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8. [2026马鞍山期末]如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C=70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕ED交AB于D，交BC于E，若AE=AC，则∠B的度数为
35°
。答案
35°
解析
【分析】
解题时先从折叠的性质入手，折叠后点B与点A重合，可得对应角相等，即∠B=∠BAE；再结合已知AE=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠AEC=∠C=70°；最后根据三角形外角的性质，∠AEC是△ABE的外角，等于和它不相邻的两个内角∠B与∠BAE的和，代入等量关系即可求出∠B的度数。
【解析】
∵将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为ED
∴∠BAE=∠B
∵AE=AC，∠C=70°
∴△AEC为等腰三角形，∠AEC=∠C=70°
又
∵∠AEC是△ABE的外角
∴∠AEC=∠B+∠BAE
将∠BAE=∠B代入得：
∠AEC=2∠B=70°
解得∠B=35°
【答案】
35°
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过折叠得到等角关系，再结合等腰三角形性质和外角定理建立角度的等量关系，进而求解未知角，是等腰三角形相关知识点的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
解题时先从折叠的性质入手，折叠后点B与点A重合，可得对应角相等，即∠B=∠BAE；再结合已知AE=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠AEC=∠C=70°；最后根据三角形外角的性质，∠AEC是△ABE的外角，等于和它不相邻的两个内角∠B与∠BAE的和，代入等量关系即可求出∠B的度数。
【解析】
∵将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为ED
∴∠BAE=∠B
∵AE=AC，∠C=70°
∴△AEC为等腰三角形，∠AEC=∠C=70°
又
∵∠AEC是△ABE的外角
∴∠AEC=∠B+∠BAE
将∠BAE=∠B代入得：
∠AEC=2∠B=70°
解得∠B=35°
【答案】
35°
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过折叠得到等角关系，再结合等腰三角形性质和外角定理建立角度的等量关系，进而求解未知角，是等腰三角形相关知识点的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
9.新情境 小明用两个全等的等腰三角形：$△ OAB$与$△ ODC$，设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，它们关于直线$l$对称，$E$，$F$分别是底边$AB$，$CD$的中点，$OE ⊥ OF$.下列推断错误的是（
A.$BE=CF$
B.$OE=OF$
C.$∠ BOC + ∠ AOD = 180°$
D.$∠ BOC = ∠ COD$
D
）A.$BE=CF$
B.$OE=OF$
C.$∠ BOC + ∠ AOD = 180°$
D.$∠ BOC = ∠ COD$
答案
D
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的全等、轴对称、等腰三角形、中点、垂直这些条件，回忆相关性质，逐个分析选项：1. 利用全等三角形对应边相等、中点的性质判断选项A；2. 利用轴对称对应线段相等的性质判断选项B；3. 用设参数表示角的方法，结合OE⊥OF的条件推导角的和的关系，判断选项C；4. 对比∠BOC和∠COD的表达式，判断选项D是否成立。
【解析】
解：
∵△OAB与△ODC全等，且关于直线$l$对称，
∴$AB=CD$，$∠AOB=∠COD$，轴对称对应线段相等。
①判断选项A：
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
又
∵$AB=CD$，
∴$BE=CF$，A选项正确，不符合题意。
②判断选项B：
∵△OAB是等腰三角形，E是AB中点，根据等腰三角形三线合一，OE是△OAB底边AB上的中线，也是对应对称轴上的线段，
同理OF是△ODC底边CD上的中线，二者是轴对称的对应线段，
∴$OE=OF$，B选项正确，不符合题意。
③判断选项C：
设$∠EOB=α$，由轴对称和等腰三角形三线合一可得：$∠AOE=∠EOB=∠COF=∠FOD=α$，
∴$∠AOB=∠COD=2α$，
∵$OE⊥OF$，
∴$∠EOF=90°$，
即$∠EOB + ∠BOC + ∠COF=α + ∠BOC + α=90°$，
∴$2α + ∠BOC=90°$，
$∠AOD=∠AOB + ∠BOC + ∠COD=2α + ∠BOC + 2α=4α + ∠BOC$，
∴$∠BOC + ∠AOD=∠BOC + 4α + ∠BOC=2(2α + ∠BOC)=2×90°=180°$，C选项正确，不符合题意。
④判断选项D：
$∠COD=2α$，$∠BOC=90°-2α$，只有当$α=22.5°$时二者相等，一般情况不相等，
∴$∠BOC$不一定等于$∠COD$，D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质
【点评】
本题以趣味图案为背景，综合考查全等、轴对称和等腰三角形的相关性质，解题时可通过设参数表示角的度数，简化角之间数量关系的推导，逐一排除选项即可得到答案。
【难度系数】
0.7
解题时先结合题目给出的全等、轴对称、等腰三角形、中点、垂直这些条件，回忆相关性质，逐个分析选项：1. 利用全等三角形对应边相等、中点的性质判断选项A；2. 利用轴对称对应线段相等的性质判断选项B；3. 用设参数表示角的方法，结合OE⊥OF的条件推导角的和的关系，判断选项C；4. 对比∠BOC和∠COD的表达式，判断选项D是否成立。
【解析】
解：
∵△OAB与△ODC全等，且关于直线$l$对称，
∴$AB=CD$，$∠AOB=∠COD$，轴对称对应线段相等。
①判断选项A：
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
又
∵$AB=CD$，
∴$BE=CF$，A选项正确，不符合题意。
②判断选项B：
∵△OAB是等腰三角形，E是AB中点，根据等腰三角形三线合一，OE是△OAB底边AB上的中线，也是对应对称轴上的线段，
同理OF是△ODC底边CD上的中线，二者是轴对称的对应线段，
∴$OE=OF$，B选项正确，不符合题意。
③判断选项C：
设$∠EOB=α$，由轴对称和等腰三角形三线合一可得：$∠AOE=∠EOB=∠COF=∠FOD=α$，
∴$∠AOB=∠COD=2α$，
∵$OE⊥OF$，
∴$∠EOF=90°$，
即$∠EOB + ∠BOC + ∠COF=α + ∠BOC + α=90°$，
∴$2α + ∠BOC=90°$，
$∠AOD=∠AOB + ∠BOC + ∠COD=2α + ∠BOC + 2α=4α + ∠BOC$，
∴$∠BOC + ∠AOD=∠BOC + 4α + ∠BOC=2(2α + ∠BOC)=2×90°=180°$，C选项正确，不符合题意。
④判断选项D：
$∠COD=2α$，$∠BOC=90°-2α$，只有当$α=22.5°$时二者相等，一般情况不相等，
∴$∠BOC$不一定等于$∠COD$，D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质
【点评】
本题以趣味图案为背景，综合考查全等、轴对称和等腰三角形的相关性质，解题时可通过设参数表示角的度数，简化角之间数量关系的推导，逐一排除选项即可得到答案。
【难度系数】
0.7
10. 几何直观 [2026 阜阳期中] 如图,在$△ ABC$中,点 D 在 BC 边上,$AB=BC$,过点 D 作$DE⊥ BC$,$DE$交 AC 于点 E.
(1)若$∠ AED=155°$,求$∠ ABC$的度数;
(2)若点 E 是 AC 的中点,求证:$∠ CED = \frac{1}{2}∠ ABC$.
(1)若$∠ AED=155°$,求$∠ ABC$的度数;
(2)若点 E 是 AC 的中点,求证:$∠ CED = \frac{1}{2}∠ ABC$.
答案
(1)解：$∠ ABC=50°$. (2)证明：略.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先利用邻补角的性质求出∠CED的度数，再结合DE⊥BC得到△EDC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠C的度数；已知AB=BC，△ABC是等腰三角形，可得∠A=∠C，最后根据三角形内角和定理即可求出∠ABC的度数。
(2) 证明第二问时，结合等腰三角形三线合一的性质，连接BE，可得BE既是△ABC的中线、高，也是∠ABC的角平分线，即∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC；再根据∠CED和∠C互余、∠CBE和∠C互余，利用同角的余角相等即可推出∠CED=∠CBE，从而得证。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠AED=155°，∠AED+∠CED=180°，
∴ ∠CED=180°-155°=25°，
∵ DE⊥BC，
∴ ∠EDC=90°，
在Rt△EDC中，∠C+∠CED=90°，
∴ ∠C=90°-25°=65°，
又
∵ AB=BC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠A=∠C=65°，
在△ABC中，∠ABC+∠A+∠C=180°，
∴ ∠ABC=180°-65°-65°=50°。
(2) 证明：
连接BE，
∵ AB=BC，点E是AC的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
∴ ∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，且∠CBE+∠C=90°，
又
∵ DE⊥BC，
∴ ∠CED+∠C=90°，
∴ ∠CED=∠CBE（同角的余角相等），
∴ ∠CED=$\frac{1}{2}$∠ABC，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABC=50°}$
(2) 证明成立，见上述解析。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题围绕等腰三角形的性质设计，第一问综合考查邻补角、直角三角形内角关系、等腰三角形等角性质的应用，第二问需要学生合理构造辅助线，利用三线合一转化角的等量关系，是等腰三角形章节的基础巩固题型，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先利用邻补角的性质求出∠CED的度数，再结合DE⊥BC得到△EDC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠C的度数；已知AB=BC，△ABC是等腰三角形，可得∠A=∠C，最后根据三角形内角和定理即可求出∠ABC的度数。
(2) 证明第二问时，结合等腰三角形三线合一的性质，连接BE，可得BE既是△ABC的中线、高，也是∠ABC的角平分线，即∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC；再根据∠CED和∠C互余、∠CBE和∠C互余，利用同角的余角相等即可推出∠CED=∠CBE，从而得证。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠AED=155°，∠AED+∠CED=180°，
∴ ∠CED=180°-155°=25°，
∵ DE⊥BC，
∴ ∠EDC=90°，
在Rt△EDC中，∠C+∠CED=90°，
∴ ∠C=90°-25°=65°，
又
∵ AB=BC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠A=∠C=65°，
在△ABC中，∠ABC+∠A+∠C=180°，
∴ ∠ABC=180°-65°-65°=50°。
(2) 证明：
连接BE，
∵ AB=BC，点E是AC的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
∴ ∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，且∠CBE+∠C=90°，
又
∵ DE⊥BC，
∴ ∠CED+∠C=90°，
∴ ∠CED=∠CBE（同角的余角相等），
∴ ∠CED=$\frac{1}{2}$∠ABC，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABC=50°}$
(2) 证明成立，见上述解析。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题围绕等腰三角形的性质设计，第一问综合考查邻补角、直角三角形内角关系、等腰三角形等角性质的应用，第二问需要学生合理构造辅助线，利用三线合一转化角的等量关系，是等腰三角形章节的基础巩固题型，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11. 能力训练点·探究建模 在△ABC中，AB=AC.
(1)AD是BC上的高，AD=AE.
①如图①，如果∠BAD=20°，则∠EDC=
②如图②，如果∠BAD=50°，则∠EDC=
(2)思考:通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
(3)如图③，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请说明理由.
(1)AD是BC上的高，AD=AE.
①如图①，如果∠BAD=20°，则∠EDC=
10
°；②如图②，如果∠BAD=50°，则∠EDC=
25°
.(2)思考:通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$
.(3)如图③，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请说明理由.
答案
(1)①10 ②$25°$ (2)$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$ (3)解：有.理由：略.
解析
【分析】
本题利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理及外角性质求解。解题思路如下：先由AB=AC得∠B=∠C，AD=AE得∠ADE=∠AED；①②小问结合等腰三角形三线合一的性质，先求出对应角的度数，再计算∠EDC；第(3)问通过三角形外角的性质建立∠BAD和∠EDC的数量关系，消去相等的角即可推导普遍规律。
【解析】
(1)①$\because AB=AC$，AD是BC边上的高，$\therefore$AD平分$∠ BAC$，$∠ ADC=90°$，$∠ B=∠ C$。
已知$∠ BAD=20°$，则$∠ DAC=∠ BAD=20°$，$∠ BAC=40°$。
$\therefore ∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°$。
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED=(180°-∠ DAC)÷2=(180°-20°)÷2=80°$。
$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=90°-80°=10°$。
②同理，$∠ BAD=50°$，则$∠ DAC=50°$，$∠ BAC=100°$，$∠ C=(180°-100°)÷2=40°$。
$∠ ADE=(180°-50°)÷2=65°$，$\therefore ∠ EDC=90°-65°=25°$。
(2)由①$10°=\frac{1}{2}×20°$，②$25°=\frac{1}{2}×50°$，可得出规律：$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$。
(3)仍有上述关系，理由如下：
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，又$∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC$，因此：
$∠ ADE+∠ EDC=∠ B+∠ BAD$ ①
$\because ∠ AED$是$△ DEC$的外角，$\therefore ∠ AED=∠ C+∠ EDC$，结合$∠ ADE=∠ AED$得：
$∠ ADE=∠ C+∠ EDC$ ②
将②代入①得：$∠ C+∠ EDC+∠ EDC=∠ B+∠ BAD$，
$\because ∠ B=∠ C$，化简得$∠ BAD=2∠ EDC$，即$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$。
【答案】
(1)①$\boxed{10}$；②$\boxed{25°}$；(2)$\boxed{∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD}$；(3)有，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题从特殊情况入手探究规律，再推广到一般情况，考查了从特殊到一般的数学探究思维，解题核心是灵活运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质建立角的数量关系。
【难度系数】
0.65
本题利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理及外角性质求解。解题思路如下：先由AB=AC得∠B=∠C，AD=AE得∠ADE=∠AED；①②小问结合等腰三角形三线合一的性质，先求出对应角的度数，再计算∠EDC；第(3)问通过三角形外角的性质建立∠BAD和∠EDC的数量关系，消去相等的角即可推导普遍规律。
【解析】
(1)①$\because AB=AC$，AD是BC边上的高，$\therefore$AD平分$∠ BAC$，$∠ ADC=90°$，$∠ B=∠ C$。
已知$∠ BAD=20°$，则$∠ DAC=∠ BAD=20°$，$∠ BAC=40°$。
$\therefore ∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°$。
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED=(180°-∠ DAC)÷2=(180°-20°)÷2=80°$。
$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=90°-80°=10°$。
②同理，$∠ BAD=50°$，则$∠ DAC=50°$，$∠ BAC=100°$，$∠ C=(180°-100°)÷2=40°$。
$∠ ADE=(180°-50°)÷2=65°$，$\therefore ∠ EDC=90°-65°=25°$。
(2)由①$10°=\frac{1}{2}×20°$，②$25°=\frac{1}{2}×50°$，可得出规律：$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$。
(3)仍有上述关系，理由如下：
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，又$∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC$，因此：
$∠ ADE+∠ EDC=∠ B+∠ BAD$ ①
$\because ∠ AED$是$△ DEC$的外角，$\therefore ∠ AED=∠ C+∠ EDC$，结合$∠ ADE=∠ AED$得：
$∠ ADE=∠ C+∠ EDC$ ②
将②代入①得：$∠ C+∠ EDC+∠ EDC=∠ B+∠ BAD$，
$\because ∠ B=∠ C$，化简得$∠ BAD=2∠ EDC$，即$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$。
【答案】
(1)①$\boxed{10}$；②$\boxed{25°}$；(2)$\boxed{∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD}$；(3)有，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题从特殊情况入手探究规律，再推广到一般情况，考查了从特殊到一般的数学探究思维，解题核心是灵活运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质建立角的数量关系。
【难度系数】
0.65
