1. (★)(1)在同一平面直角坐标系中画出二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$，$y=-\frac{1}{2}x^2 -1$，$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象.

(2)从上图可以看出,二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$,$y=-\frac{1}{2}x^2 -1$,$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象的开口方向均,对称轴分别是、、和,顶点分别为,,和.可以发现,抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$先向平移个单位长度,再向平移个单位长度得到的.

解：
(1) 用描点法绘制图象：
① 列表计算对应函数值：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|-----|
| $y=-\frac{1}{2}x^2$ | $-\frac{9}{2}$ | $-2$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-2$ |
| $y=-\frac{1}{2}x^2-1$ | $-\frac{11}{2}$ | $-3$ | $-\frac{3}{2}$ | $-1$ | $-\frac{3}{2}$ | $-3$ |
| $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$ | $-2$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-2$ | $-\frac{9}{2}$ |
| $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$ | $-3$ | $-\frac{3}{2}$ | $-1$ | $-\frac{3}{2}$ | $-3$ | $-\frac{11}{2}$ |
② 在给定平面直角坐标系内描出各组对应点，用平滑曲线顺次连接对应点，即可得到四个二次函数的图象。
(2) 向下；直线$x=0$（y轴）；直线$x=0$（y轴）；直线$x=-1$；直线$x=-1$；$(0,0)$；$(0,-1)$；$(-1,0)$；$(-1,-1)$；左；$1$；下；$1$。

【分析】
本题分为画二次函数图象和探究二次函数性质、平移规律两部分，解题思路如下：
1. 画函数图象部分：采用描点法，按照“列表→描点→连线”的步骤完成，选取对称的x值代入各函数计算对应y值即可。
2. 性质与平移探究部分：先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：a的符号决定开口方向，$a＜0$时开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。平移遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对整体函数值）”的规律，逐一对应四个函数的参数即可得出答案。
【解析】
(1) 采用描点法绘制四个函数的图象：
① 列表：选取x为-3、-2、-1、0、1、2，分别代入四个函数计算y值，结果如下：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|-----|
| $y=-\frac{1}{2}x^2$ | $-\frac{9}{2}$ | $-2$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-2$ |
| $y=-\frac{1}{2}x^2-1$ | $-\frac{11}{2}$ | $-3$ | $-\frac{3}{2}$ | $-1$ | $-\frac{3}{2}$ | $-3$ |
| $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$ | $-2$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-2$ | $-\frac{9}{2}$ |
| $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$ | $-3$ | $-\frac{3}{2}$ | $-1$ | $-\frac{3}{2}$ | $-3$ | $-\frac{11}{2}$ |
② 描点：在给定的平面直角坐标系中，将每组(x,y)对应的点描出。
③ 连线：用平滑的曲线顺次连接每个函数的对应点，即可得到四个二次函数的图象。
(2) 四个函数的二次项系数均为$-\frac{1}{2}＜0$，因此开口方向均向下；
根据顶点式性质：
$y=-\frac{1}{2}x^2$的对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-1)$；
$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；
$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$；
根据平移规律：抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$是由$y=-\frac{1}{2}x^2$先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的。
【答案】
(1) 图象绘制见上述解析步骤；
(2) 向下；直线$x=0$（y轴）；直线$x=0$（y轴）；直线$x=-1$；直线$x=-1$；$(0,0)$；$(0,-1)$；$(-1,0)$；$(-1,-1)$；左；1；下；1
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数平移规律；描点法画函数图象
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对二次函数顶点式中各参数意义的理解，以及平移规则的应用，掌握好基础性质就能顺利解题，为后续二次函数的综合应用打下基础。
【难度系数】
0.85

2. (★)一般地,抛物线$y=a(x-h)^2+k$与$y=ax^2$形状,不同.把抛物线$y=ax^2$向上(或向下)、向左(或向右)平移,可以得到抛物线$y=a(x-h)^2+k$.平移的方向、距离要根据,的值来决定.

解：
依次填入的答案为：相同；位置；$h$；$k$。

【分析】
首先回忆二次函数的基本性质：二次项系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，若两个抛物线的a值相等，形状完全一致。再看两个抛物线的顶点，$y=ax^2$顶点是$(0,0)$，$y=a(x-h)^2+k$的顶点是$(h,k)$，顶点不同说明抛物线的位置不同。最后结合二次函数平移的“左加右减、上加下减”规律，左右平移对应h的变化，上下平移对应k的变化，因此平移的方向和距离由h、k的值决定。
【解析】
1. 抛物线$y=a(x-h)^2+k$和$y=ax^2$的二次项系数均为a，a控制抛物线的开口方向和开口大小，因此二者形状相同；
2. $y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，顶点位置不同，因此二者位置不同；
3. 平移时，左右平移的参数由h决定，上下平移的参数由k决定，因此平移的方向、距离要根据h、k的值来判断。
【答案】
相同；位置；$h$；$k$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础概念题，核心是明确参数a、h、k各自的作用，牢记平移规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9

3. (★)填表：
$y=a(x-h)^2 + k(a≠0)$
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 图象 | （$h＞0,k＞0$）；$h＜0,k＞0$；（$h＞0,k＜0$）；（$h＜0,k＜0$） | $h＞0,k＞0$；$h＜0,k＞0$；$h＞0,k＜0$；（$h＜0,k＜0$） |
| 开口方向 | | |
| 对称轴 | ______ |
| 顶点 | ______ |
| 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而________；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而________ | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而________；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而________ |
(续表)
$y=a(x-h)^2 + k(a≠0)$
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 最值 | 当$x=$时，$y$有最________值，为________ | 当$x=$______时，$y$有最________值，为________ |

解：
| 项目 | $a＞0$ | $a＜0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | 直线$x=h$ | 直线$x=h$ |
| 顶点 | $(h,\ k)$ | $(h,\ k)$ |
| 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=h$时，$y$有最小值，为$k$ | 当$x=h$时，$y$有最大值，为$k$ |
图象绘制说明：
$a＞0$时抛物线开口向上：$h＞0,k＞0$顶点在第一象限，$h＜0,k＞0$顶点在第二象限，$h＞0,k＜0$顶点在第四象限，$h＜0,k＜0$顶点在第三象限；
$a＜0$时抛物线开口向下：$h＞0,k＞0$顶点在第一象限，$h＜0,k＞0$顶点在第二象限，$h＞0,k＜0$顶点在第四象限，$h＜0,k＜0$顶点在第三象限。

【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2 + k(a≠0)$的基本性质，解题思路如下：首先由二次项系数$a$的符号判断开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；其次顶点式中可直接得到对称轴为直线$x=h$、顶点坐标为$(h,k)$，二者与$a$的符号无关；再结合开口方向分析增减性：开口向上时，对称轴左侧函数递减、右侧递增，开口向下时则相反；最后最值在顶点处取得，开口向上有最小值，开口向下有最大值，最值均为$k$。
【解析】
根据二次函数顶点式的性质逐项填写：
1. 开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下；
2. 对称轴：无论$a$的符号，抛物线的对称轴均为直线$x=h$；
3. 顶点：无论$a$的符号，抛物线的顶点坐标均为$(h,k)$；
4. 增减性：$a＞0$时，当$x＜h$，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞h$，$y$随$x$的增大而增大；$a＜0$时，当$x＜h$，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞h$，$y$随$x$的增大而减小；
5. 最值：$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为最低点，当$x=h$时，$y$有最小值为$k$；$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为最高点，当$x=h$时，$y$有最大值为$k$。
【答案】
| 项目 | $a＞0$ | $a＜0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | 直线$x=h$ | 直线$x=h$ |
| 顶点 | $(h,\ k)$ | $(h,\ k)$ |
| 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=h$时，$y$有最小值，为$k$ | 当$x=h$时，$y$有最大值，为$k$ |
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数基础考查题，核心是对顶点式基本性质的记忆和区分，这些性质是解决二次函数图像判断、实际应用等各类问题的基础，需要熟练掌握，注意区分$a$正负时增减性和最值的差异，避免混淆。
【难度系数】
0.9