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3. (★) 在数轴上,点A表示的实数为3,点B表示的实数为a,⊙A的半径长为2.那么下列说法不正确的是
【 】
A.当$a＜1$时,点B在⊙A外
B.当$1＜a＜5$时,点B在⊙A内
C.当$a＜5$时,点B在⊙A内
D.当$a＞5$时,点B在⊙A外
【 】
A.当$a＜1$时,点B在⊙A外
B.当$1＜a＜5$时,点B在⊙A内
C.当$a＜5$时,点B在⊙A内
D.当$a＞5$时,点B在⊙A外
答案
C
解析
【分析】
要判断点B和⊙A的位置关系，首先回忆点与圆的位置关系判定规则：设圆半径为r，点到圆心的距离为d，d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内。本题中圆心A对应数轴上的数是3，半径r=2，数轴上点B到A的距离为|a-3|，先算出点B在圆上时a的取值为1和5，再结合判定规则逐一验证四个选项，找出错误说法即可。
【解析】
已知⊙A的圆心A在数轴上表示的实数为3，半径r=2，点B表示的实数为a，则点B到圆心A的距离d=|a - 3|。
根据点与圆的位置关系判定：
1. 若点B在⊙A外，则d ＞ r，即|a-3|＞2，解得a＞5或a＜1；
2. 若点B在⊙A上，则d = r，即|a-3|=2，解得a=1或a=5；
3. 若点B在⊙A内，则d ＜ r，即|a-3|＜2，解得1＜a＜5。
逐一分析选项：
A. 当a＜1时，满足a＜1，点B在⊙A外，说法正确，不符合题意；
B. 当1＜a＜5时，满足点在圆内的条件，点B在⊙A内，说法正确，不符合题意；
C. 当a＜5时，若a≤1，此时点B在⊙A上或⊙A外，并非一定在⊙A内，说法错误，符合题意；
D. 当a＞5时，满足a＞5，点B在⊙A外，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；数轴两点距离计算
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用，结合数轴的特点考查分类讨论的思想，解题时要注意a=1和a=5是点在圆上的临界值，判断范围时不要遗漏临界情况的讨论。
【难度系数】
0.8
要判断点B和⊙A的位置关系，首先回忆点与圆的位置关系判定规则：设圆半径为r，点到圆心的距离为d，d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内。本题中圆心A对应数轴上的数是3，半径r=2，数轴上点B到A的距离为|a-3|，先算出点B在圆上时a的取值为1和5，再结合判定规则逐一验证四个选项，找出错误说法即可。
【解析】
已知⊙A的圆心A在数轴上表示的实数为3，半径r=2，点B表示的实数为a，则点B到圆心A的距离d=|a - 3|。
根据点与圆的位置关系判定：
1. 若点B在⊙A外，则d ＞ r，即|a-3|＞2，解得a＞5或a＜1；
2. 若点B在⊙A上，则d = r，即|a-3|=2，解得a=1或a=5；
3. 若点B在⊙A内，则d ＜ r，即|a-3|＜2，解得1＜a＜5。
逐一分析选项：
A. 当a＜1时，满足a＜1，点B在⊙A外，说法正确，不符合题意；
B. 当1＜a＜5时，满足点在圆内的条件，点B在⊙A内，说法正确，不符合题意；
C. 当a＜5时，若a≤1，此时点B在⊙A上或⊙A外，并非一定在⊙A内，说法错误，符合题意；
D. 当a＞5时，满足a＞5，点B在⊙A外，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；数轴两点距离计算
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用，结合数轴的特点考查分类讨论的思想，解题时要注意a=1和a=5是点在圆上的临界值，判断范围时不要遗漏临界情况的讨论。
【难度系数】
0.8
4. (★★)若P为半径长是6 cm的⊙O内一点，OP=2 cm，则过点P的最短的弦长为
【 】
A.12 cm
B.$2\sqrt{2}$ cm
C.$4\sqrt{2}$ cm
D.$8\sqrt{2}$ cm
【 】
A.12 cm
B.$2\sqrt{2}$ cm
C.$4\sqrt{2}$ cm
D.$8\sqrt{2}$ cm
答案
D
解析
【分析】
要解决过圆内一点的最短弦长问题，首先明确弦长与弦心距的关系：对于半径固定的圆，弦长计算公式为$l=2\sqrt{R^2-d^2}$（$R$为圆半径，$d$为弦心距，即圆心到弦的距离），由此可知弦心距$d$越大，弦长$l$越小。接下来判断过点$P$的弦的最大弦心距：根据点到直线的距离性质，当弦与$OP$垂直时，弦心距等于$OP$的长度，此时弦心距最大，对应的弦最短。确定最短弦的位置后，结合垂径定理和勾股定理即可计算弦长。
【解析】
过点$P$作弦$AB⊥ OP$，交$\odot O$于$A$、$B$两点，此时$AB$为过$P$的最短弦。
连接$OA$，则$OA$是$\odot O$的半径，$OA=6\mathrm{cm}$，已知$OP=2\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2 - OP^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AB=2AP=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
3. 圆内弦长性质
【点评】
本题属于圆的基础常考题，核心是先判断出过圆内一点最短弦的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算，易错点是对最短弦的位置判断错误，只要掌握弦长与弦心距的关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决过圆内一点的最短弦长问题，首先明确弦长与弦心距的关系：对于半径固定的圆，弦长计算公式为$l=2\sqrt{R^2-d^2}$（$R$为圆半径，$d$为弦心距，即圆心到弦的距离），由此可知弦心距$d$越大，弦长$l$越小。接下来判断过点$P$的弦的最大弦心距：根据点到直线的距离性质，当弦与$OP$垂直时，弦心距等于$OP$的长度，此时弦心距最大，对应的弦最短。确定最短弦的位置后，结合垂径定理和勾股定理即可计算弦长。
【解析】
过点$P$作弦$AB⊥ OP$，交$\odot O$于$A$、$B$两点，此时$AB$为过$P$的最短弦。
连接$OA$，则$OA$是$\odot O$的半径，$OA=6\mathrm{cm}$，已知$OP=2\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2 - OP^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AB=2AP=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
3. 圆内弦长性质
【点评】
本题属于圆的基础常考题，核心是先判断出过圆内一点最短弦的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算，易错点是对最短弦的位置判断错误，只要掌握弦长与弦心距的关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
5. (★★)将半径长为5的$\odot O$如图折叠,折痕AB的长为6,C为折叠后$\overset{\frown}{AB}$的中点,则OC的长为.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：①根据折叠的性质和圆的对称性可知，延长OC后与AB垂直，且平分AB，满足垂径定理的使用条件；②连接半径OA构造直角三角形，借助勾股定理计算圆心O到AB的距离；③结合折叠前后对应点到折痕距离相等的性质，推导OC与已求线段的数量关系，最终算出OC的长度。
【解析】
延长OC交AB于点D，连接OA。
由折叠的性质和圆的对称性可得：$OD ⊥ AB$，且D是AB的中点。
已知$AB=6$，因此$AD=\frac{1}{2}AB=3$。
$\odot O$的半径$OA=5$，在$Rt△ OAD$中，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
根据折叠的性质，折叠后点C到AB的距离与折叠前下方弧AB的中点到AB的距离相等，该距离为$5 - OD=5 - 4=1$，即$CD=1$。
因此$OC=OD - CD=4 - 1=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；折叠的性质
【点评】
本题是圆与折叠变换结合的基础应用题，核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理建立已知线段和未知线段的关联，解题时要注意折叠前后对应线段相等的特性的应用。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：①根据折叠的性质和圆的对称性可知，延长OC后与AB垂直，且平分AB，满足垂径定理的使用条件；②连接半径OA构造直角三角形，借助勾股定理计算圆心O到AB的距离；③结合折叠前后对应点到折痕距离相等的性质，推导OC与已求线段的数量关系，最终算出OC的长度。
【解析】
延长OC交AB于点D，连接OA。
由折叠的性质和圆的对称性可得：$OD ⊥ AB$，且D是AB的中点。
已知$AB=6$，因此$AD=\frac{1}{2}AB=3$。
$\odot O$的半径$OA=5$，在$Rt△ OAD$中，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
根据折叠的性质，折叠后点C到AB的距离与折叠前下方弧AB的中点到AB的距离相等，该距离为$5 - OD=5 - 4=1$，即$CD=1$。
因此$OC=OD - CD=4 - 1=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；折叠的性质
【点评】
本题是圆与折叠变换结合的基础应用题，核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理建立已知线段和未知线段的关联，解题时要注意折叠前后对应线段相等的特性的应用。
【难度系数】
0.65
6. (★★)如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的两点，若$∠ CDB = 42°$，则$∠ ABC$的度数是 【 】
A.$48°$
B.$42°$
C.$45°$
D.$43°$
A.$48°$
B.$42°$
C.$45°$
D.$43°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. AB是$\odot O$的直径，根据直径的性质，直径所对的圆周角是直角，可得$△ ACB$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，两个锐角之和为$90°$；2. 已知$∠ CDB=42°$，观察发现$∠ CDB$和$∠ CAB$都是弧$BC$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可推出$∠ CAB$的度数，最后在直角三角形中利用内角和即可求出$∠ ABC$的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）
∵ $∠ CDB$和$∠ CAB$都是弧$BC$所对的圆周角
∴ $∠ CAB=∠ CDB=42°$（同弧所对的圆周角相等）
在$Rt△ ACB$中，$∠ ABC + ∠ CAB = 90°$
∴ $∠ ABC=90° - 42°=48°$
故选A
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆周角的相关性质，找到角度之间的等量关系，结合直角三角形的性质计算即可，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：1. AB是$\odot O$的直径，根据直径的性质，直径所对的圆周角是直角，可得$△ ACB$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，两个锐角之和为$90°$；2. 已知$∠ CDB=42°$，观察发现$∠ CDB$和$∠ CAB$都是弧$BC$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可推出$∠ CAB$的度数，最后在直角三角形中利用内角和即可求出$∠ ABC$的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）
∵ $∠ CDB$和$∠ CAB$都是弧$BC$所对的圆周角
∴ $∠ CAB=∠ CDB=42°$（同弧所对的圆周角相等）
在$Rt△ ACB$中，$∠ ABC + ∠ CAB = 90°$
∴ $∠ ABC=90° - 42°=48°$
故选A
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆周角的相关性质，找到角度之间的等量关系，结合直角三角形的性质计算即可，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=35°$,以点$C$为圆心,$CA$为半径的圆交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,则$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数为.
答案
$\boldsymbol{70°}$
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数，即求$∠ ACD$的度数。首先可根据直角三角形两锐角互余求出$∠ A$的度数；再结合同圆的半径相等，可得$CA=CD$，即$△ ACD$为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质得到$∠ CDA$的度数；最后根据三角形内角和定理即可求出$∠ ACD$的度数。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=35°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ A = 90° - ∠ B = 90° - 35° = 55°$。
$\because CA、CD$都是$\odot C$的半径，$\therefore CA=CD$，
$\therefore ∠ CDA = ∠ A = 55°$。
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$，
得$∠ ACD = 180° - ∠ A - ∠ CDA = 180° - 55° - 55° = 70°$，
即$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数为$70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等腰三角形的性质；圆心角的定义
【点评】
本题属于基础题，考查了三角形内角和、等腰三角形性质及圆的基本性质的综合应用，解题的关键是明确同圆的半径相等，构造等腰三角形进行角度计算。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数，即求$∠ ACD$的度数。首先可根据直角三角形两锐角互余求出$∠ A$的度数；再结合同圆的半径相等，可得$CA=CD$，即$△ ACD$为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质得到$∠ CDA$的度数；最后根据三角形内角和定理即可求出$∠ ACD$的度数。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=35°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ A = 90° - ∠ B = 90° - 35° = 55°$。
$\because CA、CD$都是$\odot C$的半径，$\therefore CA=CD$，
$\therefore ∠ CDA = ∠ A = 55°$。
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$，
得$∠ ACD = 180° - ∠ A - ∠ CDA = 180° - 55° - 55° = 70°$，
即$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数为$70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等腰三角形的性质；圆心角的定义
【点评】
本题属于基础题，考查了三角形内角和、等腰三角形性质及圆的基本性质的综合应用，解题的关键是明确同圆的半径相等，构造等腰三角形进行角度计算。
【难度系数】
0.7
8. (★) 如图, 在$\odot O$中, AB 是弦, 半径 $OC ⊥ AB$,垂足为 D,要使四边形 OACB 为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是【 】
A.$AD=BD$
B.$OD=CD$
C.$∠ CAD=∠ CBD$
D.$∠ OCA=∠ OCB$
A.$AD=BD$
B.$OD=CD$
C.$∠ CAD=∠ CBD$
D.$∠ OCA=∠ OCB$
答案
B
解析
【分析】
首先根据已知条件：半径$OC⊥ AB$，由垂径定理可直接得到$AD=BD$，即$OC$垂直平分弦$AB$，因此可推出$OA=OB$、$CA=CB$，此时四边形$OACB$的对角线已经满足互相垂直，且$AB$被$OC$平分。菱形的判定要求对角线互相垂直平分，因此只需要补充条件让$AB$也平分$OC$，即可满足菱形的判定要求，据此逐一分析选项即可。
【解析】
已知$OC$是$\odot O$的半径，$OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：$AD=BD$，即$OC$垂直平分$AB$，因此$OA=OB$，$CA=CB$。
选项A：$AD=BD$是由已知条件可直接推出的结论，添加该条件无法得到$OC$被$AB$平分，不能判定四边形$OACB$是菱形，排除；
选项B：若$OD=CD$，结合$AD=BD$、$OC⊥ AB$，可知$AB$与$OC$互相垂直平分，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定四边形$OACB$是菱形，符合要求；
选项C：由$CA=CB$可得$∠ CAB=∠ CBA$，即$∠ CAD=∠ CBD$是已有结论，添加该条件无法判定四边形为菱形，排除；
选项D：由$OA=OB$、$CA=CB$、$OC=OC$可证$△ OAC≌△ OBC$，因此$∠ OCA=∠ OCB$是已有结论，添加该条件无法判定四边形为菱形，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；菱形的判定；垂直平分线的性质
【点评】
本题结合圆的基本性质和特殊四边形的判定，解题时先由已知推导出已成立的结论，再结合目标图形的判定条件分析需要补充的条件即可，注意排除题目中已隐含成立的选项。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件：半径$OC⊥ AB$，由垂径定理可直接得到$AD=BD$，即$OC$垂直平分弦$AB$，因此可推出$OA=OB$、$CA=CB$，此时四边形$OACB$的对角线已经满足互相垂直，且$AB$被$OC$平分。菱形的判定要求对角线互相垂直平分，因此只需要补充条件让$AB$也平分$OC$，即可满足菱形的判定要求，据此逐一分析选项即可。
【解析】
已知$OC$是$\odot O$的半径，$OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：$AD=BD$，即$OC$垂直平分$AB$，因此$OA=OB$，$CA=CB$。
选项A：$AD=BD$是由已知条件可直接推出的结论，添加该条件无法得到$OC$被$AB$平分，不能判定四边形$OACB$是菱形，排除；
选项B：若$OD=CD$，结合$AD=BD$、$OC⊥ AB$，可知$AB$与$OC$互相垂直平分，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定四边形$OACB$是菱形，符合要求；
选项C：由$CA=CB$可得$∠ CAB=∠ CBA$，即$∠ CAD=∠ CBD$是已有结论，添加该条件无法判定四边形为菱形，排除；
选项D：由$OA=OB$、$CA=CB$、$OC=OC$可证$△ OAC≌△ OBC$，因此$∠ OCA=∠ OCB$是已有结论，添加该条件无法判定四边形为菱形，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；菱形的判定；垂直平分线的性质
【点评】
本题结合圆的基本性质和特殊四边形的判定，解题时先由已知推导出已成立的结论，再结合目标图形的判定条件分析需要补充的条件即可，注意排除题目中已隐含成立的选项。
【难度系数】
0.7
9. (★★)四边形ABCD内接于$\odot O$,BC是$\odot O$的直径,若$∠ ADC=120°$,则$∠ ACB$等于
【】
A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$80°$
【】
A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$80°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件，先调用圆内接四边形的性质：对角互补，已知∠ADC的度数，先求出其对角∠ABC的度数；再结合BC是直径的条件，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，得到△ABC是直角三角形，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ADC = 120°，
∴∠ABC = 180° - 120° = 60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC = 90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠ACB + ∠ABC = 90°，
∴∠ACB = 90° - 60° = 30°。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础性质的综合考查题，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活调用，属于圆章节的常见基础题型，掌握核心性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件，先调用圆内接四边形的性质：对角互补，已知∠ADC的度数，先求出其对角∠ABC的度数；再结合BC是直径的条件，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，得到△ABC是直角三角形，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ADC = 120°，
∴∠ABC = 180° - 120° = 60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC = 90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠ACB + ∠ABC = 90°，
∴∠ACB = 90° - 60° = 30°。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础性质的综合考查题，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活调用，属于圆章节的常见基础题型，掌握核心性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. (★★) 如图，AD为$△ ABC$外接圆的直径，$AD ⊥ BC$，垂足为$F$，$∠ ABC$的平分线交AD于点E，连接BD，CD.
(1)求证: $BD=CD$.
(2)请判断B,E,C三点是否在以点D为圆心，DB为半径的圆上.若在，请用圆规作出这个圆，并说明理由；若不在，请说明不在的理由.（若作图，不用写作法，保留作图痕迹）
(1)求证: $BD=CD$.
(2)请判断B,E,C三点是否在以点D为圆心，DB为半径的圆上.若在，请用圆规作出这个圆，并说明理由；若不在，请说明不在的理由.（若作图，不用写作法，保留作图痕迹）
答案
(1) 证明:
∵AD为$△ ABC$外接圆的直径，$AD ⊥ BC$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$BD=CD$。
---
(2) 解:
$B,E,C$三点在以点$D$为圆心，$DB$为半径的圆上。
理由如下：
∵$BE$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE=∠ CBE$。
∵同弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角相等，∴$∠ BAD=∠ CBD$。
又∵$∠ DBE=∠ CBD+∠ CBE$，$∠ DEB=∠ BAD+∠ ABE$（三角形外角性质），
∴$∠ DBE=∠ DEB$，
∴$DB=DE$。
由(1)知$BD=CD$，因此$DB=DE=DC$，
∴$B,E,C$三点到点$D$的距离都等于$DB$，故三点在以$D$为圆心，$DB$为半径的圆上。
（以$D$为圆心，$DB$长为半径作圆，保留作图痕迹即可）
∵AD为$△ ABC$外接圆的直径，$AD ⊥ BC$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$BD=CD$。
---
(2) 解:
$B,E,C$三点在以点$D$为圆心，$DB$为半径的圆上。
理由如下：
∵$BE$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE=∠ CBE$。
∵同弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角相等，∴$∠ BAD=∠ CBD$。
又∵$∠ DBE=∠ CBD+∠ CBE$，$∠ DEB=∠ BAD+∠ ABE$（三角形外角性质），
∴$∠ DBE=∠ DEB$，
∴$DB=DE$。
由(1)知$BD=CD$，因此$DB=DE=DC$，
∴$B,E,C$三点到点$D$的距离都等于$DB$，故三点在以$D$为圆心，$DB$为半径的圆上。
（以$D$为圆心，$DB$长为半径作圆，保留作图痕迹即可）
解析
【分析】
（1）要证明两条弦相等，在同圆中可通过证明它们所对的弧相等推导。已知AD是△ABC外接圆的直径且垂直于弦BC，根据垂径定理可直接得到$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，再由等弧对等弦即可得到BD=CD。
（2）判断多点是否共圆的核心方法是：若多个点到同一个定点的距离相等，则这些点在以该定点为圆心、定长为半径的圆上。本题已由（1）得BD=CD，因此只需再证明DE=BD，就能得到B、E、C三点到D的距离均等于DB，即可证明三点共圆。要证DE=BD，可通过等角对等边推导：结合角平分线的定义、同弧所对圆周角相等、三角形外角的性质，通过角的等量代换证明∠DBE=∠DEB，即可得到DB=DE。
【解析】
(1) 证明：
∵AD为$△ ABC$外接圆的直径，$AD ⊥ BC$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∵同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴$BD=CD$。
(2) 解：B、E、C三点在以点D为圆心，DB为半径的圆上。
理由如下：
∵BE平分$∠ABC$，
∴$∠ABE=∠CBE$。
∵同弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角相等，
∴$∠BAD=∠CBD$。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠DEB=∠BAD+∠ABE$，又$∠DBE=∠CBD+∠CBE$，
∴$∠DBE=∠DEB$，
∴$DB=DE$。
由(1)可知$BD=CD$，因此$DB=DE=DC$，
即B、E、C三点到点D的距离都等于DB的长度，故B、E、C三点在以D为圆心，DB为半径的圆上。
（作图要求：以D为圆心，DB长为半径作圆，保留作图痕迹即可。）
【答案】
(1) 证明成立，$BD=CD$；
(2) B、E、C三点在以点D为圆心，DB为半径的圆上，按要求作出圆即可。
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，既考查了圆的核心基本性质，也结合了角平分线、三角形外角、等腰三角形的相关知识，解题的关键是掌握多点共圆的判定思路，灵活进行角的等量代换，适合巩固圆的基础应用。
【难度系数】
0.65
（1）要证明两条弦相等，在同圆中可通过证明它们所对的弧相等推导。已知AD是△ABC外接圆的直径且垂直于弦BC，根据垂径定理可直接得到$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，再由等弧对等弦即可得到BD=CD。
（2）判断多点是否共圆的核心方法是：若多个点到同一个定点的距离相等，则这些点在以该定点为圆心、定长为半径的圆上。本题已由（1）得BD=CD，因此只需再证明DE=BD，就能得到B、E、C三点到D的距离均等于DB，即可证明三点共圆。要证DE=BD，可通过等角对等边推导：结合角平分线的定义、同弧所对圆周角相等、三角形外角的性质，通过角的等量代换证明∠DBE=∠DEB，即可得到DB=DE。
【解析】
(1) 证明：
∵AD为$△ ABC$外接圆的直径，$AD ⊥ BC$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∵同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴$BD=CD$。
(2) 解：B、E、C三点在以点D为圆心，DB为半径的圆上。
理由如下：
∵BE平分$∠ABC$，
∴$∠ABE=∠CBE$。
∵同弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角相等，
∴$∠BAD=∠CBD$。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠DEB=∠BAD+∠ABE$，又$∠DBE=∠CBD+∠CBE$，
∴$∠DBE=∠DEB$，
∴$DB=DE$。
由(1)可知$BD=CD$，因此$DB=DE=DC$，
即B、E、C三点到点D的距离都等于DB的长度，故B、E、C三点在以D为圆心，DB为半径的圆上。
（作图要求：以D为圆心，DB长为半径作圆，保留作图痕迹即可。）
【答案】
(1) 证明成立，$BD=CD$；
(2) B、E、C三点在以点D为圆心，DB为半径的圆上，按要求作出圆即可。
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，既考查了圆的核心基本性质，也结合了角平分线、三角形外角、等腰三角形的相关知识，解题的关键是掌握多点共圆的判定思路，灵活进行角的等量代换，适合巩固圆的基础应用。
【难度系数】
0.65
