1. [2026 六安期中] 把$2mn^2 + mn$分解因式，应提取的公因式是（）

A.$2m$
B.$mn$
C.$2mn$
D.$mn^2$

B

【分析】
要确定多项式的公因式，按照三步法思考：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者相乘得到的结果就是要提取的公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
对多项式$2mn^2 + mn$找公因式：
1. 确定系数的最大公约数：两项系数分别为2和1，最大公约数是1；
2. 找相同字母：两项都含有字母$m$和$n$；
3. 取相同字母的最低次幂：$m$的最低次数是1，$n$的最低次数是1；
因此公因式为$1× m× n=mn$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题是基础类题型，重点考查公因式的确定方法，熟练掌握找公因式的三个步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【变式·逆向思维】把多项式$x^2y^5 - xy^n z$分解因式时，提取的公因式是$xy^5$，则$n$的值可能为（）

A.6
B.4
C.3
D.2

A

【分析】
要解决这道题，首先回忆公因式的确定规则：提取公因式时，相同字母的指数要取多项式各项中该字母的最低次幂。本题已知提取的公因式是$xy^5$，我们可以根据公因式中$y$的指数，反推第二项中$y$的指数$n$的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据提公因式法分解因式时公因式的确定规则：对于多项式中相同的字母，公因式里该字母的指数取各项中该字母指数的最小值。
已知多项式$x^2y^5 - xy^n z$提取的公因式为$xy^5$：
1. 第一项$x^2y^5$中，$y$的指数为5；
2. 第二项$-xy^n z$中，$y$的指数为$n$。
因为公因式中$y$的指数是5，说明5是两项中$y$的指数的最小值，因此$n≥5$。
观察四个选项，只有A选项的6满足$n≥5$，故答案选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念的逆向应用题，核心是掌握公因式中相同字母取最低次幂的规则，只要理解该规则就能快速推导得出结果，注意不要把指数的大小关系搞反。
【难度系数】
0.8

2.填空：
(1)$-7a^2 + 21a = -7a$；
(2)$6x^3 - 18x^2 =$$(x - 3)$.

解：
(1) 对多项式$-7a^2+21a$提取公因式$-7a$，可得
$-7a^2 + 21a = -7a(a - 3)$
第一空填$(a-3)$；
(2) 对多项式$6x^3-18x^2$提取公因式，可得
$6x^3 - 18x^2 = 6x^2(x - 3)$
第二空填$6x^2$。

【分析】
这两道题均考查提公因式法因式分解的应用，解题思路如下：(1)题已给出公因式-7a，只需用原多项式的每一项分别除以公因式-7a，将所得的商组合即可得到括号内的空缺因式；(2)题已给出提取公因式后剩余的因式(x-3)，只需先确定原多项式的公因式，或用原多项式除以因式(x-3)，即可得到空缺的公因式。
【解析】
(1) 对多项式$-7a^2+21a$提取公因式$-7a$，分别计算每一项除以公因式的结果：
$-7a^2÷(-7a)=a$，$21a÷(-7a)=-3$，
因此$-7a^2 + 21a = -7a(a - 3)$，第一空填$(a-3)$；
(2) 先确定多项式$6x^3-18x^2$的公因式：系数的最大公约数是6，相同字母$x$的最低次幂是$x^2$，因此公因式为$6x^2$，验证可得：
$6x^3÷6x^2=x$，$-18x^2÷6x^2=-3$，
因此$6x^3 - 18x^2 = 6x^2(x - 3)$，第二空填$6x^2$。
【答案】
(1) $(a-3)$；(2) $6x^2$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解 2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，侧重考查提公因式法的基本运用，只要熟练掌握公因式的确定方法和提公因式的运算规则，就能快速求解，是巩固因式分解基础的典型习题。
【难度系数】
0.8

3.用提公因式法分解因式：
(1)$6m^2n - 15mn^2 + 30m^2n^2$；
(2)$-4x^3 + 16x^2 - 26x$.

解：(1)$3mn(2m-5n+10mn)$. (2)$-2x(2x^2-8x+13)$.

【分析】
用提公因式法分解因式需遵循两步思路：第一步先确定公因式：①系数取各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取最低次幂，若多项式首项系数为负，需将负号一同纳入公因式。第二步提取公因式，将原多项式除以公因式，得到的多项式作为另一个因式，注意最终结果要保证剩余因式没有公因式，且项数和原多项式一致。
针对第(1)题：各项系数6、-15、30的最大公约数是3，都含有的字母为m、n，最低次幂均为1次，因此公因式为3mn，提取后计算剩余项即可。
针对第(2)题：首项系数为负，公因式带负号，各项系数绝对值4、16、26的最大公约数是2，都含有的字母为x，最低次幂为1次，因此公因式为-2x，提取后计算剩余项即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为$3mn$，拆分每一项后提取公因式：
$\begin{aligned}6m^2n - 15mn^2 + 30m^2n^2&=3mn·2m - 3mn·5n + 3mn·10mn\\&=3mn(2m - 5n + 10mn)\end{aligned}$
(2) 先确定公因式为$-2x$，拆分每一项后提取公因式：
$\begin{aligned}-4x^3 + 16x^2 - 26x&=-2x·2x^2 + (-2x)·(-8x) + (-2x)·13\\&=-2x(2x^2 - 8x + 13)\end{aligned}$
【答案】
(1)$3mn(2m-5n+10mn)$；(2)$-2x(2x^2-8x+13)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定、整式符号处理
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题核心是准确找出公因式，需特别注意首项为负时要提取负号，提取公因式后要检查剩余因式是否还存在公因式，同时避免漏项。
【难度系数】
0.8

4.若把$5(a-b)+m(a-b)$提公因式后，其中一个因式是$a-b$，则另一个因式是（）

A.$5+m$
B.$5-m$
C.$-5+m$
D.$-5-m$

A

【分析】
这道题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确提公因式的运算规则：当多项式各项有公共因式时，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积形式，其中另一个多项式是原多项式各项除以公因式后所得结果的代数和。本题已经明确公因式是$(a-b)$，我们只需要将原式的两项分别除以$(a-b)$，再把所得的结果相加，就能得到另一个因式。
【解析】
解：对多项式$5(a-b)+m(a-b)$提取公因式$(a-b)$，
将每一项除以公因式$(a-b)$可得：
第一项$5(a-b)÷(a-b)=5$，
第二项$m(a-b)÷(a-b)=m$，
所以提取公因式后原式可写为：$(a-b)(5+m)$，
已知其中一个因式是$a-b$，则另一个因式为$5+m$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查提公因式的操作规则，解题时注意提取公因式后剩余项的符号与原式保持一致，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9

5. $-m(m+x)(x-n)$与$mn(m-x)(n-x)$的公因式是 （）

A.$-m$
B.$m(n-x)$
C.$m(m-x)$
D.$(m+x)(x-n)$

B

【分析】
要找两个多项式的公因式，首先需要把两个式子中互为相反数的因式转化为相同形式，避免因符号问题判断错误。具体步骤为：第一步先处理两个式子中符号相反的因式$(x-n)$和$(n-x)$，将其统一为相同因式；第二步分别找两个式子系数部分的公因式，再找相同多项式因式的公共部分，两者相乘就是公因式，最后对应选项判断即可。
【解析】
先对第一个式子进行变形，将互为相反数的因式转化为相同形式：
$-m(m+x)(x-n) = -m(m+x)· [-(n-x)] = m(m+x)(n-x)$
第二个式子为：$mn(m-x)(n-x)$
对比两个变形后的式子：
① 系数的公共因式为$m$；
② 相同的多项式因式为$(n-x)$；
因此两个式子的公因式为$m(n-x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题重点考查公因式的查找方法，解题的核心是注意互为相反数的因式可以通过提取负号转化为相同因式，做题时切勿忽略符号特征导致误判。
【难度系数】
0.7

6.分解因式：
(1)6p(p+q)-4q(p+q);
(2)2x(a-b)+4y(b-a).

解：(1)$2(p+q)(3p-2q)$. (2)$2(a-b)(x-2y)$.

【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：
(1) 先观察两个项的公共部分：系数的最大公约数是2，都含有多项式因式$(p+q)$，因此公因式为$2(p+q)$，提取公因式后化简剩余项即可。
(2) 首先注意到$(b-a)$和$(a-b)$互为相反数，可将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，统一两个项的公因式部分，此时两个项的公因式为$2(a-b)$，提取公因式后化简剩余项即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为$2(p+q)$，提取公因式：
$6p(p+q)-4q(p+q)=2(p+q)· 3p - 2(p+q)· 2q=2(p+q)(3p-2q)$
(2) 先变形统一公因式：$b-a=-(a-b)$，代入原式得：
$2x(a-b)+4y(b-a)=2x(a-b)-4y(a-b)$
确定公因式为$2(a-b)$，提取公因式：
$=2(a-b)· x - 2(a-b)· 2y=2(a-b)(x-2y)$
【答案】
(1)$2(p+q)(3p-2q)$；(2)$2(a-b)(x-2y)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的确定 3.多项式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题核心是准确识别公因式，当出现互为相反数的多项式因式时，要先统一符号再提取公因式，分解后注意检查是否分解彻底、有无漏项。
【难度系数】
0.8

7. [2026芜湖期末]若$mn=2,m-n=1$,则代数式$m^2n - mn^2$的值等于________.
【变式·数形结合】已知长和宽分别为$a,b$的长方形,其面积等于15,周长等于16,则$2a^2b + 2ab^2=\_\_\_\_\_\_$.

代数式的值等于2；【变式·数形结合】结果为240

【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现都有公因式，因此优先考虑用提公因式法对代数式进行因式分解，将其转化为包含已知条件的整体表达式，再直接代入已知数值计算即可，无需单独求解每个未知数的值，可简化运算。
第一问：所求代数式$m^2n - mn^2$的公因式是$mn$，提公因式后可转化为$mn(m-n)$，已知$mn$和$m-n$的数值，直接代入即可。
第二问变式：所求代数式$2a^2b + 2ab^2$的公因式是$2ab$，提公因式后转化为$2ab(a+b)$，结合长方形面积公式得$ab=15$，结合周长公式可求出$a+b$的值，再整体代入计算即可。
【解析】
1. 计算$m^2n - mn^2$的值：
对代数式提公因式$mn$，得：
$m^2n - mn^2 = mn(m - n)$
将$mn=2$，$m-n=1$代入上式，得：
原式$=2×1=2$
2. 计算变式中$2a^2b + 2ab^2$的值：
由长方形面积为15，得$ab=15$；
由长方形周长为16，得$2(a+b)=16$，化简得$a+b=8$；
对所求代数式提公因式$2ab$，得：
$2a^2b + 2ab^2 = 2ab(a + b)$
将$ab=15$，$a+b=8$代入上式，得：
原式$=2×15×8=240$
【答案】
2；240
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式求值，整体代入法
【点评】
这类题目是因式分解的常见基础应用，核心是通过提公因式将所求代数式变形为含已知条件的形式，利用整体代入思想简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8

8.若$9a^{2}(x-y)^{2}-3a(y-x)^{3}=M· (3a+x-y)$，则$M$等于________。

$3a(x-y)^2$

【分析】
要解决这个问题，我们需要先对等式左边的多项式进行因式分解，核心思路是先统一相同因式的底数，再提取公因式，最后对比等式左右两边的结构即可求出M。第一步先处理互为相反数的因式：$(y-x)^3$和$(x-y)^2$底数互为相反数，根据奇次幂的符号性质，把$(y-x)^3$转化为$-(x-y)^3$，让两个项拥有相同的因式$(x-y)$；第二步确定公因式：系数取9和3的最大公约数3，相同字母取最低次幂$a$，相同多项式因式取最低次幂$(x-y)^2$，得到公因式为$3a(x-y)^2$；第三步提取公因式后，观察剩下的因式和等式右边给出的因式是否一致，就能直接得到M的值。
【解析】
解：先对等式左边变形，
∵$(y-x)^3=-(x-y)^3$，
∴左边=$9a^2(x-y)^2 - 3a· [-(x-y)^3]$
=$9a^2(x-y)^2 + 3a(x-y)^3$
提取公因式$3a(x-y)^2$，得：
左边=$3a(x-y)^2· 3a + 3a(x-y)^2· (x-y)$
=$3a(x-y)^2(3a + x - y)$
已知左边=$M· (3a + x - y)$，对比对应因式可得：
$M=3a(x-y)^2$
【答案】
$3a(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，幂的符号变换
【点评】
本题考查提公因式法的应用，解题的关键是熟练掌握互为相反数的幂的变形规律：奇次幂变号，偶次幂不变号，准确找出公因式后即可快速求解，注意提取公因式后要验证剩余项是否正确。
【难度系数】
0.7

9.把下列各式分解因式：
(1)$(a^2 - ab) + c(a - b)$；
(2)$(x - 2y)(2x + 3y) - 2(2y - x)(5x - y)$。

解：(1)$(a+c)(a-b)$. (2)$(x-2y)(12x+y)$.

【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：(1)先对第一个括号内的多项式提取公因式a，变形后可发现两项有共同的公因式$(a-b)$，再提取公因式即可完成分解；(2)首先观察到$(2y-x)$与$(x-2y)$互为相反数，先将$(2y-x)$变形为$-(x-2y)$，统一两项的公因式为$(x-2y)$，提取公因式后对剩余部分合并同类项即可，注意运算过程中符号不要出错。
【解析】
(1) 先对前半部分提取公因式$a$：
原式$=a(a-b)+c(a-b)$
提取公因式$(a-b)$，得：
$=(a-b)(a+c)$
(2) 先将$(2y-x)$变形为$-(x-2y)$，代入原式：
原式$=(x-2y)(2x+3y)-2×[-(x-2y)](5x-y)$
化简符号，得：
$=(x-2y)(2x+3y)+2(x-2y)(5x-y)$
提取公因式$(x-2y)$，得：
$=(x-2y)[(2x+3y)+2(5x-y)]$
计算括号内的整式运算：
$=(x-2y)(2x+3y+10x-2y)$
合并同类项：
$=(x-2y)(12x+y)$
【答案】
(1)$(a+c)(a-b)$；(2)$(x-2y)(12x+y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，因式符号变形，整式加减运算
【点评】
本题是提公因式法分解因式的典型习题，解题核心是准确识别公因式，当出现互为相反数的因式时，要先通过符号变形得到相同公因式，提取公因式后需对剩余的整式部分化简合并，确保分解结果最简。
【难度系数】
0.8

10.运算能力 先分解因式，再求值：
(1)$(a-1)^2 + 2a(a-1)$，其中$a=2$；
(2)$4a(b-2)+3a(2-b)^2$，其中$a=\frac{3}{2},b=6$。

解：(1)$(a-1)^2+2a(a-1)=(a-1)(3a-1)$.
当$a=2$时，原式$=(2-1)×(3×2-1)=5$.
(2)$4a(b-2)+3a(2-b)^2=a(b-2)(3b-2)$.
当$a=\frac{3}{2},b=6$时，原式$=96$.

【分析】
本题是因式分解的化简求值类题目，解题思路是先通过提公因式法将多项式分解为最简因式乘积的形式，再代入对应字母的值计算，相比直接展开代入计算可以大幅降低运算量，减少出错概率。(1)小题直接观察可得公因式为$(a-1)$，提取后合并剩余整式即可完成分解；(2)小题注意到$(2-b)^2=(b-2)^2$，先统一底数，再提取公因式$a(b-2)$，化简剩余部分即可完成分解，最后代入数值计算结果。
【解析】
(1) 分解因式：
观察多项式$(a-1)^2 + 2a(a-1)$，公因式为$(a-1)$，提取公因式得：
$\begin{aligned}原式&=(a-1)[(a-1)+2a]\\&=(a-1)(3a-1)\end{aligned}$
代入$a=2$计算：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)×(3×2 - 1)\\&=1×5\\&=5\end{aligned}$
(2) 分解因式：
根据偶次幂的性质可得$(2-b)^2=(b-2)^2$，原式变形为$4a(b-2)+3a(b-2)^2$，公因式为$a(b-2)$，提取公因式得：
$\begin{aligned}原式&=a(b-2)[4 + 3(b-2)]\\&=a(b-2)(4 + 3b - 6)\\&=a(b-2)(3b - 2)\end{aligned}$
代入$a=\frac{3}{2},b=6$计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3}{2}×(6-2)×(3×6 - 2)\\&=\frac{3}{2}×4×16\\&=6×16\\&=96\end{aligned}$
【答案】
(1) 分解因式结果为$(a-1)(3a-1)$，值为$5$；
(2) 分解因式结果为$a(b-2)(3b-2)$，值为$96$。
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 整式化简求值
3. 偶次幂的性质
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，核心是掌握提公因式法分解因式的方法，解题时要注意先找全公因式，遇到底数互为相反数的偶次幂可先统一底数再提取公因式，先分解再代入求值能有效简化计算，提升运算准确率。
【难度系数】
0.8