将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为 （）


A.140
B.150
C.163
D.180

D

例 已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中，两班的成绩箱线图如图所示。

(1)甲班成绩的中位数为，乙班成绩的上四分位数为；
(2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？
(3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个。

(1) 128 128
(2) 甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学。
(3) 由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为 128，而乙班的上四分位数是 128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班的平均分较高。

【分析】
解题前先明确箱线图的结构含义：箱线图中，箱体中间的横线代表数据的中位数，箱体的上边是上四分位数（75%分位数，表示有75%的数据小于等于该值），箱体的下边是下四分位数（25%分位数，表示有25%的数据小于等于该值）。
对于(1)：直接对应箱线图的结构定位对应数值即可；
对于(2)：“下半截箱子”是下四分位数到中位数的区间，长度越长说明该区间内数据离散程度越大，对应群体的成绩差异越大；
对于(3)：比较两班平均分可通过对比两组数据的集中趋势判断，中位数、四分位数的高低能反映整体数据的水平，数值越高说明整体成绩越好，对应平均分越高。
【解析】
(1) 箱线图中箱体中间的横线为中位数，观察甲班的箱线图，中间横线对应成绩为128，因此甲班成绩的中位数为128；
箱线图中箱体的上边为上四分位数，观察乙班的箱线图，箱体上边对应成绩为128，因此乙班成绩的上四分位数为128。
(2) “下半截箱子”对应甲班成绩下四分位数到中位数的区间，该区间较长说明区间内数据分布更分散，即甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异，要大于中等偏上的同学的成绩差异。
(3) 观察箱线图可知：甲班的中位数是128，说明甲班有一半的同学成绩不低于128分；乙班的上四分位数是128，说明乙班仅有25%的同学成绩不低于128分，同时甲班的下四分位数明显高于乙班，说明甲班整体成绩水平更高，因此估计甲班的平均分较高。
【答案】
(1) 128；128
(2) 甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学。
(3) 甲班平均分较高
【知识点】
箱线图的认识；中位数；四分位数
【点评】
本题结合成绩统计的实际情境，考查对箱线图各统计量含义的理解，需要掌握用箱线图分析数据集中趋势、离散程度的方法，能通过箱线图对比两组数据的整体水平。
【难度系数】
0.7

1. 一组数据1，2，2，x，4，4的唯一的众数是2，则这组数据的下四分位数是。

1. 2

【分析】
解题需分两步完成：第一步先根据众数的定义确定x的取值：众数是一组数据中出现次数最多的数，已知这组数据的唯一众数是2，现有数据中2和4均出现2次，要保证2是唯一出现次数最多的数，x只能取2。第二步计算下四分位数：先将确定x后的所有数据从小到大排序，再根据下四分位数（第25百分位数）的计算规则，先计算位置i=数据总个数×25%，若i不是整数则向上取整，对应位置的数就是下四分位数。
【解析】
1. 确定x的值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，已知该组数据唯一众数为2。现有数据中2出现2次，4出现2次，1出现1次，因此x只能为2，此时2共出现3次，为出现次数最多的数，符合唯一众数的要求。
2. 排序数据：
将x=2代入后，数据从小到大排列为：1，2，2，2，4，4，总共有6个数据。
3. 计算下四分位数：
下四分位数对应第25百分位数，计算位置i = 6×25% = 1.5。
由于i不是整数，向上取整为2，即下四分位数为排序后第2个数据，值为2。
【答案】
2
【知识点】
众数的定义；百分位数的计算
【点评】
本题核心考查对众数概念的理解和下四分位数的计算方法，解题关键是先利用众数的唯一性确定未知参数x的取值，再严格按照百分位数的计算规则求解，需注意计算位置时非整数需向上取整的规则，避免因规则记错失分。
【难度系数】
0.7

2. 某银行为了提高服务水平，随机调查了40名顾客的等待时间(单位：min)，结果如表所示。

(1)计算这组数据的四分位数并画出箱线图；
(2)这40名顾客的平均等待时间是多少？你对该银行改进服务质量有什么好的建议？

2. (1) $m_{25}=7.5$，$m_{50}=13.5$，$m_{75}=20$。画箱线图略。
2. (2) 这40名顾客的平均等待时间是14.275 min。建议：应该增加窗口，减少顾客的等待时间。（合理即可）

【分析】
（1）求解四分位数首先要把所有数据从小到大排序，再按照四分位数的计算规则操作：对于n个数据，p分位数的位置为$i=n× p$，如果i是整数，那么p分位数就是第i个和第i+1个数据的平均数；如果i不是整数，向上取整后对应位置的数就是p分位数。本题数据总数$n=40$，分别计算25%、50%、75%对应的位置，代入规则即可求出三个四分位数，再结合最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个统计量就能画出箱线图。
（2）平均等待时间就是算术平均数，只需要把40个数据的总和求出来，除以数据总数40即可，再结合计算得到的平均等待时间、四分位数结果，围绕减少顾客等待时间给出合理的改进建议即可。
【解析】
(1) 第一步：将40名顾客的等待时间从小到大排序为：
2,3,3,4,5,5,5,6,6,7,
8,8,8,10,10,10,10,11,12,13,
14,15,15,15,16,16,17,18,20,20,
20,20,21,21,23,24,25,27,30,35
第二步：计算各四分位数：
25%分位数位置：$i=40×25\%=10$，是整数，因此$m_{25}=\frac{\mathrm{第10个数据}+\mathrm{第11个数据}}{2}=\frac{7+8}{2}=7.5$
50%分位数（中位数）位置：$i=40×50\%=20$，是整数，因此$m_{50}=\frac{\mathrm{第20个数据}+\mathrm{第21个数据}}{2}=\frac{13+14}{2}=13.5$
75%分位数位置：$i=40×75\%=30$，是整数，因此$m_{75}=\frac{\mathrm{第30个数据}+\mathrm{第31个数据}}{2}=\frac{20+20}{2}=20$
箱线图可根据最小值2、$m_{25}=7.5$、$m_{50}=13.5$、$m_{75}=20$、最大值35绘制，此处略。
(2) 平均等待时间为所有数据的算术平均数：
先计算40个数据的总和：
$2+5+10+3+8+20+25+30+10+15+35+21+7+5+4+18+11+13+20+16+6+12+8+14+15+10+5+21+23+10+3+33+24+15+17+20+27+8+6+16=571$
因此平均等待时间$\bar{x}=\frac{571}{40}=14.275(\mathrm{min})$
建议：可适当增加服务窗口，优化业务办理流程，减少顾客等待时间（合理即可）。
【答案】
(1) $m_{25}=7.5$，$m_{50}=13.5$，$m_{75}=20$，箱线图略；
(2) 这40名顾客的平均等待时间是14.275 min，建议：增加服务窗口，优化业务办理流程，减少顾客等待时间（合理即可）。
【知识点】
四分位数计算，平均数计算，统计的实际应用
【点评】
本题考查统计特征数的计算和实际应用，解题的核心是正确对数据排序，熟练掌握分位数、平均数的计算规则，能够结合统计结果分析实际问题并给出合理建议，考查内容贴合生活实际，应用性较强。
【难度系数】
0.7