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10.试说明$(\frac{1}{4}m^3 + 2n)(\frac{1}{4}m^3 - 2n) + (2n - 4)(2n + 4)$的值和$n$无关.
答案
解：
利用平方差公式对原式展开：
原式$= (\frac{1}{4}m^3)^2 - (2n)^2 + (2n)^2 - 4^2$
$= \frac{1}{16}m^6 - 4n^2 + 4n^2 - 16$
合并同类项得：
原式$= \frac{1}{16}m^6 - 16$
化简后的结果中不含字母$n$，因此该代数式的值和$n$无关。
利用平方差公式对原式展开：
原式$= (\frac{1}{4}m^3)^2 - (2n)^2 + (2n)^2 - 4^2$
$= \frac{1}{16}m^6 - 4n^2 + 4n^2 - 16$
合并同类项得：
原式$= \frac{1}{16}m^6 - 16$
化简后的结果中不含字母$n$，因此该代数式的值和$n$无关。
解析
【分析】
要说明代数式的值与n无关，只需将代数式化简后，判断最终结果中是否含有字母n即可。观察原式的两个乘积项，均符合“两个数的和与这两个数的差的乘积”的结构，因此优先用平方差公式展开，再合并同类项，最后观察化简结果是否含n即可完成证明。
【解析】
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$对原式展开：
原式$= (\frac{1}{4}m^3)^2 - (2n)^2 + (2n)^2 - 4^2$
$= \frac{1}{16}m^6 - 4n^2 + 4n^2 - 16$
合并同类项得：
原式$= \frac{1}{16}m^6 - 16$
化简后的结果中不含字母$n$，因此该代数式的值和$n$无关。
【答案】
原式化简后为$\frac{1}{16}m^6 - 16$，不含字母$n$，故其值和$n$无关。
【知识点】
平方差公式，合并同类项，整式化简
【点评】
本题考查判断代数式的值与某字母无关的问题，核心思路是化简后代数式中不含该字母，熟练掌握平方差公式等整式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要说明代数式的值与n无关，只需将代数式化简后，判断最终结果中是否含有字母n即可。观察原式的两个乘积项，均符合“两个数的和与这两个数的差的乘积”的结构，因此优先用平方差公式展开，再合并同类项，最后观察化简结果是否含n即可完成证明。
【解析】
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$对原式展开：
原式$= (\frac{1}{4}m^3)^2 - (2n)^2 + (2n)^2 - 4^2$
$= \frac{1}{16}m^6 - 4n^2 + 4n^2 - 16$
合并同类项得：
原式$= \frac{1}{16}m^6 - 16$
化简后的结果中不含字母$n$，因此该代数式的值和$n$无关。
【答案】
原式化简后为$\frac{1}{16}m^6 - 16$，不含字母$n$，故其值和$n$无关。
【知识点】
平方差公式，合并同类项，整式化简
【点评】
本题考查判断代数式的值与某字母无关的问题，核心思路是化简后代数式中不含该字母，熟练掌握平方差公式等整式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 方程思想 已知关于$x$的代数式$x+2$与$x^2+mx+n$的乘积结果化简后，既不含$x^2$项，也不含$x$项，求$m,n$的值。
答案
11.解：$m=-2,n=4$.
解析
【分析】
解题时首先应利用多项式乘多项式的法则计算两个代数式的乘积，再合并同类项整理结果；题目要求化简后不含$x^2$项和$x$项，说明这两项的系数都为0，据此可列出关于$m$、$n$的一元一次方程，解方程即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
解：先计算两个代数式的乘积：
$\begin{aligned}(x+2)(x^2+mx+n)&=x· x^2 + x· mx + x· n + 2· x^2 + 2· mx + 2· n\\&=x^3 + mx^2 + nx + 2x^2 + 2mx + 2n\\&=x^3 + (m+2)x^2 + (n+2m)x + 2n\end{aligned}$
∵乘积化简后不含$x^2$项，也不含$x$项
∴这两项的系数为0，即：
$\begin{cases}m+2=0\\n+2m=0\end{cases}$
解第一个方程得：$m=-2$
把$m=-2$代入第二个方程得：$n + 2×(-2)=0$，解得$n=4$
【答案】
$m=-2,n=4$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是整式乘法的典型基础题型，核心考查“多项式不含某项则该项系数为0”的应用逻辑，解题过程中需要准确掌握多项式乘法运算规则，同时结合方程思想求解参数，是巩固整式乘法基础的优质练习题。
【难度系数】
0.8
解题时首先应利用多项式乘多项式的法则计算两个代数式的乘积，再合并同类项整理结果；题目要求化简后不含$x^2$项和$x$项，说明这两项的系数都为0，据此可列出关于$m$、$n$的一元一次方程，解方程即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
解：先计算两个代数式的乘积：
$\begin{aligned}(x+2)(x^2+mx+n)&=x· x^2 + x· mx + x· n + 2· x^2 + 2· mx + 2· n\\&=x^3 + mx^2 + nx + 2x^2 + 2mx + 2n\\&=x^3 + (m+2)x^2 + (n+2m)x + 2n\end{aligned}$
∵乘积化简后不含$x^2$项，也不含$x$项
∴这两项的系数为0，即：
$\begin{cases}m+2=0\\n+2m=0\end{cases}$
解第一个方程得：$m=-2$
把$m=-2$代入第二个方程得：$n + 2×(-2)=0$，解得$n=4$
【答案】
$m=-2,n=4$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是整式乘法的典型基础题型，核心考查“多项式不含某项则该项系数为0”的应用逻辑，解题过程中需要准确掌握多项式乘法运算规则，同时结合方程思想求解参数，是巩固整式乘法基础的优质练习题。
【难度系数】
0.8
12. 数形结合思想 现有长与宽分别为$a,b$的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图①的图形，用四个这样的小长方形拼成如图②的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图①和图②所验证的关于$a,b$的关系式：
图①：
图②：
(2)利用(1)中得到的关系式解决下列问题：
①若$2m+3n=5$，$mn=1$，求$2m-3n$的值；
②若$(4-m)(5-m)=6$，则$(4-m)^2+(5-m)^2=$
(1)根据图中条件，请写出图①和图②所验证的关于$a,b$的关系式：
图①：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
；图②：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
；(2)利用(1)中得到的关系式解决下列问题：
①若$2m+3n=5$，$mn=1$，求$2m-3n$的值；
②若$(4-m)(5-m)=6$，则$(4-m)^2+(5-m)^2=$
13
。答案
12.解：(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$ (2)①$2m-3n=\pm1$. ②13
解析
【分析】
第(1)问采用面积法推导公式：①图①中边长为$a+b$的大正方形面积，既可以直接用边长平方计算，也可以拆分为1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形、2个长$a$宽$b$的长方形的面积和，联立两个面积表达式即可得到对应关系式；②图②中边长为$a+b$的大正方形面积，既可以直接计算，也可以拆分为边长为$a-b$的中间阴影正方形面积加4个长$a$宽$b$的小长方形面积，联立即可得到第二个关系式。
第(2)问套用(1)中推导的公式变形求解：①将$2m$、$3n$看作整体，套用$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$计算$(2m-3n)^2$的值，再开方得到结果；②将$(4-m)$和$(5-m)$看作两个整体，先计算两个整体的差，再套用$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$代入计算即可。
【解析】
(1) 图①：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；拆分计算面积为1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、1个边长为$b$的正方形（面积$b^2$）、2个长为$a$宽为$b$的长方形（总面积$2ab$）的和，即$a^2+2ab+b^2$，因此关系式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
图②：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；拆分计算面积为边长为$a-b$的中间阴影正方形（面积$(a-b)^2$）加4个小长方形（总面积$4ab$）的和，即$(a-b)^2+4ab$，因此关系式为$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
(2) ① 根据公式变形可得$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，令$a=2m$，$b=3n$，代入得：
$(2m-3n)^2=(2m+3n)^2 - 4×(2m)×(3n)=(2m+3n)^2-24mn$
将$2m+3n=5$，$mn=1$代入上式：
$(2m-3n)^2=5^2 -24×1=25-24=1$
开方得$2m-3n=\pm1$。
② 令$x=4-m$，$y=5-m$，则$xy=6$，$x-y=(4-m)-(5-m)=-1$，根据完全平方公式变形$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，代入得：
$x^2+y^2=(-1)^2 +2×6=1+12=13$，即$(4-m)^2+(5-m)^2=13$。
【答案】
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2)①$\pm1$ ②$13$
【知识点】
完全平方公式、完全平方公式变形、整体代换求值
【点评】
本题以几何图形为背景考查完全平方公式的推导与应用，通过面积法推导公式是基础，灵活运用公式变形进行整体代换是解题的核心，能有效考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问采用面积法推导公式：①图①中边长为$a+b$的大正方形面积，既可以直接用边长平方计算，也可以拆分为1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形、2个长$a$宽$b$的长方形的面积和，联立两个面积表达式即可得到对应关系式；②图②中边长为$a+b$的大正方形面积，既可以直接计算，也可以拆分为边长为$a-b$的中间阴影正方形面积加4个长$a$宽$b$的小长方形面积，联立即可得到第二个关系式。
第(2)问套用(1)中推导的公式变形求解：①将$2m$、$3n$看作整体，套用$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$计算$(2m-3n)^2$的值，再开方得到结果；②将$(4-m)$和$(5-m)$看作两个整体，先计算两个整体的差，再套用$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$代入计算即可。
【解析】
(1) 图①：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；拆分计算面积为1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、1个边长为$b$的正方形（面积$b^2$）、2个长为$a$宽为$b$的长方形（总面积$2ab$）的和，即$a^2+2ab+b^2$，因此关系式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
图②：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；拆分计算面积为边长为$a-b$的中间阴影正方形（面积$(a-b)^2$）加4个小长方形（总面积$4ab$）的和，即$(a-b)^2+4ab$，因此关系式为$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
(2) ① 根据公式变形可得$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，令$a=2m$，$b=3n$，代入得：
$(2m-3n)^2=(2m+3n)^2 - 4×(2m)×(3n)=(2m+3n)^2-24mn$
将$2m+3n=5$，$mn=1$代入上式：
$(2m-3n)^2=5^2 -24×1=25-24=1$
开方得$2m-3n=\pm1$。
② 令$x=4-m$，$y=5-m$，则$xy=6$，$x-y=(4-m)-(5-m)=-1$，根据完全平方公式变形$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，代入得：
$x^2+y^2=(-1)^2 +2×6=1+12=13$，即$(4-m)^2+(5-m)^2=13$。
【答案】
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2)①$\pm1$ ②$13$
【知识点】
完全平方公式、完全平方公式变形、整体代换求值
【点评】
本题以几何图形为背景考查完全平方公式的推导与应用，通过面积法推导公式是基础，灵活运用公式变形进行整体代换是解题的核心，能有效考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
13.下列运算正确的是 （
A.$a^2 · a^3 = a^6$
B.$(-a)^5 ÷ (-a)^4 = a$
C.$(a^m)^2 = a^{m^2}$
D.$(-2a)^2 = 4a^2$
D
）A.$a^2 · a^3 = a^6$
B.$(-a)^5 ÷ (-a)^4 = a$
C.$(a^m)^2 = a^{m^2}$
D.$(-2a)^2 = 4a^2$
答案
13.D
解析
【分析】
这道题考查整式幂的相关运算法则，解题时只需依次对每个选项运用对应的幂运算规则计算，再和选项给出的结果对比即可选出正确答案。解题前要明确核心运算规则：1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；2.同底数幂相除，底数不变，指数相减；3.幂的乘方，底数不变，指数相乘；4.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，按照以上规则逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：根据同底数幂相乘法则，$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5≠ a^6$，运算错误；
选项B：根据同底数幂相除法则，$(-a)^5 ÷ (-a)^4 = (-a)^{5-4}=-a≠ a$，运算错误；
选项C：根据幂的乘方法则，$(a^m)^2 = a^{m×2}=a^{2m}≠ a^{m^2}$，运算错误；
选项D：根据积的乘方法则，$(-2a)^2 = (-2)^2 · a^2=4a^2$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方
【点评】
这道题是幂运算的基础常考题，易错点是容易混淆各类幂运算的指数运算规则，比如把同底数幂相乘的指数相加记成相乘、幂的乘方的指数相乘记成指数乘方等，只要熟练掌握各类幂运算的法则就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式幂的相关运算法则，解题时只需依次对每个选项运用对应的幂运算规则计算，再和选项给出的结果对比即可选出正确答案。解题前要明确核心运算规则：1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；2.同底数幂相除，底数不变，指数相减；3.幂的乘方，底数不变，指数相乘；4.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，按照以上规则逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：根据同底数幂相乘法则，$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5≠ a^6$，运算错误；
选项B：根据同底数幂相除法则，$(-a)^5 ÷ (-a)^4 = (-a)^{5-4}=-a≠ a$，运算错误；
选项C：根据幂的乘方法则，$(a^m)^2 = a^{m×2}=a^{2m}≠ a^{m^2}$，运算错误；
选项D：根据积的乘方法则，$(-2a)^2 = (-2)^2 · a^2=4a^2$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方
【点评】
这道题是幂运算的基础常考题，易错点是容易混淆各类幂运算的指数运算规则，比如把同底数幂相乘的指数相加记成相乘、幂的乘方的指数相乘记成指数乘方等，只要熟练掌握各类幂运算的法则就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
14.某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放.请根据图中的信息解决下列问题.
(1)图⑤中共有
(2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有
(1)图⑤中共有
65
个黑色小正方形，图ⓝ(n为正整数)中共有$4(n-1)^2+1$
个黑色小正方形；(2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有
325
个黑色小正方形.答案
14.(1)65；$4(n-1)^2+1$ (2)325
解析
【分析】
解决本题先从已知图形的数量特征入手，先分析黑色小正方形个数和图形序号的规律：先数出前4个图形的黑色小正方形数量，观察数字和序号的关系归纳通项公式；再推导总小正方形数量的表达式，用总数量减黑色数量得到白色数量的表达式，结合已知白色数量列方程求解序号，最后代入黑色数量公式计算即可。
【解析】
(1) 统计前4个图形的黑色小正方形个数：
图①有1个，可写成$4×(1-1)^2 +1=1$；
图②有5个，可写成$4×(2-1)^2 +1=5$；
图③有17个，可写成$4×(3-1)^2 +1=17$；
图④有37个，可写成$4×(4-1)^2 +1=37$。
由此归纳得第ⓝ个图形的黑色小正方形个数为$4(n-1)^2 +1$。
当$n=5$时，代入公式得$4×(5-1)^2 +1=4×16 +1=65$。
(2) 观察可得第$n$个图形是边长为$2n+1$的正方形，总小正方形个数为$(2n+1)^2$。
白色小正方形个数 = 总个数 - 黑色小正方形个数，即：
$\begin{aligned}&(2n+1)^2 - [4(n-1)^2 +1]\\=&4n^2+4n+1 - (4n^2-8n+5)\\=&12n-4\end{aligned}$
已知白色小正方形共116个，列方程：
$12n-4=116$
解得$n=10$。
将$n=10$代入黑色小正方形公式得：$4×(10-1)^2 +1=4×81 +1=325$。
【答案】
(1) $65$；$4(n-1)^2+1$ (2) $325$
【知识点】
图形规律探究，整式化简，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，考查从特殊到一般的归纳能力，同时结合整式运算和方程求解，需要学生具备良好的观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
解决本题先从已知图形的数量特征入手，先分析黑色小正方形个数和图形序号的规律：先数出前4个图形的黑色小正方形数量，观察数字和序号的关系归纳通项公式；再推导总小正方形数量的表达式，用总数量减黑色数量得到白色数量的表达式，结合已知白色数量列方程求解序号，最后代入黑色数量公式计算即可。
【解析】
(1) 统计前4个图形的黑色小正方形个数：
图①有1个，可写成$4×(1-1)^2 +1=1$；
图②有5个，可写成$4×(2-1)^2 +1=5$；
图③有17个，可写成$4×(3-1)^2 +1=17$；
图④有37个，可写成$4×(4-1)^2 +1=37$。
由此归纳得第ⓝ个图形的黑色小正方形个数为$4(n-1)^2 +1$。
当$n=5$时，代入公式得$4×(5-1)^2 +1=4×16 +1=65$。
(2) 观察可得第$n$个图形是边长为$2n+1$的正方形，总小正方形个数为$(2n+1)^2$。
白色小正方形个数 = 总个数 - 黑色小正方形个数，即：
$\begin{aligned}&(2n+1)^2 - [4(n-1)^2 +1]\\=&4n^2+4n+1 - (4n^2-8n+5)\\=&12n-4\end{aligned}$
已知白色小正方形共116个，列方程：
$12n-4=116$
解得$n=10$。
将$n=10$代入黑色小正方形公式得：$4×(10-1)^2 +1=4×81 +1=325$。
【答案】
(1) $65$；$4(n-1)^2+1$ (2) $325$
【知识点】
图形规律探究，整式化简，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，考查从特殊到一般的归纳能力，同时结合整式运算和方程求解，需要学生具备良好的观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
