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知识建构
填空：
① ② ③
④ ⑤ ⑥ ⑦
填空：
① ② ③
④ ⑤ ⑥ ⑦
答案
解：
① $d＜r$
② 确定
③ 三边垂直平分线
④ 弦所对的两条弧
⑤ $\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
⑥ $\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
⑦ $\frac{1}{2}lr$（$l$为扇形弧长，$r$为圆的半径）
① $d＜r$
② 确定
③ 三边垂直平分线
④ 弦所对的两条弧
⑤ $\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
⑥ $\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
⑦ $\frac{1}{2}lr$（$l$为扇形弧长，$r$为圆的半径）
解析
【分析】
本题是对圆章节核心基础知识的梳理考查，我们可以根据每个空对应的知识模块，回忆相关概念、定理、公式逐一填空：①对应点和圆的位置关系，对比圆外、圆上的d与r的大小关系即可推导圆内的情况；②对应确定圆的条件，回忆三点定圆的结论；③对应三角形外心的定义；④对应垂径定理的完整内容；⑤对应弧长计算公式；⑥⑦对应扇形面积的两个计算公式。
【解析】
①点在圆内时，点到圆心的距离d小于圆的半径r，故填$d＜r$；
②根据确定圆的条件，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故填确定；
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，故填三边垂直平分线；
④垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故填弦所对的两条弧；
⑤弧长计算公式：若圆心角度数为$n$，圆的半径为$r$，则弧长$l=\frac{nπ r}{180}$，故填$\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）；
⑥扇形面积公式1：若圆心角度数为$n$，圆的半径为$r$，则扇形面积$S=\frac{nπ r^2}{360}$，故填$\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）；
⑦扇形面积公式2：若扇形的弧长为$l$，圆的半径为$r$，则扇形面积$S=\frac{1}{2}lr$，故填$\frac{1}{2}lr$（$l$为扇形弧长，$r$为圆的半径）。
【答案】
① $d＜r$
② 确定
③ 三边垂直平分线
④ 弦所对的两条弧
⑤ $\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
⑥ $\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
⑦ $\frac{1}{2}lr$（$l$为扇形弧长，$r$为圆的半径）
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质；圆的相关计算
【点评】
本题属于基础的知识梳理类题目，考察的均为圆章节的核心基础概念、定理和公式，熟练掌握这些内容是解决圆相关的几何证明、计算类综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题是对圆章节核心基础知识的梳理考查，我们可以根据每个空对应的知识模块，回忆相关概念、定理、公式逐一填空：①对应点和圆的位置关系，对比圆外、圆上的d与r的大小关系即可推导圆内的情况；②对应确定圆的条件，回忆三点定圆的结论；③对应三角形外心的定义；④对应垂径定理的完整内容；⑤对应弧长计算公式；⑥⑦对应扇形面积的两个计算公式。
【解析】
①点在圆内时，点到圆心的距离d小于圆的半径r，故填$d＜r$；
②根据确定圆的条件，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故填确定；
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，故填三边垂直平分线；
④垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故填弦所对的两条弧；
⑤弧长计算公式：若圆心角度数为$n$，圆的半径为$r$，则弧长$l=\frac{nπ r}{180}$，故填$\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）；
⑥扇形面积公式1：若圆心角度数为$n$，圆的半径为$r$，则扇形面积$S=\frac{nπ r^2}{360}$，故填$\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）；
⑦扇形面积公式2：若扇形的弧长为$l$，圆的半径为$r$，则扇形面积$S=\frac{1}{2}lr$，故填$\frac{1}{2}lr$（$l$为扇形弧长，$r$为圆的半径）。
【答案】
① $d＜r$
② 确定
③ 三边垂直平分线
④ 弦所对的两条弧
⑤ $\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
⑥ $\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
⑦ $\frac{1}{2}lr$（$l$为扇形弧长，$r$为圆的半径）
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质；圆的相关计算
【点评】
本题属于基础的知识梳理类题目，考察的均为圆章节的核心基础概念、定理和公式，熟练掌握这些内容是解决圆相关的几何证明、计算类综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. (★)如果$\odot O$的周长为$10π$ cm，那么它的半径长为 【 】
A.5 cm
B.$\sqrt{10}$ cm
C.10 cm
D.$5π$ cm
A.5 cm
B.$\sqrt{10}$ cm
C.10 cm
D.$5π$ cm
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆圆的周长与半径的关系公式。已知圆的周长求半径，我们可以先写出圆的周长公式，再将已知的周长数值代入公式，通过简单的解方程即可求出半径，最后匹配对应选项。
【解析】
圆的周长计算公式为$ C=2π r $，其中$ C $是圆的周长，$ r $是圆的半径。
已知$\odot O$的周长$ C=10π \mathrm{ cm} $，将其代入公式得：
$ 10π = 2π r $
等式两边同时除以$ 2π $，解得$ r=5 \mathrm{ cm} $。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆的周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对圆的周长公式的记忆与简单应用，计算过程中注意不要误消$π$即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆圆的周长与半径的关系公式。已知圆的周长求半径，我们可以先写出圆的周长公式，再将已知的周长数值代入公式，通过简单的解方程即可求出半径，最后匹配对应选项。
【解析】
圆的周长计算公式为$ C=2π r $，其中$ C $是圆的周长，$ r $是圆的半径。
已知$\odot O$的周长$ C=10π \mathrm{ cm} $，将其代入公式得：
$ 10π = 2π r $
等式两边同时除以$ 2π $，解得$ r=5 \mathrm{ cm} $。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆的周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对圆的周长公式的记忆与简单应用，计算过程中注意不要误消$π$即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. (★)有下列命题:①圆是轴对称图形,它有无数条对称轴;②三点确定一个圆;③平分弦的直径垂直于弦;④与半径长相等的弦所对的圆周角是$30°$;⑤矩形的四个顶点在同一个圆上. 其中正确的有
【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础性质，需要逐一判断每个命题的正误，回忆各定理的前提限制条件，避免忽略细节出错。解题时先逐个核对每个命题对应的知识点，判断对错后统计正确命题的数量即可得到答案。
【解析】
我们对5个命题逐一判断：
1. 命题①：圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，圆有无数条过圆心的直线，因此圆是轴对称图形且有无数条对称轴，该命题正确。
2. 命题②：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，命题缺少“不在同一直线上”的前提，该命题错误。
3. 命题③：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，那么任意两条直径都互相平分但不一定垂直，命题缺少“弦不是直径”的限制条件，该命题错误。
4. 命题④：与半径长相等的弦对应的圆心角为60°，而同一条弦所对的圆周角有两种，分别对应劣弧和优弧，度数为30°或150°，并非只有30°，该命题错误。
5. 命题⑤：矩形的对角线互相平分且相等，四个顶点到对角线交点的距离相等，因此矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心、对角线长的一半为半径的同一个圆上，该命题正确。
综上，正确的命题是①⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于对定理的适用前提记忆不完整，例如忽略三点定圆的共线限制、垂径定理中被平分弦不能是直径的要求、同弦所对圆周角有两种情况等，学习时要注意准确掌握概念的细节。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关基础性质，需要逐一判断每个命题的正误，回忆各定理的前提限制条件，避免忽略细节出错。解题时先逐个核对每个命题对应的知识点，判断对错后统计正确命题的数量即可得到答案。
【解析】
我们对5个命题逐一判断：
1. 命题①：圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，圆有无数条过圆心的直线，因此圆是轴对称图形且有无数条对称轴，该命题正确。
2. 命题②：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，命题缺少“不在同一直线上”的前提，该命题错误。
3. 命题③：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，那么任意两条直径都互相平分但不一定垂直，命题缺少“弦不是直径”的限制条件，该命题错误。
4. 命题④：与半径长相等的弦对应的圆心角为60°，而同一条弦所对的圆周角有两种，分别对应劣弧和优弧，度数为30°或150°，并非只有30°，该命题错误。
5. 命题⑤：矩形的对角线互相平分且相等，四个顶点到对角线交点的距离相等，因此矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心、对角线长的一半为半径的同一个圆上，该命题正确。
综上，正确的命题是①⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于对定理的适用前提记忆不完整，例如忽略三点定圆的共线限制、垂径定理中被平分弦不能是直径的要求、同弦所对圆周角有两种情况等，学习时要注意准确掌握概念的细节。
【难度系数】
0.7
