ E = ∠ BAE$。
∵ $∠ ABC$是$△ EAB$的外角，
∴ $∠ ABC = ∠ E + ∠ BAE = 2∠ E$。
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中，$∠ EDC=90°$，
∴ $∠ E + ∠ ACB = 90°$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
结合$∠ ABC=2∠ E$，得$∠ E = \frac{1}{2}∠ ACB$，
代入$∠ E + ∠ ACB = 90°$，得：
$\frac{1}{2}∠ ACB + ∠ ACB = 90°$
解得$∠ ACB=60°$。
∵ $AB=AC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形，
∴ $∠ BAC=60°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
垂径定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合典型题，解题时要注意前后设问的关联性，第一问的结论可直接用于第二问的求解。解题核心是熟练运用角的等量代换、三角形外角性质等基础知识点，理清各角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$AC=CG$，只需证明$∠ CAG=∠ AGC$即可。首先观察到$EF$过圆心$O$且垂直于弦$AC$，可利用垂径定理得到$EF$垂直平分$AC$，推出$AF=CF$，得到$∠ FAC=∠ FCA$；再结合圆内接四边形对角互补的性质，以及等腰$△ ABC$底角相等的性质，可推导得到$∠ ACB=2∠ CAG$；最后利用三角形外角的性质，即可推出$∠ CAG=∠ AGC$，完成证明。
(2) 可直接利用(1)的结论$AC=CG$，结合已知$EB=CG$、$AB=AC$，得到$EB=AB$，推出$∠ E=∠ BAE$，再由三角形外角性质得到$∠ ABC=2∠ E$；然后在$\mathrm{Rt}△ EDC$中利用直角三角形两锐角互余得到$∠ E+∠ ACB=90°$，结合$∠ ABC=∠ ACB$，即可求出$∠ ACB$的度数，进而判断$△ ABC$的形状，得到$∠ BAC$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $EF ⊥ AC$，且直线$EF$过$\odot O$的圆心$O$，
由垂径定理得：$EF$垂直平分$AC$，
∴ $AF=CF$，
∴ $∠ FAC = ∠ FCA$。
在$△ AFC$中，$∠ AFC + ∠ FAC + ∠ FCA = 180°$，
即 $∠ AFC + 2∠ FAC = 180°$。
∵ 四边形$ABCF$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ AFC = 180°$，
∴ $∠ ABC = 2∠ FAC$，即 $∠ ABC = 2∠ CAG$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $∠ ACB = 2∠ CAG$。
又
∵ $∠ ACB$是$△ ACG$的外角，
∴ $∠ ACB = ∠ CAG + ∠ AGC$，
代入得 $2∠ CAG = ∠ CAG + ∠ AGC$，
∴ $∠ CAG = ∠ AGC$，
∴ $AC=CG$。
(2) 解：
由(1)知$AC=CG$，结合已知$EB=CG$，且$AB=AC$，
∴ $EB=AB$，
∴ $∠ E = ∠ BAE$。
∵ $∠ ABC$是$△ EAB$的外角，
∴ $∠ ABC = ∠ E + ∠ BAE = 2∠ E$。
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中，$∠ EDC=90°$，
∴ $∠ E + ∠ ACB = 90°$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
结合$∠ ABC=2∠ E$，得$∠ E = \frac{1}{2}∠ ACB$，
代入$∠ E + ∠ ACB = 90°$，得：
$\frac{1}{2}∠ ACB + ∠ ACB = 90°$
解得$∠ ACB=60°$。
∵ $AB=AC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形，
∴ $∠ BAC=60°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
垂径定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合典型题，解题时要注意前后设问的关联性，第一问的结论可直接用于第二问的求解。解题核心是熟练运用角的等量代换、三角形外角性质等基础知识点，理清各角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
