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例 为加强爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动。现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩(单位：分)进行整理、描述和分析(成绩用$x$表示，共分为四组：A. $x＜70$；B. $70≤x＜80$；C. $80≤x＜90$；D. $90≤x≤100$)，下面给出了部分信息：
八年级C组学生成绩为88，81，84，86，83，86，89；
九年级20名学生成绩为66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99。
八、九年级学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：$a=$
(2)该校八、九年级共1280名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上)的学生共有多少人；
(3)根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握得更好？请说明理由。(至少从两个不同的角度说明理由)
八年级C组学生成绩为88，81，84，86，83，86，89；
九年级20名学生成绩为66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99。
八、九年级学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：$a=$
87
，$b=$86
，$m=$40
；(2)该校八、九年级共1280名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上)的学生共有多少人；
(3)根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握得更好？请说明理由。(至少从两个不同的角度说明理由)
答案
(1) 87，86，40
(2) 估计两个年级成绩为优秀(90分及以上)的学生有448人。
(3) 八年级对爱国主义教育知识掌握得更好。理由略。
(2) 估计两个年级成绩为优秀(90分及以上)的学生有448人。
(3) 八年级对爱国主义教育知识掌握得更好。理由略。
解析
【分析】
本题考查统计的综合应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：先明确a是八年级成绩的中位数，b是九年级成绩的中位数，m是八年级90分及以上人数的百分比。①计算中位数时，20个数据的中位数是排序后第10、11个数据的平均数：九年级给出的20个成绩排序后第10、11个都是86，直接得b=86；②将八年级C组成绩排序，结合各组人数确定第10、11个数据分别是86和88，求平均得a=87；③算出八年级90分及以上的人数为8人，除以总人数20得占比40%，即m=40。
2. 第(2)问：用样本估计总体，先求出抽取的40名学生中优秀人数的占比，再乘总人数1280即可得到优秀总人数的估计值。
3. 第(3)问：对比两个年级的统计量，比如中位数、优秀率等，从至少两个角度说明八年级成绩更好即可。
【解析】
(1) ①计算a：八年级抽取20名学生成绩，中位数为排序后第10、11个数据的平均数。将八年级C组成绩从小到大排序为：81，83，84，86，86，88，89，结合分组人数可确定第10个数据为86，第11个数据为88，因此$a=\frac{86+88}{2}=87$；
②计算b：将九年级20名学生成绩排序后，第10个和第11个数据均为86，因此$b=\frac{86+86}{2}=86$；
③计算m：八年级D组（90≤x≤100）的人数为8人，因此D组占比为$\frac{8}{20}×100\%=40\%$，即$m=40$。
(2) 抽取的40名学生中，八年级优秀人数为$20×40\%=8$人，九年级优秀人数为6人，样本优秀率为$\frac{8+6}{20+20}×100\%=35\%$。
估计1280名学生中优秀人数为$1280×35\%=448$人。
(3) 八年级对爱国主义教育知识掌握得更好，理由：①八年级成绩的中位数87分高于九年级的中位数86分，说明八年级中等水平学生的成绩更好；②八年级的优秀率40%高于九年级的30%，说明八年级高分段学生占比更高。（合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{87}$，$\boxed{86}$，$\boxed{40}$
(2) 估计两个年级成绩为优秀(90分及以上)的学生有$\boxed{448}$人。
(3) 八年级对爱国主义教育知识掌握得更好，理由合理即可。
【知识点】
中位数的计算，用样本估计总体，统计量的应用
【点评】
本题结合爱国主义教育的实际情境考查统计知识的应用，既需要掌握中位数、百分比的基本计算方法，也需要理解不同统计量的实际意义，能合理分析数据特征，是统计章节的典型应用题。
【难度系数】
0.7
本题考查统计的综合应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：先明确a是八年级成绩的中位数，b是九年级成绩的中位数，m是八年级90分及以上人数的百分比。①计算中位数时，20个数据的中位数是排序后第10、11个数据的平均数：九年级给出的20个成绩排序后第10、11个都是86，直接得b=86；②将八年级C组成绩排序，结合各组人数确定第10、11个数据分别是86和88，求平均得a=87；③算出八年级90分及以上的人数为8人，除以总人数20得占比40%，即m=40。
2. 第(2)问：用样本估计总体，先求出抽取的40名学生中优秀人数的占比，再乘总人数1280即可得到优秀总人数的估计值。
3. 第(3)问：对比两个年级的统计量，比如中位数、优秀率等，从至少两个角度说明八年级成绩更好即可。
【解析】
(1) ①计算a：八年级抽取20名学生成绩，中位数为排序后第10、11个数据的平均数。将八年级C组成绩从小到大排序为：81，83，84，86，86，88，89，结合分组人数可确定第10个数据为86，第11个数据为88，因此$a=\frac{86+88}{2}=87$；
②计算b：将九年级20名学生成绩排序后，第10个和第11个数据均为86，因此$b=\frac{86+86}{2}=86$；
③计算m：八年级D组（90≤x≤100）的人数为8人，因此D组占比为$\frac{8}{20}×100\%=40\%$，即$m=40$。
(2) 抽取的40名学生中，八年级优秀人数为$20×40\%=8$人，九年级优秀人数为6人，样本优秀率为$\frac{8+6}{20+20}×100\%=35\%$。
估计1280名学生中优秀人数为$1280×35\%=448$人。
(3) 八年级对爱国主义教育知识掌握得更好，理由：①八年级成绩的中位数87分高于九年级的中位数86分，说明八年级中等水平学生的成绩更好；②八年级的优秀率40%高于九年级的30%，说明八年级高分段学生占比更高。（合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{87}$，$\boxed{86}$，$\boxed{40}$
(2) 估计两个年级成绩为优秀(90分及以上)的学生有$\boxed{448}$人。
(3) 八年级对爱国主义教育知识掌握得更好，理由合理即可。
【知识点】
中位数的计算，用样本估计总体，统计量的应用
【点评】
本题结合爱国主义教育的实际情境考查统计知识的应用，既需要掌握中位数、百分比的基本计算方法，也需要理解不同统计量的实际意义，能合理分析数据特征，是统计章节的典型应用题。
【难度系数】
0.7
甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击10次，两人的成绩(单位：环)如图所示。小华同学根据统计图写出了以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高。其中正确的是 (
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
任务二 根据数据分布信息作出合理的判断和评价
阅读材料，完成下列探究。
为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲、乙、丙、丁四个班的学生参加“跳绳”比赛，并将调查结果进行整理，绘制了箱线图(如图)。
探究1：这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？
探究2：这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的个数最多的同学在哪个班？
探究3：你觉得哪个班的同学表现最出色？请说明理由。
A
)A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
任务二 根据数据分布信息作出合理的判断和评价
阅读材料，完成下列探究。
为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲、乙、丙、丁四个班的学生参加“跳绳”比赛，并将调查结果进行整理，绘制了箱线图(如图)。
探究1：这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？
探究2：这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的个数最多的同学在哪个班？
探究3：你觉得哪个班的同学表现最出色？请说明理由。
答案
该题正确选项为A
探究1 乙班的成绩最稳定。
探究2 由题中箱线图可得，丙班的中位数最大，甲班的最大值最大，因此跳的个数最多的同学在甲班。
探究3 乙班同学表现最出色。理由如下：
乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化。（答案不唯一）
探究1 乙班的成绩最稳定。
探究2 由题中箱线图可得，丙班的中位数最大，甲班的最大值最大，因此跳的个数最多的同学在甲班。
探究3 乙班同学表现最出色。理由如下：
乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化。（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时我们分两部分梳理思路：第一部分是射击成绩的推断题，首先明确相关统计量的意义：①判断成绩稳定性看数据波动大小，波动越小方差越小，成绩越稳定；②比较平均成绩可通过估算两人10次成绩总和判断，总和越大平均成绩越高；③单次射击成绩属于随机事件，无法确定结果，不能用“一定”描述。第二部分是箱线图探究题，先明确箱线图各部分含义：箱体长度反映数据波动大小，箱体越短成绩越稳定；箱体中间的线代表中位数，位置越靠右中位数越大；箱线图最右端端点代表数据最大值，位置越靠右最大值越大；评价班级表现可结合稳定性、中位数、整体数据分布等角度综合分析。
【解析】
选择题部分
观察甲乙射击成绩的折线图：
1. 甲的成绩波动幅度明显小于乙，说明甲方差更小，成绩更稳定，故推断①正确；
2. 估算两人10次总成绩，乙的高环数次数更多，总成绩大于甲，因此乙的平均成绩更高，故推断②正确；
3. 每次射击成绩是随机事件，无法确定单次射击的成绩高低，“乙的成绩一定比甲高”的表述错误，故推断③错误。
综上正确的是①②，对应选项A。
探究部分
探究1：箱线图中箱体长度（四分位距）和整体极差越小，数据波动越小，成绩越稳定。观察四个班的箱线图，乙班箱体最短、数据波动最小，因此乙班成绩最稳定。
探究2：箱线图中箱体内部横线代表中位数，观察可知丙班的中位数位置最靠右，因此丙班成绩的中位数最大；箱线图最右端端点代表该组数据的最大值，甲班的最右端点位置最远，因此跳的个数最多的同学在甲班。
探究3：可选择乙班判断其表现最出色，理由：乙班成绩波动最小，说明学生整体成绩均衡，无明显两极分化，同时乙班中位数处于较高水平，大部分学生跳绳成绩较好，综合表现突出（答案合理即可）。
【答案】
选择题正确选项为A；
探究1：乙班的成绩最稳定；
探究2：丙班的中位数最大，跳的个数最多的同学在甲班；
探究3：乙班同学表现最出色，理由：乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化（答案不唯一）。
【知识点】
方差与稳定性，箱线图的识别，随机事件的概念
【点评】
本题结合射击、跳绳比赛的生活场景，考查折线图、箱线图的信息提取能力，以及平均数、方差、中位数等统计量的实际应用，同时要求明确统计结论的不确定性，能够有效锻炼数据分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们分两部分梳理思路：第一部分是射击成绩的推断题，首先明确相关统计量的意义：①判断成绩稳定性看数据波动大小，波动越小方差越小，成绩越稳定；②比较平均成绩可通过估算两人10次成绩总和判断，总和越大平均成绩越高；③单次射击成绩属于随机事件，无法确定结果，不能用“一定”描述。第二部分是箱线图探究题，先明确箱线图各部分含义：箱体长度反映数据波动大小，箱体越短成绩越稳定；箱体中间的线代表中位数，位置越靠右中位数越大；箱线图最右端端点代表数据最大值，位置越靠右最大值越大；评价班级表现可结合稳定性、中位数、整体数据分布等角度综合分析。
【解析】
选择题部分
观察甲乙射击成绩的折线图：
1. 甲的成绩波动幅度明显小于乙，说明甲方差更小，成绩更稳定，故推断①正确；
2. 估算两人10次总成绩，乙的高环数次数更多，总成绩大于甲，因此乙的平均成绩更高，故推断②正确；
3. 每次射击成绩是随机事件，无法确定单次射击的成绩高低，“乙的成绩一定比甲高”的表述错误，故推断③错误。
综上正确的是①②，对应选项A。
探究部分
探究1：箱线图中箱体长度（四分位距）和整体极差越小，数据波动越小，成绩越稳定。观察四个班的箱线图，乙班箱体最短、数据波动最小，因此乙班成绩最稳定。
探究2：箱线图中箱体内部横线代表中位数，观察可知丙班的中位数位置最靠右，因此丙班成绩的中位数最大；箱线图最右端端点代表该组数据的最大值，甲班的最右端点位置最远，因此跳的个数最多的同学在甲班。
探究3：可选择乙班判断其表现最出色，理由：乙班成绩波动最小，说明学生整体成绩均衡，无明显两极分化，同时乙班中位数处于较高水平，大部分学生跳绳成绩较好，综合表现突出（答案合理即可）。
【答案】
选择题正确选项为A；
探究1：乙班的成绩最稳定；
探究2：丙班的中位数最大，跳的个数最多的同学在甲班；
探究3：乙班同学表现最出色，理由：乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化（答案不唯一）。
【知识点】
方差与稳定性，箱线图的识别，随机事件的概念
【点评】
本题结合射击、跳绳比赛的生活场景，考查折线图、箱线图的信息提取能力，以及平均数、方差、中位数等统计量的实际应用，同时要求明确统计结论的不确定性，能够有效锻炼数据分析能力。
【难度系数】
0.7
