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3. 由下表信息推断，一元二次方程$x^2 - x = 1.2$的一个近似解是（
A.$x≈0.11$
B.$x≈1.69$
C.$x≈1.71$
D.$x≈1.19$
C
）。A.$x≈0.11$
B.$x≈1.69$
C.$x≈1.71$
D.$x≈1.19$
答案
3.C
解析
【分析】
要确定一元二次方程$x^2 - x = 1.2$的近似解，可将问题转化为找二次函数$y=x^2 - x$的函数值为1.2时对应的x值。首先观察表格中$x^2 - x$的数值，找到1.2所在的两个相邻函数值的区间，再结合二次函数的增减性确定x的范围，最后根据函数值的接近程度判断近似解。
【解析】
设$y=x^2 - x$，则方程$x^2 - x = 1.2$的解即为$y=1.2$时对应的$x$的值。
1. 观察表格数据：当$x=1.7$时，$x^2 - x=1.19＜1.2$；当$x=1.8$时，$x^2 - x=1.44＞1.2$。
2. 二次函数$y=x^2 - x$的对称轴为$x=0.5$，在$x＞0.5$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$y=1.2$对应的$x$值在1.7和1.8之间，排除A、B、D选项。
3. 又因为$1.19$与$1.2$仅相差$0.01$，非常接近，说明$x$仅比1.7略大，因此近似解为$x≈1.71$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程近似解估算，二次函数增减性
【点评】
本题考查利用表格数据估算一元二次方程近似解的方法，解题核心是将方程解的问题转化为二次函数函数值对应的自变量问题，结合函数增减性判断解的范围后即可快速锁定答案。
【难度系数】
0.75
要确定一元二次方程$x^2 - x = 1.2$的近似解，可将问题转化为找二次函数$y=x^2 - x$的函数值为1.2时对应的x值。首先观察表格中$x^2 - x$的数值，找到1.2所在的两个相邻函数值的区间，再结合二次函数的增减性确定x的范围，最后根据函数值的接近程度判断近似解。
【解析】
设$y=x^2 - x$，则方程$x^2 - x = 1.2$的解即为$y=1.2$时对应的$x$的值。
1. 观察表格数据：当$x=1.7$时，$x^2 - x=1.19＜1.2$；当$x=1.8$时，$x^2 - x=1.44＞1.2$。
2. 二次函数$y=x^2 - x$的对称轴为$x=0.5$，在$x＞0.5$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$y=1.2$对应的$x$值在1.7和1.8之间，排除A、B、D选项。
3. 又因为$1.19$与$1.2$仅相差$0.01$，非常接近，说明$x$仅比1.7略大，因此近似解为$x≈1.71$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程近似解估算，二次函数增减性
【点评】
本题考查利用表格数据估算一元二次方程近似解的方法，解题核心是将方程解的问题转化为二次函数函数值对应的自变量问题，结合函数增减性判断解的范围后即可快速锁定答案。
【难度系数】
0.75
4. 解方程：
(1)$x^2 + 4x - 12 = 0$；
(2)$2x^2 - 2x - 3 = 0$。
(1)$x^2 + 4x - 12 = 0$；
(2)$2x^2 - 2x - 3 = 0$。
答案
4.(1)$x_1=2,x_2=-6$。
(2)$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$。
(2)$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程特征选择合适的解法：
(1) 观察方程$x^2 + 4x - 12 = 0$，左边二次三项式可通过十字相乘法因式分解，因此选择因式分解法解题更便捷，步骤为：先将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0，求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
(2) 观察方程$2x^2 - 2x - 3 = 0$，左边二次三项式不易因式分解，因此选择公式法求解，步骤为：先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再计算判别式$\Delta = b^2-4ac$判断根的情况，最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简得到根。
【解析】
(1) 对$x^2 + 4x - 12 = 0$因式分解：
将二次三项式十字拆分，可得$(x+6)(x-2)=0$
令每个因式为0，得：
$x+6=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-6$
(2) 用公式法解$2x^2 - 2x - 3 = 0$：
由方程得：$a=2$，$b=-2$，$c=-3$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×2×(-3) = 4 + 24 = 28 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2×2}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{4}$
化简得：$x=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$
即$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-6$；(2)$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 公式法解一元二次方程
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时可优先观察方程是否可因式分解，若无法快速因式分解则使用公式法求解，两种解法都是一元二次方程的核心解法，需熟练掌握计算规则，避免化简过程出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程特征选择合适的解法：
(1) 观察方程$x^2 + 4x - 12 = 0$，左边二次三项式可通过十字相乘法因式分解，因此选择因式分解法解题更便捷，步骤为：先将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0，求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
(2) 观察方程$2x^2 - 2x - 3 = 0$，左边二次三项式不易因式分解，因此选择公式法求解，步骤为：先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再计算判别式$\Delta = b^2-4ac$判断根的情况，最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简得到根。
【解析】
(1) 对$x^2 + 4x - 12 = 0$因式分解：
将二次三项式十字拆分，可得$(x+6)(x-2)=0$
令每个因式为0，得：
$x+6=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-6$
(2) 用公式法解$2x^2 - 2x - 3 = 0$：
由方程得：$a=2$，$b=-2$，$c=-3$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×2×(-3) = 4 + 24 = 28 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2×2}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{4}$
化简得：$x=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$
即$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-6$；(2)$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 公式法解一元二次方程
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时可优先观察方程是否可因式分解，若无法快速因式分解则使用公式法求解，两种解法都是一元二次方程的核心解法，需熟练掌握计算规则，避免化简过程出错。
【难度系数】
0.8
5.【数学应用】如图，把一根长为32 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长，各围成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和为34 cm²，求这两个正方形的边长。
（2）这两个正方形的面积之和可能为30 cm²吗？如果可能，求这两个正方形的边长；如果不可能，请说明理由。
（1）要使这两个正方形的面积之和为34 cm²，求这两个正方形的边长。
（2）这两个正方形的面积之和可能为30 cm²吗？如果可能，求这两个正方形的边长；如果不可能，请说明理由。
答案
5.解:(1)设一个正方形的边长为 $x$ cm,则另一个正方形的边长为 $\frac{1}{4}(32-4x)=(8-x)$(cm)。
根据题意得 $x^2+(8-x)^2=34$,解得 $x_1=3,x_2=5$。
故这两个正方形的边长分别是 3 cm,5 cm。
(2)这两个正方形的面积之和不可能为 $30\ \mathrm{cm}^2$。
理由如下：
若两个正方形的面积之和为 $30\ \mathrm{cm}^2$，
则 $x^2+(8-x)^2=30$,即 $x^2-8x+17=0$。
$\because\Delta=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$，
$\therefore$ 方程没有实数根。
故这两个正方形的面积之和不可能为 $30\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意得 $x^2+(8-x)^2=34$,解得 $x_1=3,x_2=5$。
故这两个正方形的边长分别是 3 cm,5 cm。
(2)这两个正方形的面积之和不可能为 $30\ \mathrm{cm}^2$。
理由如下：
若两个正方形的面积之和为 $30\ \mathrm{cm}^2$，
则 $x^2+(8-x)^2=30$,即 $x^2-8x+17=0$。
$\because\Delta=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$，
$\therefore$ 方程没有实数根。
故这两个正方形的面积之和不可能为 $30\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：两个正方形的周长总和为32cm，我们可以通过设未知数表示两个正方形的边长，再结合面积和的等量关系列方程求解。
（1）首先设其中一个正方形的边长为x cm，根据正方形周长公式可知该正方形的周长为4x cm，那么另一段铁丝的长度为(32-4x)cm，因此另一个正方形的边长为$\frac{32-4x}{4}=(8-x)$cm，再根据“两个正方形的面积之和为34 cm²”列一元二次方程，求解即可得到边长。
（2）判断面积和能否为30 cm²时，可先假设能达到该数值，按照同样的等量关系列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明不可能达到该面积和。
【解析】
(1) 设其中一个正方形的边长为 $x$ cm，则另一个正方形的边长为 $\frac{1}{4}(32-4x)=(8-x)$ cm。
根据两个正方形面积和为34 cm²，列方程：
$x^2+(8-x)^2=34$
展开整理得：$x^2-8x+15=0$
解得 $x_1=3,x_2=5$
当$x=3$时，$8-x=5$；当$x=5$时，$8-x=3$，均符合边长为正的实际意义。
(2) 假设两个正方形的面积之和可以为$30\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$x^2+(8-x)^2=30$
展开整理得：$x^2-8x+17=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的边长。
【答案】
（1）这两个正方形的边长分别是3 cm，5 cm；
（2）不可能，所列方程无实数根，不存在满足条件的边长。
【知识点】
正方形周长与面积计算；一元二次方程的应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题的关键是找到周长与边长的关系，用单个未知数表示两个正方形的边长，再结合面积等量关系列方程；判断存在性问题时，可通过方程根的情况辅助判断，计算时要注意保证结果符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：两个正方形的周长总和为32cm，我们可以通过设未知数表示两个正方形的边长，再结合面积和的等量关系列方程求解。
（1）首先设其中一个正方形的边长为x cm，根据正方形周长公式可知该正方形的周长为4x cm，那么另一段铁丝的长度为(32-4x)cm，因此另一个正方形的边长为$\frac{32-4x}{4}=(8-x)$cm，再根据“两个正方形的面积之和为34 cm²”列一元二次方程，求解即可得到边长。
（2）判断面积和能否为30 cm²时，可先假设能达到该数值，按照同样的等量关系列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明不可能达到该面积和。
【解析】
(1) 设其中一个正方形的边长为 $x$ cm，则另一个正方形的边长为 $\frac{1}{4}(32-4x)=(8-x)$ cm。
根据两个正方形面积和为34 cm²，列方程：
$x^2+(8-x)^2=34$
展开整理得：$x^2-8x+15=0$
解得 $x_1=3,x_2=5$
当$x=3$时，$8-x=5$；当$x=5$时，$8-x=3$，均符合边长为正的实际意义。
(2) 假设两个正方形的面积之和可以为$30\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$x^2+(8-x)^2=30$
展开整理得：$x^2-8x+17=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的边长。
【答案】
（1）这两个正方形的边长分别是3 cm，5 cm；
（2）不可能，所列方程无实数根，不存在满足条件的边长。
【知识点】
正方形周长与面积计算；一元二次方程的应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题的关键是找到周长与边长的关系，用单个未知数表示两个正方形的边长，再结合面积等量关系列方程；判断存在性问题时，可通过方程根的情况辅助判断，计算时要注意保证结果符合实际意义。
【难度系数】
0.7
6.【数学文化】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程$x^2 + 2x - 8 = 0$[即$x(x+2)=8$]为例说明。构造如图所示的图形，大正方形的面积是$(x+x+2)^2$，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积，即$8×4 + (x+2 - x)^2$，因此$(x+x+2)^2 = 8×4 + (x+2 - x)^2$，所以$x=2$。在下面四个构图中，能正确说明方程$x^2 - 3x - 10 = 0$的解法的构图是（
C
）。答案
6.C
解析
【分析】
首先类比题干给出的一元二次方程几何解法思路，第一步先对目标方程变形，将$x^2 - 3x - 10 = 0$移项得$x(x-3)=10$，可知构图中每个矩形的相邻两边为$x$和$x-3$，单块矩形面积为10；第二步推导中间小正方形的边长：矩形长减宽即$x-(x-3)=3$，小正方形面积为$3^2=9$；第三步推导大正方形的面积构成：大正方形边长为矩形长加宽即$x+(x-3)=2x-3$，面积也等于4个矩形面积加中间小正方形面积，即$4×10+9=49$，最后匹配符合上述特征的构图即可。
【解析】
先对方程$x^2 - 3x - 10 = 0$变形，移项可得：
$x^2 - 3x = 10$，即$\boldsymbol{x(x-3)=10}$
由此可知：
1. 构图中每个矩形的相邻两边长分别为$x$、$x-3$，单个矩形面积为10；
2. 中间小正方形的边长 = 矩形长 - 矩形宽 = $x-(x-3)=3$，即小正方形面积为$3^2=9$；
3. 外围大正方形的边长 = 矩形长 + 矩形宽 = $x+(x-3)=2x-3$，大正方形面积可表示为$4×10 + 3^2=49$。
对比四个选项，仅选项C符合“中间小正方形边长为3、四个矩形面积均为10”的特征，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程几何解法，完全平方公式几何意义，数学文化应用
【点评】
本题结合我国古代数学成果考查一元二次方程的几何解法，侧重考查学生的知识迁移能力，需要学生类比题干示例自主推导构图特征，兼具知识性和文化性。
【难度系数】
0.7
首先类比题干给出的一元二次方程几何解法思路，第一步先对目标方程变形，将$x^2 - 3x - 10 = 0$移项得$x(x-3)=10$，可知构图中每个矩形的相邻两边为$x$和$x-3$，单块矩形面积为10；第二步推导中间小正方形的边长：矩形长减宽即$x-(x-3)=3$，小正方形面积为$3^2=9$；第三步推导大正方形的面积构成：大正方形边长为矩形长加宽即$x+(x-3)=2x-3$，面积也等于4个矩形面积加中间小正方形面积，即$4×10+9=49$，最后匹配符合上述特征的构图即可。
【解析】
先对方程$x^2 - 3x - 10 = 0$变形，移项可得：
$x^2 - 3x = 10$，即$\boldsymbol{x(x-3)=10}$
由此可知：
1. 构图中每个矩形的相邻两边长分别为$x$、$x-3$，单个矩形面积为10；
2. 中间小正方形的边长 = 矩形长 - 矩形宽 = $x-(x-3)=3$，即小正方形面积为$3^2=9$；
3. 外围大正方形的边长 = 矩形长 + 矩形宽 = $x+(x-3)=2x-3$，大正方形面积可表示为$4×10 + 3^2=49$。
对比四个选项，仅选项C符合“中间小正方形边长为3、四个矩形面积均为10”的特征，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程几何解法，完全平方公式几何意义，数学文化应用
【点评】
本题结合我国古代数学成果考查一元二次方程的几何解法，侧重考查学生的知识迁移能力，需要学生类比题干示例自主推导构图特征，兼具知识性和文化性。
【难度系数】
0.7
7. 设$m,n$是方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根，若满足$|m+n|=|mn|$，则称此类方程为“同步方程”。例如，方程$x^2-4x+4=0$是“同步方程”。
(1)下列方程是“同步方程”的有
①$x^2=0$，②$x^2 - x -1=0$，③$x(x-3)=0$。
(2)若方程$x^2-(a+3)x+3a=0$是“同步方程”，求$a$的值。
(1)下列方程是“同步方程”的有
①②
。（填序号）①$x^2=0$，②$x^2 - x -1=0$，③$x(x-3)=0$。
(2)若方程$x^2-(a+3)x+3a=0$是“同步方程”，求$a$的值。
答案
7.(1)①②
(2)解:$\because x^2-(a+3)x+3a=0$ 是“同步方程”，
$\therefore x_1+x_2=a+3,x_1x_2=3a,\therefore |a+3|=|3a|$，
$\therefore$ 当 $a+3=3a$ 时,$a=\frac{3}{2}$；
当 $a+3=-3a$ 时,$a=-\frac{3}{4}$，
$\therefore a=\frac{3}{2}$ 或 $a=-\frac{3}{4}$。
(2)解:$\because x^2-(a+3)x+3a=0$ 是“同步方程”，
$\therefore x_1+x_2=a+3,x_1x_2=3a,\therefore |a+3|=|3a|$，
$\therefore$ 当 $a+3=3a$ 时,$a=\frac{3}{2}$；
当 $a+3=-3a$ 时,$a=-\frac{3}{4}$，
$\therefore a=\frac{3}{2}$ 或 $a=-\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
解题核心是先准确理解“同步方程”的定义：若一元二次方程的两个实根满足|两根和|=|两根积|，即为同步方程。解题时结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先计算目标方程的两根之和、两根之积，再代入定义验证或列方程求解即可。第（1）问逐个计算三个方程的根的和与积，对照定义判断；第（2）问先根据韦达定理用含a的式子表示两根和与两根积，根据定义列绝对值方程，分情况去绝对值求解即可，本题方程判别式恒非负，无需额外验根。
【解析】
(1) 逐个判断3个方程：
① 方程$x^2=0$的两根均为0，得$m+n=0$，$mn=0$，满足$|0|=|0|$，是同步方程；
② 方程$x^2 - x -1=0$，由根与系数关系得$m+n=1$，$mn=-1$，满足$|1|=|-1|$，是同步方程；
③ 方程$x(x-3)=0$整理为$x^2-3x=0$，由根与系数关系得$m+n=3$，$mn=0$，$|3|≠|0|$，不是同步方程。
故符合要求的是①②。
(2) 设方程$x^2-(a+3)x+3a=0$的两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=a+3$，$x_1x_2=3a$
$\because$ 该方程是“同步方程”
$\therefore |a+3|=|3a|$
分两种情况去绝对值求解：
① 当$a+3=3a$时，移项得$2a=3$，解得$a=\frac{3}{2}$；
② 当$a+3=-3a$时，移项得$4a=-3$，解得$a=-\frac{3}{4}$。
验证方程判别式$\Delta=(a+3)^2-4×1×3a=(a-3)^2≥0$，两个解均满足方程有两个实根的要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$
(2) $\boldsymbol{a=\frac{3}{2}}$或$\boldsymbol{a=-\frac{3}{4}}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，绝对值方程求解，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考察对新定义规则的理解能力，以及一元二次方程根与系数关系的应用，运算量小，只要读懂定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题核心是先准确理解“同步方程”的定义：若一元二次方程的两个实根满足|两根和|=|两根积|，即为同步方程。解题时结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先计算目标方程的两根之和、两根之积，再代入定义验证或列方程求解即可。第（1）问逐个计算三个方程的根的和与积，对照定义判断；第（2）问先根据韦达定理用含a的式子表示两根和与两根积，根据定义列绝对值方程，分情况去绝对值求解即可，本题方程判别式恒非负，无需额外验根。
【解析】
(1) 逐个判断3个方程：
① 方程$x^2=0$的两根均为0，得$m+n=0$，$mn=0$，满足$|0|=|0|$，是同步方程；
② 方程$x^2 - x -1=0$，由根与系数关系得$m+n=1$，$mn=-1$，满足$|1|=|-1|$，是同步方程；
③ 方程$x(x-3)=0$整理为$x^2-3x=0$，由根与系数关系得$m+n=3$，$mn=0$，$|3|≠|0|$，不是同步方程。
故符合要求的是①②。
(2) 设方程$x^2-(a+3)x+3a=0$的两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=a+3$，$x_1x_2=3a$
$\because$ 该方程是“同步方程”
$\therefore |a+3|=|3a|$
分两种情况去绝对值求解：
① 当$a+3=3a$时，移项得$2a=3$，解得$a=\frac{3}{2}$；
② 当$a+3=-3a$时，移项得$4a=-3$，解得$a=-\frac{3}{4}$。
验证方程判别式$\Delta=(a+3)^2-4×1×3a=(a-3)^2≥0$，两个解均满足方程有两个实根的要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$
(2) $\boldsymbol{a=\frac{3}{2}}$或$\boldsymbol{a=-\frac{3}{4}}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，绝对值方程求解，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考察对新定义规则的理解能力，以及一元二次方程根与系数关系的应用，运算量小，只要读懂定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
