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4. (★)在平面直角坐标系中,对于二次函数$y=(x-3)^2+5$,下列说法错误的是 【 】
A.图象的顶点为$(3,5)$,对称轴为$x=3$
B.当$x＜3$时,$y$随$x$的增大而增大
C.$y$的最小值为5
D.它的图象可以由$y=x^2$的图象先向右平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度得到
A.图象的顶点为$(3,5)$,对称轴为$x=3$
B.当$x＜3$时,$y$随$x$的增大而增大
C.$y$的最小值为5
D.它的图象可以由$y=x^2$的图象先向右平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度得到
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，函数最小值为$k$；再结合平移“左加右减、上加下减”的规律，逐一判断四个选项的正误，选出错误选项即可。
【解析】
已知二次函数为$y=(x-3)^2+5$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1＞0$，$h=3$，$k=5$：
1. 判断选项A：顶点坐标为$(h,k)=(3,5)$，对称轴为直线$x=h=3$，A说法正确，不符合题意；
2. 判断选项B：因为$a=1＞0$，抛物线开口向上，在对称轴$x=3$左侧（即$x＜3$时），$y$随$x$的增大而减小，不是增大，B说法错误，符合题意；
3. 判断选项C：抛物线开口向上，顶点为最低点，因此$y$的最小值为$k=5$，C说法正确，不符合题意；
4. 判断选项D：根据二次函数图象平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，$y=x^2$的图象先向右平移3个单位得$y=(x-3)^2$，再向上平移5个单位得$y=(x-3)^2+5$，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察顶点式相关的基础性质，熟练掌握顶点式的顶点、对称轴、增减性以及图象平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，函数最小值为$k$；再结合平移“左加右减、上加下减”的规律，逐一判断四个选项的正误，选出错误选项即可。
【解析】
已知二次函数为$y=(x-3)^2+5$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1＞0$，$h=3$，$k=5$：
1. 判断选项A：顶点坐标为$(h,k)=(3,5)$，对称轴为直线$x=h=3$，A说法正确，不符合题意；
2. 判断选项B：因为$a=1＞0$，抛物线开口向上，在对称轴$x=3$左侧（即$x＜3$时），$y$随$x$的增大而减小，不是增大，B说法错误，符合题意；
3. 判断选项C：抛物线开口向上，顶点为最低点，因此$y$的最小值为$k=5$，C说法正确，不符合题意；
4. 判断选项D：根据二次函数图象平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，$y=x^2$的图象先向右平移3个单位得$y=(x-3)^2$，再向上平移5个单位得$y=(x-3)^2+5$，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察顶点式相关的基础性质，熟练掌握顶点式的顶点、对称轴、增减性以及图象平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. (★)二次函数$y=(x+1)^2 -2$的图象大致是【 】
答案
解：
对于二次函数$y=(x+1)^2 -2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项A；
2. 由二次函数的顶点式可知，抛物线的顶点坐标为$(-1,-2)$，对称轴为直线$x=-1$，在y轴左侧，排除对称轴在y轴右侧的选项B；
3. 令$x=0$，代入函数得$y=(0+1)^2 -2=-1$，即抛物线与y轴交于点$(0,-1)$，交点在y轴负半轴，排除与y轴交于正半轴的选项D。
综上，符合所有特征的图象是选项C。
【答案】$\boldsymbol{C}$
对于二次函数$y=(x+1)^2 -2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项A；
2. 由二次函数的顶点式可知，抛物线的顶点坐标为$(-1,-2)$，对称轴为直线$x=-1$，在y轴左侧，排除对称轴在y轴右侧的选项B；
3. 令$x=0$，代入函数得$y=(0+1)^2 -2=-1$，即抛物线与y轴交于点$(0,-1)$，交点在y轴负半轴，排除与y轴交于正半轴的选项D。
综上，符合所有特征的图象是选项C。
【答案】$\boldsymbol{C}$
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可按“开口方向→对称轴/顶点位置→与坐标轴交点”的顺序逐步排除错误选项：首先根据二次项系数的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再结合顶点式的特征确定顶点和对称轴位置，排除对称轴位置不符的选项；最后计算抛物线与y轴的交点，排除剩余错误选项即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=(x+1)^2 -2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项A；
2. 由顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$、对称轴为直线$x=h$可知，该抛物线顶点坐标为$(-1,-2)$，对称轴为直线$x=-1$，在y轴左侧，排除对称轴在y轴右侧的选项B；
3. 令$x=0$，代入函数得$y=(0+1)^2-2=-1$，即抛物线与y轴交于点$(0,-1)$，交点在y轴负半轴，排除与y轴交于正半轴的选项D。
综上，符合所有特征的图象是选项C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象识别的基础题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的相关性质，通过多个特征逐步排除错误选项，能够快速得到正确结果，掌握方法后解题效率很高。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数的图象，可按“开口方向→对称轴/顶点位置→与坐标轴交点”的顺序逐步排除错误选项：首先根据二次项系数的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再结合顶点式的特征确定顶点和对称轴位置，排除对称轴位置不符的选项；最后计算抛物线与y轴的交点，排除剩余错误选项即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=(x+1)^2 -2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项A；
2. 由顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$、对称轴为直线$x=h$可知，该抛物线顶点坐标为$(-1,-2)$，对称轴为直线$x=-1$，在y轴左侧，排除对称轴在y轴右侧的选项B；
3. 令$x=0$，代入函数得$y=(0+1)^2-2=-1$，即抛物线与y轴交于点$(0,-1)$，交点在y轴负半轴，排除与y轴交于正半轴的选项D。
综上，符合所有特征的图象是选项C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象识别的基础题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的相关性质，通过多个特征逐步排除错误选项，能够快速得到正确结果，掌握方法后解题效率很高。
【难度系数】
0.8
6. (★★)抛物线$y=2(x-1)^2 + c$经过$(-2,y_1),(0,y_2),(\dfrac{5}{2},y_3)$三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系正确的是
【 】
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_3＞y_1$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
【 】
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_3＞y_1$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
答案
D
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先分析抛物线的基本性质：该抛物线是顶点式，可直接得出开口方向和对称轴。由于抛物线开口向上时，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可判断y值的大小。
【解析】
对于抛物线$y=2(x-1)^2 + c$：
1. 由二次项系数$a=2＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 由顶点式可得对称轴为直线$x=1$；
3. 分别计算三个点到对称轴$x=1$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2 - 1|=3$
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$|0 - 1|=1$
点$(\frac{5}{2},y_3)$到对称轴的距离：$|\frac{5}{2} - 1|=\frac{3}{2}=1.5$
4. 开口向上的抛物线，点离对称轴越远，函数值越大，因为$3＞1.5＞1$，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点式特征
【点评】
本题是二次函数值比较大小的常考题型，无需代入计算具体函数值，利用开口方向和点到对称轴的距离判断更简便，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
要比较三个点的函数值大小，首先分析抛物线的基本性质：该抛物线是顶点式，可直接得出开口方向和对称轴。由于抛物线开口向上时，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可判断y值的大小。
【解析】
对于抛物线$y=2(x-1)^2 + c$：
1. 由二次项系数$a=2＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 由顶点式可得对称轴为直线$x=1$；
3. 分别计算三个点到对称轴$x=1$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2 - 1|=3$
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$|0 - 1|=1$
点$(\frac{5}{2},y_3)$到对称轴的距离：$|\frac{5}{2} - 1|=\frac{3}{2}=1.5$
4. 开口向上的抛物线，点离对称轴越远，函数值越大，因为$3＞1.5＞1$，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点式特征
【点评】
本题是二次函数值比较大小的常考题型，无需代入计算具体函数值，利用开口方向和点到对称轴的距离判断更简便，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
7. (★★)二次函数$y=(x+m)^2 +n$的图象如图所示，则一次函数$y=mx+n$的图象不经过
【 】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【 】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
A
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先根据二次函数顶点式的性质确定其顶点坐标，再结合图像中顶点所在的第四象限的坐标特征，推导得到m、n的符号；第二步再根据一次函数的斜率、截距与图像的对应关系，判断一次函数经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
二次函数$y=(x+m)^2 +n$为顶点式，其顶点坐标为$(-m,n)$。
由题图可知，二次函数的顶点位于第四象限，第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，因此可得：
$\begin{cases}-m ＞ 0 \\ n ＜ 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}m ＜ 0 \\ n ＜ 0 \end{cases}$
对于一次函数$y=mx+n$：
1. 斜率$m＜0$，说明函数图像呈左上到右下的下降趋势，y随x的增大而减小；
2. 截距$n＜0$，说明函数图像与y轴的交点在y轴负半轴。
综上，一次函数$y=mx+n$的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式的性质；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数图象的综合基础题，核心是掌握函数图象和参数符号的对应关系，通过图像提取顶点位置的信息推导参数符号，就能顺利判断一次函数的经过象限。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：第一步先根据二次函数顶点式的性质确定其顶点坐标，再结合图像中顶点所在的第四象限的坐标特征，推导得到m、n的符号；第二步再根据一次函数的斜率、截距与图像的对应关系，判断一次函数经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
二次函数$y=(x+m)^2 +n$为顶点式，其顶点坐标为$(-m,n)$。
由题图可知，二次函数的顶点位于第四象限，第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，因此可得：
$\begin{cases}-m ＞ 0 \\ n ＜ 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}m ＜ 0 \\ n ＜ 0 \end{cases}$
对于一次函数$y=mx+n$：
1. 斜率$m＜0$，说明函数图像呈左上到右下的下降趋势，y随x的增大而减小；
2. 截距$n＜0$，说明函数图像与y轴的交点在y轴负半轴。
综上，一次函数$y=mx+n$的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式的性质；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数图象的综合基础题，核心是掌握函数图象和参数符号的对应关系，通过图像提取顶点位置的信息推导参数符号，就能顺利判断一次函数的经过象限。
【难度系数】
0.7
8. (★)将抛物线 $ y = -x^2 $ 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线对应的函数解析式为 【 】
A.$ y = -(x+1)^2 + 3 $
B.$ y = -(x-1)^2 + 3 $
C.$ y = -(x+3)^2 + 1 $
D.$ y = -(x+3)^2 - 1 $
A.$ y = -(x+1)^2 + 3 $
B.$ y = -(x-1)^2 + 3 $
C.$ y = -(x+3)^2 + 1 $
D.$ y = -(x+3)^2 - 1 $
答案
A
解析
【分析】
解决本题需牢记二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”：左右平移是对自变量x进行操作，向左平移n个单位就将x替换为x+n，向右平移n个单位就将x替换为x-n；上下平移是对函数整体进行操作，向上平移m个单位就在表达式末尾加m，向下平移m个单位就在表达式末尾减m。我们按照题目给出的平移顺序分步计算，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
已知原抛物线对应的函数解析式为$ y = -x^2 $：
1. 第一步向左平移1个单位长度，根据“左加右减”规则，将自变量$ x $替换为$ x+1 $，得到平移后的解析式：$ y = -(x+1)^2 $
2. 第二步向上平移3个单位长度，根据“上加下减”规则，在表达式末尾加3，得到最终解析式：$ y = -(x+1)^2 + 3 $
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移，函数平移规则
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，主要考察图象平移规律的应用，只要熟练掌握“左加右减、上加下减”的原则，明确左右平移是针对自变量x的变换，避免搞反平移方向，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解决本题需牢记二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”：左右平移是对自变量x进行操作，向左平移n个单位就将x替换为x+n，向右平移n个单位就将x替换为x-n；上下平移是对函数整体进行操作，向上平移m个单位就在表达式末尾加m，向下平移m个单位就在表达式末尾减m。我们按照题目给出的平移顺序分步计算，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
已知原抛物线对应的函数解析式为$ y = -x^2 $：
1. 第一步向左平移1个单位长度，根据“左加右减”规则，将自变量$ x $替换为$ x+1 $，得到平移后的解析式：$ y = -(x+1)^2 $
2. 第二步向上平移3个单位长度，根据“上加下减”规则，在表达式末尾加3，得到最终解析式：$ y = -(x+1)^2 + 3 $
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移，函数平移规则
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，主要考察图象平移规律的应用，只要熟练掌握“左加右减、上加下减”的原则，明确左右平移是针对自变量x的变换，避免搞反平移方向，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
9. (★) 下列二次函数图象的顶点是(1,-1)的是 【 】
A.$y=-3(x+1)^2 -1$
B.$y=(x-1)^2 -1$
C.$y=(x-1)^2 +1$
D.$y=-3(x+1)^2 +1$
A.$y=-3(x+1)^2 -1$
B.$y=(x-1)^2 -1$
C.$y=(x-1)^2 +1$
D.$y=-3(x+1)^2 +1$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个二次函数的顶点是(1,-1)，最简便的方法是利用二次函数的顶点式求解。首先回忆二次函数顶点式的结构：形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数，顶点坐标为$(h,k)$。本题需要$h=1$、$k=-1$，接下来只需对照各选项的表达式，匹配$h$和$k$的取值即可找到正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$ y=a(x-h)^2 +k $（$ a≠0 $），其顶点坐标为$(h,k)$。
题目要求顶点为$(1,-1)$，即$h=1$，$k=-1$，对应函数形式应为$ y=a(x-1)^2 -1 $（$ a≠0 $）。
逐一分析选项：
A. $ y=-3(x+1)^2 -1 $中，$h=-1$，$k=-1$，顶点为$(-1,-1)$，不符合要求；
B. $ y=(x-1)^2 -1 $中，$h=1$，$k=-1$，顶点为$(1,-1)$，符合要求；
C. $ y=(x-1)^2 +1 $中，$h=1$，$k=1$，顶点为$(1,1)$，不符合要求；
D. $ y=-3(x+1)^2 +1 $中，$h=-1$，$k=1$，顶点为$(-1,1)$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数顶点式中顶点坐标与各项系数的对应关系，尤其要注意括号内$h$的符号不要混淆，熟练掌握知识点后可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个二次函数的顶点是(1,-1)，最简便的方法是利用二次函数的顶点式求解。首先回忆二次函数顶点式的结构：形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数，顶点坐标为$(h,k)$。本题需要$h=1$、$k=-1$，接下来只需对照各选项的表达式，匹配$h$和$k$的取值即可找到正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$ y=a(x-h)^2 +k $（$ a≠0 $），其顶点坐标为$(h,k)$。
题目要求顶点为$(1,-1)$，即$h=1$，$k=-1$，对应函数形式应为$ y=a(x-1)^2 -1 $（$ a≠0 $）。
逐一分析选项：
A. $ y=-3(x+1)^2 -1 $中，$h=-1$，$k=-1$，顶点为$(-1,-1)$，不符合要求；
B. $ y=(x-1)^2 -1 $中，$h=1$，$k=-1$，顶点为$(1,-1)$，符合要求；
C. $ y=(x-1)^2 +1 $中，$h=1$，$k=1$，顶点为$(1,1)$，不符合要求；
D. $ y=-3(x+1)^2 +1 $中，$h=-1$，$k=1$，顶点为$(-1,1)$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数顶点式中顶点坐标与各项系数的对应关系，尤其要注意括号内$h$的符号不要混淆，熟练掌握知识点后可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
10. (★★)抛物线$y=(x-a)^2 + a -1$的顶点一定不在
【】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
B
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式的性质，抛物线$y=(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，据此先求出本题抛物线的顶点坐标。再结合平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，分情况讨论参数$a$的取值范围，判断顶点可能出现的象限，排除存在可能性的选项，即可得到顶点不可能在的象限。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，因此抛物线$y=(x-a)^2 + a -1$的顶点坐标为$(a, a-1)$。
结合各象限坐标特征逐一分析：
1. 若顶点在第一象限：需满足$\begin{cases}a＞0 \\ a-1＞0\end{cases}$，解得$a＞1$，存在符合条件的$a$，故顶点可能在第一象限，排除A；
2. 若顶点在第二象限：需满足$\begin{cases}a＜0 \\ a-1＞0\end{cases}$，即$a＜0$且$a＞1$，不存在这样的实数$a$，故顶点不可能在第二象限；
3. 若顶点在第三象限：需满足$\begin{cases}a＜0 \\ a-1＜0\end{cases}$，解得$a＜0$，存在符合条件的$a$，故顶点可能在第三象限，排除C；
4. 若顶点在第四象限：需满足$\begin{cases}a＞0 \\ a-1＜0\end{cases}$，解得$0＜a＜1$，存在符合条件的$a$，故顶点可能在第四象限，排除D。
【答案】
B
【知识点】
抛物线顶点式性质，象限坐标特征，不等式组求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题核心是先准确提取顶点坐标，再通过分类讨论参数的取值范围判断点的位置，能够较好考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数顶点式的性质，抛物线$y=(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，据此先求出本题抛物线的顶点坐标。再结合平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，分情况讨论参数$a$的取值范围，判断顶点可能出现的象限，排除存在可能性的选项，即可得到顶点不可能在的象限。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，因此抛物线$y=(x-a)^2 + a -1$的顶点坐标为$(a, a-1)$。
结合各象限坐标特征逐一分析：
1. 若顶点在第一象限：需满足$\begin{cases}a＞0 \\ a-1＞0\end{cases}$，解得$a＞1$，存在符合条件的$a$，故顶点可能在第一象限，排除A；
2. 若顶点在第二象限：需满足$\begin{cases}a＜0 \\ a-1＞0\end{cases}$，即$a＜0$且$a＞1$，不存在这样的实数$a$，故顶点不可能在第二象限；
3. 若顶点在第三象限：需满足$\begin{cases}a＜0 \\ a-1＜0\end{cases}$，解得$a＜0$，存在符合条件的$a$，故顶点可能在第三象限，排除C；
4. 若顶点在第四象限：需满足$\begin{cases}a＞0 \\ a-1＜0\end{cases}$，解得$0＜a＜1$，存在符合条件的$a$，故顶点可能在第四象限，排除D。
【答案】
B
【知识点】
抛物线顶点式性质，象限坐标特征，不等式组求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题核心是先准确提取顶点坐标，再通过分类讨论参数的取值范围判断点的位置，能够较好考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
11. (★★)二次函数$y=a(x-t)^2+3$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$a$和$t$满足
【 】
A.$a＞0,t≤1$
B.$a＜0,t≤1$
C.$a＞0,t≥1$
D.$a＜0,t≥1$
【 】
A.$a＞0,t≤1$
B.$a＜0,t≤1$
C.$a＞0,t≥1$
D.$a＜0,t≥1$
答案
B
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：开口方向由$a$的符号决定，对称轴为直线$x=h$，增减性由开口方向和对称轴共同决定。解题时先根据“$x＞1$时$y$随$x$增大而减小”判断开口方向，确定$a$的符号，再结合增减性的区间要求确定对称轴$x=t$和$1$的大小关系即可。
【解析】
对于二次函数$y=a(x-t)^2+3$：
1. 判断$a$的符号：
已知当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，说明抛物线在对称轴右侧呈下降趋势，因此抛物线开口向下，可得$a＜0$。
2. 判断$t$的取值范围：
开口向下的抛物线，在对称轴$x=t$的右侧（即$x≥t$的区间），$y$随$x$的增大而减小。要使$x＞1$时始终满足$y$随$x$增大而减小，就需要$x＞1$这个区间完全包含在$x≥t$的范围内，因此$t≤1$。
综上，$a＜0$且$t≤1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数增减性；抛物线开口方向
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，解题核心是理清开口方向、对称轴位置对函数增减性的影响，易错点是容易混淆开口方向与增减性的对应关系，或弄错对称轴和给定区间的大小关系。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：开口方向由$a$的符号决定，对称轴为直线$x=h$，增减性由开口方向和对称轴共同决定。解题时先根据“$x＞1$时$y$随$x$增大而减小”判断开口方向，确定$a$的符号，再结合增减性的区间要求确定对称轴$x=t$和$1$的大小关系即可。
【解析】
对于二次函数$y=a(x-t)^2+3$：
1. 判断$a$的符号：
已知当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，说明抛物线在对称轴右侧呈下降趋势，因此抛物线开口向下，可得$a＜0$。
2. 判断$t$的取值范围：
开口向下的抛物线，在对称轴$x=t$的右侧（即$x≥t$的区间），$y$随$x$的增大而减小。要使$x＞1$时始终满足$y$随$x$增大而减小，就需要$x＞1$这个区间完全包含在$x≥t$的范围内，因此$t≤1$。
综上，$a＜0$且$t≤1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数增减性；抛物线开口方向
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，解题核心是理清开口方向、对称轴位置对函数增减性的影响，易错点是容易混淆开口方向与增减性的对应关系，或弄错对称轴和给定区间的大小关系。
【难度系数】
0.7
