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11. (★★)如图,点A,B,C在$\odot O$上,$\odot O$的半径长为9,$\overset{\frown}{AB}$的长为$2π$,则$∠ ACB$的大小是
【 】
A.$20°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$40°$
【 】
A.$20°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$40°$
答案
A
解析
【分析】
要求$∠ ACB$的度数，首先明确$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，因此需先求出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角。已知$\overset{\frown}{AB}$的长度和圆的半径，可通过弧长公式计算出圆心角的度数，再除以2即可得到$∠ ACB$的大小。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$n°$，已知$\odot O$的半径$R=9$，$\overset{\frown}{AB}$的长$l=2π$，代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$得：
$2π=\frac{nπ × 9}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$2=\frac{9n}{180}$
解得$n=40$，即$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$40°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
弧长计算，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题核心是熟练掌握弧长公式和圆周角定理，先通过已知弧长和半径求出对应圆心角，再利用圆周角与圆心角的数量关系求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要求$∠ ACB$的度数，首先明确$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，因此需先求出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角。已知$\overset{\frown}{AB}$的长度和圆的半径，可通过弧长公式计算出圆心角的度数，再除以2即可得到$∠ ACB$的大小。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$n°$，已知$\odot O$的半径$R=9$，$\overset{\frown}{AB}$的长$l=2π$，代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$得：
$2π=\frac{nπ × 9}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$2=\frac{9n}{180}$
解得$n=40$，即$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$40°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
弧长计算，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题核心是熟练掌握弧长公式和圆周角定理，先通过已知弧长和半径求出对应圆心角，再利用圆周角与圆心角的数量关系求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
12. (★★) 粮仓顶部是圆锥形,这个圆锥的底面直径长为4 m,母线长为3 m,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,这块油毡的面积至少为
【 】
A.$6\ \mathrm{m}^2$
B.$6π\ \mathrm{m}^2$
C.$12\ \mathrm{m}^2$
D.$12π\ \mathrm{m}^2$
【 】
A.$6\ \mathrm{m}^2$
B.$6π\ \mathrm{m}^2$
C.$12\ \mathrm{m}^2$
D.$12π\ \mathrm{m}^2$
答案
B
解析
【分析】
首先明确所求油毡的面积对应圆锥形粮仓顶部的侧面积，无需计算底面积。接下来回忆圆锥侧面积的计算逻辑：圆锥侧面展开为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，既可以通过扇形面积公式推导侧面积，也可直接用圆锥侧面积公式$S=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）计算。然后从题干提取已知量：底面直径为4m，先换算得到底面半径，结合给出的母线长代入公式即可求解。
【解析】
要计算铺粮仓顶部的油毡面积，即求圆锥的侧面积：
1. 求底面半径：已知圆锥底面直径为4m，因此底面半径$r=4÷2=2\mathrm{m}$，题干给出母线长$l=3\mathrm{m}$。
2. 代入圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$计算：
$S_{\mathrm{侧}}=π×2×3=6π\ \mathrm{m}^2$
因此油毡面积至少为$6π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题是结合生活实际的基础题，解题核心是将实际问题转化为求圆锥侧面积的数学问题，易错点为误将底面直径直接代入公式、或额外计算底面积，牢记公式认真审题即可得分。
【难度系数】
0.8
首先明确所求油毡的面积对应圆锥形粮仓顶部的侧面积，无需计算底面积。接下来回忆圆锥侧面积的计算逻辑：圆锥侧面展开为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，既可以通过扇形面积公式推导侧面积，也可直接用圆锥侧面积公式$S=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）计算。然后从题干提取已知量：底面直径为4m，先换算得到底面半径，结合给出的母线长代入公式即可求解。
【解析】
要计算铺粮仓顶部的油毡面积，即求圆锥的侧面积：
1. 求底面半径：已知圆锥底面直径为4m，因此底面半径$r=4÷2=2\mathrm{m}$，题干给出母线长$l=3\mathrm{m}$。
2. 代入圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$计算：
$S_{\mathrm{侧}}=π×2×3=6π\ \mathrm{m}^2$
因此油毡面积至少为$6π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题是结合生活实际的基础题，解题核心是将实际问题转化为求圆锥侧面积的数学问题，易错点为误将底面直径直接代入公式、或额外计算底面积，牢记公式认真审题即可得分。
【难度系数】
0.8
13. (★)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,BA平分∠CBD,若∠AOD=50°,则∠A的度数为 【 】
A.65°
B.55°
C.50°
D.75°
A.65°
B.55°
C.50°
D.75°
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知的圆心角∠AOD入手，利用圆周角定理求出对应圆周角∠ABD的度数；再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后根据直径所对圆周角为直角的性质，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠ABD是弧AD对应的圆周角，已知∠AOD=50°，因此$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=25°$。
2. 因为BA平分$∠ CBD$，所以$∠ ABC=∠ ABD=25°$。
3. 又因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ACB=90°$。
4. 在$Rt△ ACB$中，两锐角互余，即$∠ A+∠ ABC=90°$，代入$∠ ABC=25°$，可得$∠ A=90°-25°=65°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础性质综合题，将圆的基础定理和三角形的基础性质结合考查，推导逻辑清晰，解题的关键是熟练掌握圆的相关基本性质，逐步推导各角度数即可。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的圆心角∠AOD入手，利用圆周角定理求出对应圆周角∠ABD的度数；再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后根据直径所对圆周角为直角的性质，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠ABD是弧AD对应的圆周角，已知∠AOD=50°，因此$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=25°$。
2. 因为BA平分$∠ CBD$，所以$∠ ABC=∠ ABD=25°$。
3. 又因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ACB=90°$。
4. 在$Rt△ ACB$中，两锐角互余，即$∠ A+∠ ABC=90°$，代入$∠ ABC=25°$，可得$∠ A=90°-25°=65°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础性质综合题，将圆的基础定理和三角形的基础性质结合考查，推导逻辑清晰，解题的关键是熟练掌握圆的相关基本性质，逐步推导各角度数即可。
【难度系数】
0.8
14. (★★)如图,在$\odot O$中,弦AB的长为$4\sqrt{3}$,点C在$\odot O$上,$OC ⊥ AB$,$∠ ABC = 30°$.$\odot O$所在的平面内有一点P,若$OP=5$,则点P与$\odot O$的位置关系是
【 】
A.点P在$\odot O$上
B.点P在$\odot O$内
C.点P在$\odot O$外
D.无法确定
【 】
A.点P在$\odot O$上
B.点P在$\odot O$内
C.点P在$\odot O$外
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是先求出$\odot O$的半径$r$，再将$OP$的长度与$r$比较：若$OP＞r$则点在圆外，$OP=r$则点在圆上，$OP＜r$则点在圆内。求半径时，首先用垂径定理得到弦$AB$被$OC$平分后的线段长度，再结合圆周角定理得到对应圆心角的度数，最后在直角三角形中求解半径即可。
【解析】
设$OC$与$AB$的交点为$D$。
1. 根据垂径定理：$\because OC⊥ AB$，$AB=4\sqrt{3}$，$\therefore AD=DB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\because ∠ ABC=30°$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=60°$。
3. 在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$∠ AOD=60°$，$AD=2\sqrt{3}$，
由$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入得$\sin60°=\frac{2\sqrt{3}}{OA}$，
解得$OA=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
4. 已知$OP=5$，$\because 5＞4$，即$OP＞r$，$\therefore$点$P$在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是结合垂径定理和圆周角定理求出圆的半径，再通过比较半径和$OP$的长度判断点与圆的位置关系，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是先求出$\odot O$的半径$r$，再将$OP$的长度与$r$比较：若$OP＞r$则点在圆外，$OP=r$则点在圆上，$OP＜r$则点在圆内。求半径时，首先用垂径定理得到弦$AB$被$OC$平分后的线段长度，再结合圆周角定理得到对应圆心角的度数，最后在直角三角形中求解半径即可。
【解析】
设$OC$与$AB$的交点为$D$。
1. 根据垂径定理：$\because OC⊥ AB$，$AB=4\sqrt{3}$，$\therefore AD=DB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\because ∠ ABC=30°$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=60°$。
3. 在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$∠ AOD=60°$，$AD=2\sqrt{3}$，
由$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入得$\sin60°=\frac{2\sqrt{3}}{OA}$，
解得$OA=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
4. 已知$OP=5$，$\because 5＞4$，即$OP＞r$，$\therefore$点$P$在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是结合垂径定理和圆周角定理求出圆的半径，再通过比较半径和$OP$的长度判断点与圆的位置关系，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
15. (★★)如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°,AC=3$. 将其绕点 $B$ 顺时针旋转一周,则分别以 $BA,BC$ 为半径的圆形成一圆环,该圆环的面积为 .
答案
$\boldsymbol{9π}$
解析
【分析】
要计算圆环的面积，首先回忆圆环面积公式：圆环面积等于外圆面积减去内圆面积。本题中外圆是以B为圆心、BA为半径的圆，内圆是以B为圆心、BC为半径的圆，因此圆环面积可表示为$S=π· BA^2 - π· BC^2$，提取公因式后可得$S=π(BA^2-BC^2)$。再观察图形，$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得$BA^2=AC^2+BC^2$，变形后刚好得到$BA^2-BC^2=AC^2$，代入已知AC的长度即可直接求出结果，无需单独计算BA和BC的长度。
【解析】
圆环的面积为外圆面积与内圆面积的差：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{圆环}}&=π· BA^2 - π· BC^2\\&=π(BA^2 - BC^2)\end{aligned}$
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BA^2 = AC^2 + BC^2$
移项得：$BA^2 - BC^2 = AC^2$
已知$AC=3$，则$AC^2=9$，代入得：
$S_{\mathrm{圆环}}=π×9=9π$
【答案】
$9π$
【知识点】
勾股定理；圆环面积计算
【点评】
本题巧妙结合了勾股定理与圆环面积公式，运用整体代入的思想，避免了求解未知边长，简化了计算过程，解题时要注意观察所求式子的结构，联系已学定理找到简捷的解题路径。
【难度系数】
0.7
要计算圆环的面积，首先回忆圆环面积公式：圆环面积等于外圆面积减去内圆面积。本题中外圆是以B为圆心、BA为半径的圆，内圆是以B为圆心、BC为半径的圆，因此圆环面积可表示为$S=π· BA^2 - π· BC^2$，提取公因式后可得$S=π(BA^2-BC^2)$。再观察图形，$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得$BA^2=AC^2+BC^2$，变形后刚好得到$BA^2-BC^2=AC^2$，代入已知AC的长度即可直接求出结果，无需单独计算BA和BC的长度。
【解析】
圆环的面积为外圆面积与内圆面积的差：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{圆环}}&=π· BA^2 - π· BC^2\\&=π(BA^2 - BC^2)\end{aligned}$
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BA^2 = AC^2 + BC^2$
移项得：$BA^2 - BC^2 = AC^2$
已知$AC=3$，则$AC^2=9$，代入得：
$S_{\mathrm{圆环}}=π×9=9π$
【答案】
$9π$
【知识点】
勾股定理；圆环面积计算
【点评】
本题巧妙结合了勾股定理与圆环面积公式，运用整体代入的思想，避免了求解未知边长，简化了计算过程，解题时要注意观察所求式子的结构，联系已学定理找到简捷的解题路径。
【难度系数】
0.7
16. (★★)"莱洛三角形"是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图,以边长为2 cm的等边$△ ABC$的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形就是"莱洛三角形",则该"莱洛三角形"的面积为 $\mathrm{cm}^2$.(圆周率用$π$表示)
答案
$\boldsymbol{2π - 2\sqrt{3}}$
解析
【分析】
求解莱洛三角形的面积，我们可以采用割补法将不规则图形转化为规则图形的面积和差计算。首先观察图形可知：莱洛三角形可看作是3个圆心角为60°、半径为2cm的扇形拼接后，减去重叠部分的面积得到。等边三角形每个内角为60°，因此每个扇形的圆心角为60°，半径等于等边三角形的边长2cm，我们先分别计算单个扇形面积和等边三角形的面积，再分析重叠部分的计算逻辑即可求出结果。
【解析】
解：
1. 计算单个扇形的面积：
扇形圆心角$n=60°$，半径$r=2\mathrm{cm}$，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$，得：
$S_{单扇}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2π}{3}\ \mathrm{cm}^2$
3个扇形的总面积：$S_{总扇}=3× \frac{2π}{3}=2π\ \mathrm{cm}^2$
2. 计算边长为2cm的等边$△ ABC$的面积：
根据等边三角形面积公式$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），得：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算莱洛三角形的面积：
3个扇形拼接时，中间的等边$△ ABC$被重复计算了3次，而莱洛三角形中该等边三角形仅占1次，因此需要减去多算的2次等边三角形的面积：
$S_{莱洛}=S_{总扇} - 2S_{△ ABC}=2π - 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$2π - 2\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算；等边三角形面积计算；不规则图形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题，解题核心是熟练运用割补法，将陌生的不规则图形转化为扇形、三角形等熟悉的规则图形的和差关系，计算时要注意分析重叠部分，避免多算或者漏算。
【难度系数】
0.6
求解莱洛三角形的面积，我们可以采用割补法将不规则图形转化为规则图形的面积和差计算。首先观察图形可知：莱洛三角形可看作是3个圆心角为60°、半径为2cm的扇形拼接后，减去重叠部分的面积得到。等边三角形每个内角为60°，因此每个扇形的圆心角为60°，半径等于等边三角形的边长2cm，我们先分别计算单个扇形面积和等边三角形的面积，再分析重叠部分的计算逻辑即可求出结果。
【解析】
解：
1. 计算单个扇形的面积：
扇形圆心角$n=60°$，半径$r=2\mathrm{cm}$，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$，得：
$S_{单扇}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2π}{3}\ \mathrm{cm}^2$
3个扇形的总面积：$S_{总扇}=3× \frac{2π}{3}=2π\ \mathrm{cm}^2$
2. 计算边长为2cm的等边$△ ABC$的面积：
根据等边三角形面积公式$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），得：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算莱洛三角形的面积：
3个扇形拼接时，中间的等边$△ ABC$被重复计算了3次，而莱洛三角形中该等边三角形仅占1次，因此需要减去多算的2次等边三角形的面积：
$S_{莱洛}=S_{总扇} - 2S_{△ ABC}=2π - 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$2π - 2\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算；等边三角形面积计算；不规则图形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题，解题核心是熟练运用割补法，将陌生的不规则图形转化为扇形、三角形等熟悉的规则图形的和差关系，计算时要注意分析重叠部分，避免多算或者漏算。
【难度系数】
0.6
17. (★★)如图, 四边形ABCD内接于$\odot O$,连接AC.若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$, $∠ ACB = 40°$,则$∠ ADC$的度数是【 】
A.$60°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
A.$60°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$入手，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得到$∠ BAC=∠ ACB$，结合三角形内角和定理先求出$∠ ABC$的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出$∠ ADC$的度数。
【解析】
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACB=40°$（同圆中，等弧所对的圆周角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ ACB=180°-40°-40°=100°$。
$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°$（圆内接四边形的对角互补），
$\therefore ∠ ADC=180°-100°=80°$。
【答案】
D
【知识点】
弧与圆周角的关系；三角形内角和定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆中弧与圆周角的对应关系、圆内接四边形的性质，难度不大，是圆周角相关考点的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$入手，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得到$∠ BAC=∠ ACB$，结合三角形内角和定理先求出$∠ ABC$的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出$∠ ADC$的度数。
【解析】
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACB=40°$（同圆中，等弧所对的圆周角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ ACB=180°-40°-40°=100°$。
$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°$（圆内接四边形的对角互补），
$\therefore ∠ ADC=180°-100°=80°$。
【答案】
D
【知识点】
弧与圆周角的关系；三角形内角和定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆中弧与圆周角的对应关系、圆内接四边形的性质，难度不大，是圆周角相关考点的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
18. (★★)如图,A,B,C,D是$\odot O$上的四点,若$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$,有下列结论:①$∠ AOC = ∠ BOD$;②$AC = BD$;③$∠ AOB = ∠ COD$;④$AB = CD$;⑤$∠ AOB = ∠ ACO$.其中正确的有 【 】
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
【分析】
解题核心是运用同圆中弧、弦、圆心角的对应关系：同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。首先从已知$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$出发，先推导直接对应的圆心角、弦相等，再通过减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$得到$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，进一步推导对应的圆心角、弦相等，最后结合等腰三角形性质判断第⑤个结论是否成立。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 因为$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOC = ∠ BOD$，故①正确；
2. 根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AC=BD$，故②正确；
3. 因为$∠ AOC - ∠ BOC = ∠ BOD - ∠ BOC$，化简得$∠ AOB = ∠ COD$，故③正确；
4. 根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，由$∠ AOB = ∠ COD$可得$AB=CD$，故④正确；
5. 对于结论⑤：$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形，$∠ OAC = ∠ ACO$，$∠ AOC = 180° - 2∠ ACO$，无条件可证明$∠ AOB = ∠ ACO$，故⑤错误。
综上，①②③④共4个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
弧弦圆心角关系、等腰三角形性质
【点评】
本题主要考查圆的基本性质中弧、弦、圆心角的对应关系，解题时要注意三者的等量关系可以互相推导，减去公共弧得到新的等弧是解题的关键步骤，易错点是易无依据推导角度相等，误判第⑤个结论正确。
【难度系数】
0.7
解题核心是运用同圆中弧、弦、圆心角的对应关系：同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。首先从已知$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$出发，先推导直接对应的圆心角、弦相等，再通过减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$得到$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，进一步推导对应的圆心角、弦相等，最后结合等腰三角形性质判断第⑤个结论是否成立。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 因为$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOC = ∠ BOD$，故①正确；
2. 根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AC=BD$，故②正确；
3. 因为$∠ AOC - ∠ BOC = ∠ BOD - ∠ BOC$，化简得$∠ AOB = ∠ COD$，故③正确；
4. 根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，由$∠ AOB = ∠ COD$可得$AB=CD$，故④正确；
5. 对于结论⑤：$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形，$∠ OAC = ∠ ACO$，$∠ AOC = 180° - 2∠ ACO$，无条件可证明$∠ AOB = ∠ ACO$，故⑤错误。
综上，①②③④共4个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
弧弦圆心角关系、等腰三角形性质
【点评】
本题主要考查圆的基本性质中弧、弦、圆心角的对应关系，解题时要注意三者的等量关系可以互相推导，减去公共弧得到新的等弧是解题的关键步骤，易错点是易无依据推导角度相等，误判第⑤个结论正确。
【难度系数】
0.7
