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8.若关于x的分式方程$\frac{2}{x-1}=\frac{m}{x}$有正整数解，则整数m的值是
3或4
。答案
8.3或4
解析
【分析】
本题是含参数的分式方程求整数参数的问题，解题思路如下：首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x；再根据“方程有正整数解”的条件，结合分式有意义（分母不为0）的限制，筛选出符合要求的整数m的值即可。
【解析】
解：对分式方程$\frac{2}{x-1}=\frac{m}{x}$去分母，两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$（注意$x≠0$且$x≠1$，否则分母为0无意义），得：
$2x = m(x-1)$
整理得：
$2x = mx - m$
移项合并同类项：
$(m-2)x = m$
当$m≠2$时，系数化为1得：
$x = \frac{m}{m-2}$
将x变形为：$x = \frac{(m-2)+2}{m-2} = 1 + \frac{2}{m-2}$
∵方程的解是正整数，m为整数
∴$\frac{2}{m-2}$必须是正整数，即$m-2$是2的正约数
2的正约数为1、2，因此：
当$m-2=1$时，$m=3$，此时$x=1+2=3$，是正整数，符合要求；
当$m-2=2$时，$m=4$，此时$x=1+1=2$，是正整数，符合要求。
若$m-2$为负约数，会导致x为非正整数，不符合题意，舍去。
综上，整数m的值为3或4。
【答案】
3或4
【知识点】
分式方程的解法，含参分式方程求解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考法，解题的关键是先将分式方程转化为整式方程得到含参数的解，再结合解的限制条件筛选参数，要注意切勿忽略分式分母不为0的前提，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
本题是含参数的分式方程求整数参数的问题，解题思路如下：首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x；再根据“方程有正整数解”的条件，结合分式有意义（分母不为0）的限制，筛选出符合要求的整数m的值即可。
【解析】
解：对分式方程$\frac{2}{x-1}=\frac{m}{x}$去分母，两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$（注意$x≠0$且$x≠1$，否则分母为0无意义），得：
$2x = m(x-1)$
整理得：
$2x = mx - m$
移项合并同类项：
$(m-2)x = m$
当$m≠2$时，系数化为1得：
$x = \frac{m}{m-2}$
将x变形为：$x = \frac{(m-2)+2}{m-2} = 1 + \frac{2}{m-2}$
∵方程的解是正整数，m为整数
∴$\frac{2}{m-2}$必须是正整数，即$m-2$是2的正约数
2的正约数为1、2，因此：
当$m-2=1$时，$m=3$，此时$x=1+2=3$，是正整数，符合要求；
当$m-2=2$时，$m=4$，此时$x=1+1=2$，是正整数，符合要求。
若$m-2$为负约数，会导致x为非正整数，不符合题意，舍去。
综上，整数m的值为3或4。
【答案】
3或4
【知识点】
分式方程的解法，含参分式方程求解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考法，解题的关键是先将分式方程转化为整式方程得到含参数的解，再结合解的限制条件筛选参数，要注意切勿忽略分式分母不为0的前提，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
9. 若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases} x-1≥ \dfrac{4x-1}{3}, \\5x-1＜ a \end{cases}$的解集为$x≤ -2$，且关于$y$的分式方程$\dfrac{y-1}{y+1}=\dfrac{a}{y+1}-2$的解是负整数，求所有满足条件的整数$a$的值.
答案
9.解：$a=-8$或$a=-5.$
解析
【分析】
解题时需分两步处理：第一步先解一元一次不等式组，根据已知解集确定参数a的取值范围；第二步解分式方程，结合“解为负整数”“分母不为0（排除增根）”两个限制条件，在第一步得到的a的范围内筛选出符合要求的整数a即可。思考时要注意：①不等式组解集遵循“同小取小”的规则，由此判断两个不等式解集的大小关系；②分式方程求解后必须验证分母不为0，否则解是增根要舍去。
【解析】
1. 解不等式组求a的范围：
先解第一个不等式$x-1≥ \dfrac{4x-1}{3}$：
两边同乘3去分母得：$3(x-1)≥4x-1$
展开得：$3x-3≥4x-1$
移项合并同类项得：$-x≥2$，即$x≤-2$
再解第二个不等式$5x-1＜a$：
移项得：$5x ＜ a+1$，即$x＜\dfrac{a+1}{5}$
已知不等式组的解集为$x≤-2$，根据“同小取小”的解集规则，可得$\dfrac{a+1}{5} ＞ -2$
解这个不等式：$a+1 ＞ -10$，即$a ＞ -11$
2. 解分式方程，结合条件筛选a：
解分式方程$\dfrac{y-1}{y+1}=\dfrac{a}{y+1}-2$：
首先确定分母不为0：$y+1≠0$，即$y≠-1$
两边同乘$y+1$去分母得：$y-1 = a - 2(y+1)$
展开右边得：$y-1 = a -2y -2$
移项合并同类项得：$3y = a -1$，即$y=\dfrac{a-1}{3}$
已知方程的解是负整数，因此满足：
① $y＜0$：即$\dfrac{a-1}{3}＜0$，得$a＜1$
② $y≠-1$：即$\dfrac{a-1}{3}≠-1$，得$a≠-2$
③ $\dfrac{a-1}{3}$是负整数，即$a-1$是3的负整数倍
结合之前得到的$a ＞ -11$，可得a的取值范围为$-11 ＜ a ＜ 1$，且a为整数，$a≠-2$，$a-1$是3的负整数倍：
当$a-1=-9$时，$a=-8$，此时$y=\dfrac{-8-1}{3}=-3$，是负整数，符合要求；
当$a-1=-6$时，$a=-5$，此时$y=\dfrac{-5-1}{3}=-2$，是负整数，符合要求；
当$a-1=-3$时，$a=-2$，不符合$a≠-2$的要求，舍去；
当$a-1≤-12$时，$a≤-11$，不符合$a ＞ -11$的要求，舍去。
【答案】
$a=-8$或$a=-5$
【知识点】
一元一次不等式组的解集、分式方程的解法、分式方程的增根
【点评】
本题是典型的含参综合题，既考察了不等式组解集的确定规则，也考察了分式方程含参问题的处理方法，解题时需注意不要遗漏分式方程的增根限制，否则容易出现多解的错误。
【难度系数】
0.4
解题时需分两步处理：第一步先解一元一次不等式组，根据已知解集确定参数a的取值范围；第二步解分式方程，结合“解为负整数”“分母不为0（排除增根）”两个限制条件，在第一步得到的a的范围内筛选出符合要求的整数a即可。思考时要注意：①不等式组解集遵循“同小取小”的规则，由此判断两个不等式解集的大小关系；②分式方程求解后必须验证分母不为0，否则解是增根要舍去。
【解析】
1. 解不等式组求a的范围：
先解第一个不等式$x-1≥ \dfrac{4x-1}{3}$：
两边同乘3去分母得：$3(x-1)≥4x-1$
展开得：$3x-3≥4x-1$
移项合并同类项得：$-x≥2$，即$x≤-2$
再解第二个不等式$5x-1＜a$：
移项得：$5x ＜ a+1$，即$x＜\dfrac{a+1}{5}$
已知不等式组的解集为$x≤-2$，根据“同小取小”的解集规则，可得$\dfrac{a+1}{5} ＞ -2$
解这个不等式：$a+1 ＞ -10$，即$a ＞ -11$
2. 解分式方程，结合条件筛选a：
解分式方程$\dfrac{y-1}{y+1}=\dfrac{a}{y+1}-2$：
首先确定分母不为0：$y+1≠0$，即$y≠-1$
两边同乘$y+1$去分母得：$y-1 = a - 2(y+1)$
展开右边得：$y-1 = a -2y -2$
移项合并同类项得：$3y = a -1$，即$y=\dfrac{a-1}{3}$
已知方程的解是负整数，因此满足：
① $y＜0$：即$\dfrac{a-1}{3}＜0$，得$a＜1$
② $y≠-1$：即$\dfrac{a-1}{3}≠-1$，得$a≠-2$
③ $\dfrac{a-1}{3}$是负整数，即$a-1$是3的负整数倍
结合之前得到的$a ＞ -11$，可得a的取值范围为$-11 ＜ a ＜ 1$，且a为整数，$a≠-2$，$a-1$是3的负整数倍：
当$a-1=-9$时，$a=-8$，此时$y=\dfrac{-8-1}{3}=-3$，是负整数，符合要求；
当$a-1=-6$时，$a=-5$，此时$y=\dfrac{-5-1}{3}=-2$，是负整数，符合要求；
当$a-1=-3$时，$a=-2$，不符合$a≠-2$的要求，舍去；
当$a-1≤-12$时，$a≤-11$，不符合$a ＞ -11$的要求，舍去。
【答案】
$a=-8$或$a=-5$
【知识点】
一元一次不等式组的解集、分式方程的解法、分式方程的增根
【点评】
本题是典型的含参综合题，既考察了不等式组解集的确定规则，也考察了分式方程含参问题的处理方法，解题时需注意不要遗漏分式方程的增根限制，否则容易出现多解的错误。
【难度系数】
0.4
10.若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x-1}+m=\frac{3m-2}{1-x}$有解，则$m$的取值范围是（
A.$m≠-1$
B.$m≠\frac{1}{3}$
C.$m＞-1$且$m≠\frac{1}{3}$
D.$m≠-1$且$m≠\frac{1}{3}$
D
）A.$m≠-1$
B.$m≠\frac{1}{3}$
C.$m＞-1$且$m≠\frac{1}{3}$
D.$m≠-1$且$m≠\frac{1}{3}$
答案
10.D
解析
【分析】
要确定分式方程有解时m的取值范围，需分两步思考：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x；②结合分式方程有解的两个限制条件：一是整式方程要有解，二是解不能使原分式方程的分母为0，据此列不等式求解，最终合并得到m的取值范围。
【解析】
原分式方程分母不为0时，$x≠1$。
给方程两边同时乘$(x-1)$去分母，得：
$x + m(x-1) = -(3m-2)$
展开并整理得：
$x + mx - m = -3m + 2$
$(1+m)x = 2 - 2m$
1. 若整式方程有解，则一次项系数不为0，即$1+m≠0$，解得$m≠-1$，此时$x=\frac{2-2m}{1+m}$。
2. 若分式方程有解，则x不能为增根，即$\frac{2-2m}{1+m}≠1$，
去分母得：$2-2m≠1+m$，
移项合并得：$3m≠1$，解得$m≠\frac{1}{3}$。
综上，m的取值范围是$m≠-1$且$m≠\frac{1}{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式有意义的条件
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型题型，解题时需注意全面考虑两个限制条件：一是去分母后整式方程本身要有解，二是整式方程的解不能是原分式方程的增根，避免因漏考虑某一条件导致出错。
【难度系数】
0.6
要确定分式方程有解时m的取值范围，需分两步思考：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x；②结合分式方程有解的两个限制条件：一是整式方程要有解，二是解不能使原分式方程的分母为0，据此列不等式求解，最终合并得到m的取值范围。
【解析】
原分式方程分母不为0时，$x≠1$。
给方程两边同时乘$(x-1)$去分母，得：
$x + m(x-1) = -(3m-2)$
展开并整理得：
$x + mx - m = -3m + 2$
$(1+m)x = 2 - 2m$
1. 若整式方程有解，则一次项系数不为0，即$1+m≠0$，解得$m≠-1$，此时$x=\frac{2-2m}{1+m}$。
2. 若分式方程有解，则x不能为增根，即$\frac{2-2m}{1+m}≠1$，
去分母得：$2-2m≠1+m$，
移项合并得：$3m≠1$，解得$m≠\frac{1}{3}$。
综上，m的取值范围是$m≠-1$且$m≠\frac{1}{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式有意义的条件
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型题型，解题时需注意全面考虑两个限制条件：一是去分母后整式方程本身要有解，二是整式方程的解不能是原分式方程的增根，避免因漏考虑某一条件导致出错。
【难度系数】
0.6
11.若关于$x$的方程$\frac{2}{x}=\frac{m}{2x+1}$无解，如何求$m$的值？
【思维过程】
(1)【化整】将分式方程转化为整式方程：
(2)【分类讨论】根据分式方程无解分两种情况考虑：
①整式方程无解，即$4 - m =$
②整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0，即$2x + 1 =$
(3)【综上】从而可得$m$的值为
【思维过程】
(1)【化整】将分式方程转化为整式方程：
$(4-m)x=-2$
；(2)【分类讨论】根据分式方程无解分两种情况考虑：
①整式方程无解，即$4 - m =$
$0$
；②整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0，即$2x + 1 =$
$0$
或$x=0$，将$x=$$-\dfrac{1}{2}$
代入整式方程得$m=$$0$
；(3)【综上】从而可得$m$的值为
4或0
。答案
11.(1)$(4-m)x=-2$ (2)①0 ②0;$-\dfrac{1}{2}$;0 (3)4或0
解析
【分析】
解决分式方程含参无解问题需按两步思考：第一步先去分母将分式方程转化为整式方程；第二步分两类讨论无解的情况：第一类是转化后的整式方程本身无解，即形如$ax=b$中$a=0$且$b≠0$的情况；第二类是整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的$x$值），将增根代入整式方程即可求出对应参数值，最后综合两类情况得到参数的所有取值。
【解析】
(1)【化整】原分式方程两边同乘最简公分母$x(2x+1)$，得$2(2x+1)=mx$，展开移项整理可得：$(4-m)x=-2$。
(2)【分类讨论】
①整式方程无解的情况：当一次项系数$4-m=0$时，整式方程变为$0· x=-2$，等式恒不成立，此时整式方程无解，对应$m=4$。
②整式方程有解但为增根的情况：分式方程的增根满足最简公分母为0，即$2x+1=0$或$x=0$；解得可能的增根为$x=-\frac{1}{2}$或$x=0$，将$x=0$代入整式方程得$0=-2$，矛盾舍去；将$x=-\frac{1}{2}$代入整式方程$(4-m)x=-2$，得$(4-m)×(-\frac{1}{2})=-2$，计算得$m=0$。
(3)【综上】结合两种情况，可得$m$的取值为4或0。
【答案】
(1)$(4-m)x=-2$ (2)①$0$ ②$0$；$-\dfrac{1}{2}$；$0$ (3)$4$或$0$
【知识点】
分式方程的增根；含参分式方程求解；分类讨论思想
【点评】
本题是分式方程含参无解的典型考法，解题核心是明确分式方程无解的两类情况，既要考虑整式方程本身无解的情况，也不能漏掉整式方程的解为原分式方程增根的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解决分式方程含参无解问题需按两步思考：第一步先去分母将分式方程转化为整式方程；第二步分两类讨论无解的情况：第一类是转化后的整式方程本身无解，即形如$ax=b$中$a=0$且$b≠0$的情况；第二类是整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的$x$值），将增根代入整式方程即可求出对应参数值，最后综合两类情况得到参数的所有取值。
【解析】
(1)【化整】原分式方程两边同乘最简公分母$x(2x+1)$，得$2(2x+1)=mx$，展开移项整理可得：$(4-m)x=-2$。
(2)【分类讨论】
①整式方程无解的情况：当一次项系数$4-m=0$时，整式方程变为$0· x=-2$，等式恒不成立，此时整式方程无解，对应$m=4$。
②整式方程有解但为增根的情况：分式方程的增根满足最简公分母为0，即$2x+1=0$或$x=0$；解得可能的增根为$x=-\frac{1}{2}$或$x=0$，将$x=0$代入整式方程得$0=-2$，矛盾舍去；将$x=-\frac{1}{2}$代入整式方程$(4-m)x=-2$，得$(4-m)×(-\frac{1}{2})=-2$，计算得$m=0$。
(3)【综上】结合两种情况，可得$m$的取值为4或0。
【答案】
(1)$(4-m)x=-2$ (2)①$0$ ②$0$；$-\dfrac{1}{2}$；$0$ (3)$4$或$0$
【知识点】
分式方程的增根；含参分式方程求解；分类讨论思想
【点评】
本题是分式方程含参无解的典型考法，解题核心是明确分式方程无解的两类情况，既要考虑整式方程本身无解的情况，也不能漏掉整式方程的解为原分式方程增根的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
若关于$x$的方程$\frac{3-2x}{x-3}+\frac{2+mx}{3-x}=-1$无解，求$m$的值.
答案
【针对练习】解：$m=-1$或$-\dfrac{5}{3}.$
解析
【分析】
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实根；二是整式方程的根是使原分式方程分母为0的增根。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分上述两种情况分别计算m的值即可。
【解析】
首先整理原方程，将第二个分式的分母化为$x-3$：
$\frac{3-2x}{x-3} - \frac{2+mx}{x-3} = -1$
方程两边同时乘最简公分母$x-3$（$x≠3$），去分母得：
$3 - 2x - (2 + mx) = -(x - 3)$
去括号：$3 - 2x - 2 - mx = -x + 3$
合并同类项、移项得：$-(m+1)x = 2$，即$(m+1)x = -2$
分两种情况讨论：
1. 整式方程本身无解：此时x的系数为0，常数项不为0
即$m+1=0$，解得$m=-1$，此时等式变为$0=-2$，不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
2. 整式方程有解，但解为原分式方程的增根：原分式方程分母为0时$x=3$，即增根为$x=3$
把$x=3$代入整式方程$(m+1)x=-2$得：
$3(m+1) = -2$
解得$m=-\frac{5}{3}$
【答案】
$m=-1$或$-\dfrac{5}{3}$
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解条件
3. 含参分式方程求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考题，解题核心是明确分式方程无解的两类情形，注意不要遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.5
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实根；二是整式方程的根是使原分式方程分母为0的增根。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分上述两种情况分别计算m的值即可。
【解析】
首先整理原方程，将第二个分式的分母化为$x-3$：
$\frac{3-2x}{x-3} - \frac{2+mx}{x-3} = -1$
方程两边同时乘最简公分母$x-3$（$x≠3$），去分母得：
$3 - 2x - (2 + mx) = -(x - 3)$
去括号：$3 - 2x - 2 - mx = -x + 3$
合并同类项、移项得：$-(m+1)x = 2$，即$(m+1)x = -2$
分两种情况讨论：
1. 整式方程本身无解：此时x的系数为0，常数项不为0
即$m+1=0$，解得$m=-1$，此时等式变为$0=-2$，不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
2. 整式方程有解，但解为原分式方程的增根：原分式方程分母为0时$x=3$，即增根为$x=3$
把$x=3$代入整式方程$(m+1)x=-2$得：
$3(m+1) = -2$
解得$m=-\frac{5}{3}$
【答案】
$m=-1$或$-\dfrac{5}{3}$
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解条件
3. 含参分式方程求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考题，解题核心是明确分式方程无解的两类情形，注意不要遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.5
