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概念建构
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角
相等
（简写成“等边对等角”）等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线
重合
（简称“三线合一”）答案
相等；重合
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的基础性质，属于概念识记类题目。解题时只需回忆等腰三角形的两个核心性质内容，对应题干描述填写即可：第一个空对应“等边对等角”的含义，即两条等边对应的角也相等，对应等腰三角形两底角的关系；第二个空对应“三线合一”的含义，即底边上的中线、高、顶角平分线这三条线的位置关系。
【解析】
根据等腰三角形的性质：
1. 等腰三角形的两个底角相等，该性质简写成“等边对等角”，因此第一个空填“相等”；
2. 等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线互相重合，该性质简称“三线合一”，因此第二个空填“重合”。
【答案】
相等；重合
【知识点】
等腰三角形的性质、等边对等角、三线合一
【点评】
本题是对等腰三角形基础概念的直接考查，难度较低，重点要求学生准确识记核心性质，是后续解决等腰三角形相关计算、证明类题目的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形的基础性质，属于概念识记类题目。解题时只需回忆等腰三角形的两个核心性质内容，对应题干描述填写即可：第一个空对应“等边对等角”的含义，即两条等边对应的角也相等，对应等腰三角形两底角的关系；第二个空对应“三线合一”的含义，即底边上的中线、高、顶角平分线这三条线的位置关系。
【解析】
根据等腰三角形的性质：
1. 等腰三角形的两个底角相等，该性质简写成“等边对等角”，因此第一个空填“相等”；
2. 等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线互相重合，该性质简称“三线合一”，因此第二个空填“重合”。
【答案】
相等；重合
【知识点】
等腰三角形的性质、等边对等角、三线合一
【点评】
本题是对等腰三角形基础概念的直接考查，难度较低，重点要求学生准确识记核心性质，是后续解决等腰三角形相关计算、证明类题目的基础。
【难度系数】
0.9
1.(新知回顾)如图①所示，它是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成等腰三角形ABC(如图②)，AB=AC.
(1)若∠B=30°,则∠C=
(2)若∠A=110°,则∠B=
(1)若∠B=30°,则∠C=
30
°；(2)若∠A=110°,则∠B=
35
°.答案
(1)30 (2)35
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，解题思路清晰：首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质确定两个底角相等，再结合三角形内角和为180°的规律计算对应角度。第(1)问已知一个底角度数，可直接利用底角相等的性质得出答案；第(2)问已知顶角度数，先求出两个底角的和，再平分得到单个底角的度数即可。
【解析】
已知等腰△ABC中AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C。
(1) 已知∠B=30°，由∠B=∠C，直接得出∠C=30°。
(2) 已知∠A=110°，根据三角形内角和为180°，可得两个底角的和为：∠B+∠C=180°-∠A=180°-110°=70°。又因为∠B=∠C，因此∠B=70°÷2=35°。
【答案】
(1)30 (2)35
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活场景考察等腰三角形的基础性质，属于基础题型，只要熟练掌握相关性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，解题思路清晰：首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质确定两个底角相等，再结合三角形内角和为180°的规律计算对应角度。第(1)问已知一个底角度数，可直接利用底角相等的性质得出答案；第(2)问已知顶角度数，先求出两个底角的和，再平分得到单个底角的度数即可。
【解析】
已知等腰△ABC中AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C。
(1) 已知∠B=30°，由∠B=∠C，直接得出∠C=30°。
(2) 已知∠A=110°，根据三角形内角和为180°，可得两个底角的和为：∠B+∠C=180°-∠A=180°-110°=70°。又因为∠B=∠C，因此∠B=70°÷2=35°。
【答案】
(1)30 (2)35
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活场景考察等腰三角形的基础性质，属于基础题型，只要熟练掌握相关性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.如图，$△ ABC$为等腰直角三角形，$AB=AC$，D是BC的延长线上一点，则$∠ ACD=$
135
°。答案
135
解析
【分析】
解题时首先根据等腰直角三角形的性质确定其内角的度数：等腰直角三角形顶角为90°，两个底角相等，结合三角形内角和可先算出底角∠ACB的度数；再观察图形可知∠ACD与∠ACB是邻补角，二者之和为180°，用180°减去∠ACB的度数即可得到∠ACD的度数。
【解析】
∵△ABC是等腰直角三角形，$AB=AC$
∴$∠ A=90°$，$∠ B=∠ ACB$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACB=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$
又
∵D是BC的延长线上一点，$∠ ACB$与$∠ ACD$互为邻补角
∴$∠ ACD=180°-∠ ACB=180°-45°=135°$
【答案】
135
【知识点】
等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查对等腰直角三角形角度特征和邻补角关系的掌握，计算难度低，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据等腰直角三角形的性质确定其内角的度数：等腰直角三角形顶角为90°，两个底角相等，结合三角形内角和可先算出底角∠ACB的度数；再观察图形可知∠ACD与∠ACB是邻补角，二者之和为180°，用180°减去∠ACB的度数即可得到∠ACD的度数。
【解析】
∵△ABC是等腰直角三角形，$AB=AC$
∴$∠ A=90°$，$∠ B=∠ ACB$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACB=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$
又
∵D是BC的延长线上一点，$∠ ACB$与$∠ ACD$互为邻补角
∴$∠ ACD=180°-∠ ACB=180°-45°=135°$
【答案】
135
【知识点】
等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查对等腰直角三角形角度特征和邻补角关系的掌握，计算难度低，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 整体思想 如图，$AB=AC=AD$，$∠ BAD=50°$，则$∠ BCD$的度数为
155°
。答案
155°
解析
【分析】
已知AB=AC=AD，可得△ABC、△ACD均为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可分别用∠BAC、∠CAD表示出∠ACB和∠ACD的度数。观察到∠BCD=∠ACB+∠ACD，且∠BAC与∠CAD的和为已知的∠BAD=50°，将两个角的表达式相加后整体代入∠BAD的度数即可求出结果，无需单独计算∠BAC和∠CAD的度数。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理：
$∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}$
∵ AC=AD，
∴ △ACD为等腰三角形，同理可得：
$∠ ACD=\frac{180°-∠ CAD}{2}$
∴ $∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=\frac{180°-∠ BAC}{2}+\frac{180°-∠ CAD}{2}$
整理得：$∠ BCD=\frac{360°-(∠ BAC+∠ CAD)}{2}$
又
∵ $∠ BAC+∠ CAD=∠ BAD=50°$，代入得：
$∠ BCD=\frac{360°-50°}{2}=155°$
【答案】
$155°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，整体思想
【点评】
本题解题的关键是熟练运用等腰三角形等边对等角的性质，采用整体代换的方法计算，避免拆分已知角单独计算，能有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
已知AB=AC=AD，可得△ABC、△ACD均为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可分别用∠BAC、∠CAD表示出∠ACB和∠ACD的度数。观察到∠BCD=∠ACB+∠ACD，且∠BAC与∠CAD的和为已知的∠BAD=50°，将两个角的表达式相加后整体代入∠BAD的度数即可求出结果，无需单独计算∠BAC和∠CAD的度数。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理：
$∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}$
∵ AC=AD，
∴ △ACD为等腰三角形，同理可得：
$∠ ACD=\frac{180°-∠ CAD}{2}$
∴ $∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=\frac{180°-∠ BAC}{2}+\frac{180°-∠ CAD}{2}$
整理得：$∠ BCD=\frac{360°-(∠ BAC+∠ CAD)}{2}$
又
∵ $∠ BAC+∠ CAD=∠ BAD=50°$，代入得：
$∠ BCD=\frac{360°-50°}{2}=155°$
【答案】
$155°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，整体思想
【点评】
本题解题的关键是熟练运用等腰三角形等边对等角的性质，采用整体代换的方法计算，避免拆分已知角单独计算，能有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
4.如图,已知$AB=AC$,$AD$是$△ ABC$的外角$∠ EAC$的平分线.求证:$AD// BC$.
答案
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ $∠ EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ EAC = ∠ B + ∠ C = 2∠ B$。
∵ $AD$ 是 $∠ EAC$ 的平分线，
∴ $∠ EAC = 2∠ EAD$，
∴ $2∠ EAD = 2∠ B$，即 $∠ EAD = ∠ B$。
∴ $AD // BC$（同位角相等，两直线平行）。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ $∠ EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ EAC = ∠ B + ∠ C = 2∠ B$。
∵ $AD$ 是 $∠ EAC$ 的平分线，
∴ $∠ EAC = 2∠ EAD$，
∴ $2∠ EAD = 2∠ B$，即 $∠ EAD = ∠ B$。
∴ $AD // BC$（同位角相等，两直线平行）。
解析
【分析】要证明$AD// BC$，可借助平行线的判定定理推导，只需得到一组同位角相等、内错角相等或同旁内角互补即可。结合已知条件梳理思路：首先由$AB=AC$可知$△ ABC$是等腰三角形，可得两底角$∠ B=∠ C$；再根据三角形外角的性质，推导出外角$∠ EAC$和底角$∠ B$的数量关系；最后结合$AD$是$∠ EAC$的平分线，通过等量代换得到同位角$∠ EAD=∠ B$，即可满足平行的判定条件。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ $∠ EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ EAC = ∠ B + ∠ C = 2∠ B$。
∵ $AD$ 是 $∠ EAC$ 的平分线，
∴ $∠ EAC = 2∠ EAD$，
∴ $2∠ EAD = 2∠ B$，即 $∠ EAD = ∠ B$。
∴ $AD // BC$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AD// BC$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是通过角的等量代换得到平行判定所需的角的关系，解题时需熟练掌握等腰三角形、三角形外角、平行线判定相关的性质定理，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ $∠ EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ EAC = ∠ B + ∠ C = 2∠ B$。
∵ $AD$ 是 $∠ EAC$ 的平分线，
∴ $∠ EAC = 2∠ EAD$，
∴ $2∠ EAD = 2∠ B$，即 $∠ EAD = ∠ B$。
∴ $AD // BC$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AD// BC$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是通过角的等量代换得到平行判定所需的角的关系，解题时需熟练掌握等腰三角形、三角形外角、平行线判定相关的性质定理，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 立德树人·文化自信 某公司建造的跨海大桥工程中(图①),斜拉索与桥面构成的等腰三角形框架采用BIM技术精准建模.图②为简化示意图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,若D是边BC上的一点,则下列条件不能说明$AD ⊥ BC$的是 (
A.$BD=CD$
B.$∠ ADB=∠ ADC$
C.$∠ BAD=∠ CAD$
D.$BC=2AD$
D
)A.$BD=CD$
B.$∠ ADB=∠ ADC$
C.$∠ BAD=∠ CAD$
D.$BC=2AD$
答案
D
解析
【分析】
已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，解题核心是结合等腰三角形“三线合一”（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）的性质，以及垂直的定义，逐一分析每个选项能否推出AD⊥BC，找出不满足的选项即可。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，即△ABC是以BC为底边的等腰三角形：
选项A：若BD=CD，说明AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意；
选项B：若∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，因此∠ADB=∠ADC=90°，可直接推出AD⊥BC，不符合题意；
选项C：若∠BAD=∠CAD，说明AD是顶角∠BAC的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意；
选项D：若BC=2AD，无法推导AD与BC的夹角为90°，例如当D不是BC的中点时，也可能存在BC=2AD的情况，但此时AD不垂直BC，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.等腰三角形三线合一性质 2.垂直的判定
【点评】
本题围绕等腰三角形的核心性质三线合一来设置，需明确等腰三角形中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三个条件满足其一即可推出另外两个，结合垂直的定义逐一判断即可快速解题。
【难度系数】
0.8
已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，解题核心是结合等腰三角形“三线合一”（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）的性质，以及垂直的定义，逐一分析每个选项能否推出AD⊥BC，找出不满足的选项即可。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，即△ABC是以BC为底边的等腰三角形：
选项A：若BD=CD，说明AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意；
选项B：若∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，因此∠ADB=∠ADC=90°，可直接推出AD⊥BC，不符合题意；
选项C：若∠BAD=∠CAD，说明AD是顶角∠BAC的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意；
选项D：若BC=2AD，无法推导AD与BC的夹角为90°，例如当D不是BC的中点时，也可能存在BC=2AD的情况，但此时AD不垂直BC，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.等腰三角形三线合一性质 2.垂直的判定
【点评】
本题围绕等腰三角形的核心性质三线合一来设置，需明确等腰三角形中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三个条件满足其一即可推出另外两个，结合垂直的定义逐一判断即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. [2026长沙一模]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$，$BE$分别是$△ ABC$的中线和角平分线.若$∠ CAD=20°$，则$∠ ABE$的度数为（
A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
B
）A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
答案
B
解析
【分析】
首先根据已知条件$AB=AC$可判断$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是等腰三角形的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知$AD$同时是顶角$∠ BAC$的角平分线，结合已知$∠ CAD=20°$即可求出顶角$∠ BAC$的度数；再根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为$180°$求出底角$∠ ABC$的度数；最后根据$BE$是角平分线，即可求出$∠ ABE$的度数。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，$∠ ABC=∠ ACB$（等腰三角形三线合一、等边对等角），
$\therefore ∠ BAC=2∠ CAD=2×20°=40°$，
$\because$三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ ABC=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°$，
又$\because BE$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用类题目，解题的核心是熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质推导角的数量关系，再结合角平分线的定义计算即可，整体逻辑链条清晰，是等腰三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件$AB=AC$可判断$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是等腰三角形的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知$AD$同时是顶角$∠ BAC$的角平分线，结合已知$∠ CAD=20°$即可求出顶角$∠ BAC$的度数；再根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为$180°$求出底角$∠ ABC$的度数；最后根据$BE$是角平分线，即可求出$∠ ABE$的度数。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，$∠ ABC=∠ ACB$（等腰三角形三线合一、等边对等角），
$\therefore ∠ BAC=2∠ CAD=2×20°=40°$，
$\because$三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ ABC=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°$，
又$\because BE$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用类题目，解题的核心是熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质推导角的数量关系，再结合角平分线的定义计算即可，整体逻辑链条清晰，是等腰三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$DE ⊥ AC$,垂足为E.若$∠ BAC=50°$,求$∠ ADE$的度数.
答案
解：$∠ ADE=65°$.
解析
【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是∠BAC的角平分线，先计算出∠CAD的度数；再根据DE⊥AC可知△ADE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合），
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
∵DE⊥AC，
∴$∠ AED=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE+∠ CAD=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴$∠ ADE=90°-25°=65°$。
【答案】
$∠ ADE=65°$
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余，角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是对等腰三角形三线合一性质的应用，结合直角三角形的角度特征即可快速求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是∠BAC的角平分线，先计算出∠CAD的度数；再根据DE⊥AC可知△ADE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合），
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
∵DE⊥AC，
∴$∠ AED=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE+∠ CAD=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴$∠ ADE=90°-25°=65°$。
【答案】
$∠ ADE=65°$
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余，角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是对等腰三角形三线合一性质的应用，结合直角三角形的角度特征即可快速求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8
