概念建构
整式的乘法 相反变形 因式分解
$p(a+b+c)=pa+pb+pc$ $pa+pb+pc=①\_\_\_\_\_\_$
多项式$pa+pb+pc$各项的公因式是$②\_\_\_\_\_\_$ 提取$③\_\_\_\_\_\_$
A基础巩固
知识点1 因式分解的概念

①$p(a+b+c)$ ②$p$ ③$p$

【分析】
解题时首先要明确整式乘法与因式分解是互逆的变形过程，再结合公因式的定义逐步推导：1. 先根据已知的整式乘法等式，反向推导即可得到因式分解的结果；2. 公因式是多项式各项都共同含有的因式，观察多项式各项的公共因式就能确定公因式；3. 提公因式法的核心就是提取各项的公因式，因此提取的就是找到的公因式。
【解析】
① 已知整式乘法$p(a+b+c)=pa+pb+pc$，因式分解是整式乘法的相反变形，因此反向变形可得$pa+pb+pc=p(a+b+c)$，故①填$p(a+b+c)$。
② 公因式是多项式中每一项都含有的相同因式，观察$pa$、$pb$、$pc$三项，都含有公共因式$p$，因此多项式$pa+pb+pc$各项的公因式是$p$，故②填$p$。
③ 提公因式法因式分解的操作就是提取多项式各项的公因式，此处公因式为$p$，因此提取的是$p$，故③填$p$。
【答案】
①$\boldsymbol{p(a+b+c)}$；②$\boldsymbol{p}$；③$\boldsymbol{p}$
【知识点】
因式分解的概念，公因式的定义，提公因式法
【点评】
本题是基础概念考查题，主要围绕因式分解和整式乘法的互逆关系、公因式识别设置题目，熟练掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9

1.（新知回顾）下列各式从左到右的变形中：①$x^2 -16=(x+4)(x-4)$，②$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，③$a^2b -ab^2=ab(a-b)$，其中________的等号右边是整式的积的形式，左边是多项式，所以属于因式分解的有________.（均填序号）
2. [2026 芜湖期末]下列各式从左到右是因式分解的是（）

A.$(a+1)(a-2)=a^2 -a -2$
B.$3a^2 -5a -2=a(3a -5)-2$
C.$2a^2 -\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2a -1)(2a +1)$
D.$2a -4=2a(1-\frac{2}{a})$

1.①③；①③ 2.C

【分析】
解题前先明确因式分解的核心判定规则：一是变形对象为多项式；二是变形结果是几个整式的乘积形式；三是变形为恒等变形，结果和原式相等。第1题逐一比对3个式子是否符合上述规则即可判断；第2题同理，逐个排查4个选项是否满足因式分解的判定条件，就能选出正确答案。
【解析】
第1题解析
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，对三个式子逐一判断：
①左边$x^2 -16$是多项式，右边$(x+4)(x-4)$是两个整式的积，符合因式分解要求；
②左边$(a+b)^2$是整式的积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
③左边$a^2b -ab^2$是多项式，右边$ab(a-b)$是两个整式的积，符合因式分解要求。
因此等号右边是整式的积的形式的是①③，属于因式分解的是①③。
第2题解析
逐个分析选项：
A选项：左边是两个整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，排除；
B选项：右边$a(3a -5)-2$是整式乘积与常数的差，不是几个整式的积的形式，排除；
C选项：左边$2a^2 -\frac{1}{2}$是多项式，右边$\frac{1}{2}$、$(2a -1)$、$(2a +1)$均为整式，三者乘积的结果与左边相等，符合因式分解的定义，正确；
D选项：右边的因式$1-\frac{2}{a}$分母含字母，属于分式，不是整式，不符合因式分解要求，排除。
因此第2题选C。
【答案】
1. ①③；①③ 2. C
【知识点】
因式分解的定义、整式的概念、整式乘法
【点评】
本题重点考查对因式分解定义的理解，解题的核心是抓住因式分解的三个判定要点，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，同时要牢记因式分解的结果中所有因式都必须是整式。
【难度系数】
0.7

3. [2026合肥模拟]多项式$6a^2 + 5ab^3x$的公因式是。

3.a

【分析】
要确定多项式的公因式，需按照固定步骤思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都共同含有的字母，第三步取共同字母的最低次幂，将三部分结果相乘就是公因式。本题先拆分多项式的两项：$6a^2$和$5ab^3x$，先分析系数，6和5的最大公约数是1；再看共同字母，两项都仅含有字母a，其他字母b、x仅在第二项存在，不属于共同字母；最后看a的次数，第一项中a是2次，第二项中a是1次，取最低次幂1次，因此公因式为a。
【解析】
公因式的确定规则：
1. 定系数：取多项式各项系数的最大公约数，6和5的最大公约数为1；
2. 定字母：取各项都含有的相同字母，两项共有的字母只有a；
3. 定指数：取相同字母的最低次幂，a的最低次幂为1次。
综上，该多项式的公因式为$1× a=a$。
【答案】
$a$
【知识点】
公因式的确定、单项式的次数
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，牢记公因式确定的三个步骤即可快速求解，解题时要注意不要遗漏对系数和字母次数的判断。
【难度系数】
0.9

4.多项式$x^2 + x^6$提取公因式后，剩下的因式是（）

A.$x^4$
B.$1+x^3$
C.$1+x^4$
D.$x^3 -1$

4.C

【分析】
解决这道题需要用到提取公因式法分解因式的知识，解题思路分两步：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式的确定规则是：系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂；第二步用原多项式除以公因式，所得的结果就是提取公因式后剩下的因式。
【解析】
首先观察多项式$x^2 + x^6$的两项：
1. 确定公因式：两项的系数都是1，最大公约数是1；两项都含有字母$x$，$x$的最低次幂是2，因此公因式为$x^2$。
2. 提取公因式：将原多项式的每一项都除以公因式$x^2$，可得：
$x^2 + x^6 = x^2 × 1 + x^2 × x^4 = x^2(1 + x^4)$
因此提取公因式$x^2$后，剩下的因式是$1+x^4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 提取公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提取公因式法的应用，解题时需注意提取公因式后，原多项式的每一项除以公因式的结果都要保留，切勿遗漏常数项1，避免错选。
【难度系数】
0.85

5.分解因式：
(1)$ab+ac=$.
(2)$2a^2b-3ab-4b=$.

5.(1)$a(b+c)$ (2)$b(2a^2-3a-4)$

【分析】
这两道题都是用提公因式法进行因式分解，解题思路如下：首先观察多项式各项是否存在公共的因式（即公因式），若存在则先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者乘积就是公因式；再把公因式提取出来，原多项式除以公因式得到的商作为括号内的因式即可。
第(1)题中，ab和ac两项的系数最大公约数为1，都含有字母a且a的最低次幂是1次，因此公因式为a；第(2)题中，三项的系数最大公约数为1，都含有字母b且b的最低次幂是1次，因此公因式为b。
【解析】
(1) 提取公因式a：
$ab+ac = a· b + a· c = a(b+c)$
(2) 提取公因式b：
$2a^2b-3ab-4b = b· 2a^2 + b· (-3a) + b· (-4) = b(2a^2 - 3a - 4)$
【答案】
(1)$a(b+c)$ (2)$b(2a^2-3a-4)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题的核心是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时要注意剩余项的符号不要出错，同时避免漏写常数项。
【难度系数】
0.9

6.计算：$(-2)^{11}+(-2)^{10}$的值是。

6.$-2^{10}$

【分析】
观察算式可知，两项均为底数是-2的乘方，指数分别为11和10，存在公因式$(-2)^{10}$。解题时可利用提公因式法，先提取最低次幂的公因式，再合并剩余部分计算，无需直接计算高次幂的结果，能大幅简化运算，同时要注意负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【解析】
解：提取两项的公因式$(-2)^{10}$计算：
$\begin{aligned}(-2)^{11}+(-2)^{10}&=(-2)^{10}×(-2)+(-2)^{10}×1\\&=(-2)^{10}×(-2+1)\\&=2^{10}×(-1)\\&=-2^{10}\end{aligned}$
【答案】
$-2^{10}$
【知识点】
1.提公因式法 2.乘方的运算性质
【点评】
本题考查借助因式分解简化乘方类加减运算，解题核心是准确识别同底数乘方的公因式，通过提取公因式避免计算高次幂，有效降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7

7.利用因式分解计算:
(1)$1.97^2 + 1.97×0.03$;
(2)$2025^2 + 2025 - 2025×2026$;
(3)$3×2^5 + 6×2^5 + 8×2^2$.

7.解：(1)3.94. (2)0. (3)320.

【分析】
这三道题均利用因式分解中的提取公因式法实现简便运算，解题思路如下：首先观察算式各项的公共因式，提取公因式后先计算括号内的加减运算，再计算乘法，可避免直接计算高次幂的复杂过程，降低出错率。
(1) 算式两项都含公因式1.97，提取后先算加法再算乘法即可快速得解；
(2) 算式三项都含公因式2025，提取后括号内运算结果为0，可直接得答案；
(3) 算式前两项含公因式$2^5$，计算后可发现和第三项有新的公因式，再次提取即可简化计算。
【解析】
(1) 提取公因式1.97：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1.97×(1.97 + 0.03)\\&=1.97×2\\&=3.94\end{aligned}$
(2) 提取公因式2025：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2025×(2025 + 1 - 2026)\\&=2025×0\\&=0\end{aligned}$
(3) 先提取前两项公因式$2^5$，再提取新的公因式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3+6)×2^5 + 8×2^2\\&=9×32 + 32×1\\&=32×(9+1)\\&=32×10\\&=320\end{aligned}$
【答案】
(1)3.94；(2)0；(3)320
【知识点】
提取公因式法，因式分解的应用，幂的运算
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心考查公因式的识别能力，通过提取公因式可将复杂的混合运算大幅简化，掌握该方法能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.85

8. 中考趋势·代数推理 已知a是正整数，请说明$a^2 + a$一定是2的倍数。

解：
对式子因式分解可得：
$a^2 + a = a(a+1)$
因为a是正整数，所以a和a+1是两个连续的正整数。
两个连续正整数中必有一个是偶数，能被2整除，因此它们的乘积$a(a+1)$一定能被2整除。
即$a^2 + a$一定是2的倍数。

【分析】
要证明$a^2+a$是2的倍数，本质是证明该式能被2整除，解题思路如下：首先观察多项式的特征，两项都含有公因式$a$，可以先通过提公因式法对其因式分解，将原式转化为整式乘积的形式；再结合$a$是正整数的条件，得到乘积的两个因式是连续正整数，根据连续整数的性质，两个连续正整数中必有一个是偶数，偶数能被2整除，因此两个数的乘积也能被2整除，即可完成证明。
【解析】
对式子因式分解可得：
$a^2 + a = a(a+1)$
因为$a$是正整数，所以$a$和$a+1$是两个连续的正整数。
两个连续正整数中必有一个是偶数，能被2整除，因此它们的乘积$a(a+1)$一定能被2整除。
即$a^2 + a$一定是2的倍数。
【答案】
$a^2 + a$一定是2的倍数
【知识点】
提公因式法因式分解、偶数的性质、整除的定义
【点评】
本题属于代数推理基础题型，核心考察因式分解的应用和整数性质的运用，解题关键是将多项式分解为两个连续整数的乘积，再结合偶数的特征判断整除性，是掌握因式分解实际应用的典型练习题。
【难度系数】
0.8

9. 运算能力 已知$x^2 + x = 3$，求代数式$x^3 + x^2 - 3x + 2026$的值.

9.解：2026.

【分析】
已知$x^2+x=3$，若直接求解$x$的值再代入计算较为繁琐，因此采用整体代入的思路解题。首先观察所求代数式的前两项$x^3+x^2$，可提取公因式$x$变形为$x(x^2+x)$，恰好出现已知的$x^2+x$结构，将已知条件整体代入后化简剩余部分即可得到结果。
【解析】
解：对代数式$x^3 + x^2 - 3x + 2026$的前两项提取公因式$x$，得：
$\begin{aligned}原式&=x(x^2+x) - 3x + 2026\end{aligned}$
将$x^2 + x = 3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=3x - 3x + 2026\\&=2026\end{aligned}$
【答案】
2026
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是通过因式分解对高次项降次，凑出已知的整式结构，利用整体代入思想简化运算，避免了解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8