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8. 某家政服务公司向厂家购买 A,B 两款清洁液共 50 箱。已知 1 箱 A 款清洁液的进价为 200 元，所购买的 A 款清洁液数量每增加 1 箱，每箱进价降低 2 元。厂家为保障盈利，规定每次最多可购买 30 箱 A 款清洁液。每箱 B 款清洁液的进价为 100 元。设该公司购买 A 款清洁液 x 箱。
(1)根据信息填表：
(2)若订购这批清洁液的总进价为 6240 元，则该公司购买了多少箱 A 款清洁液？
(1)根据信息填表：
(2)若订购这批清洁液的总进价为 6240 元，则该公司购买了多少箱 A 款清洁液？
答案
8.解:(1)填表如下。
| 型号 | 数量/箱 | 进价/元 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $202-2x$ |
| B | $50-x$ | $100$ |
(2)设该公司购买了 $x$ 箱 A 款清洁液，
根据题意得 $x(202-2x)+100(50-x)=6\ 240$，
解得 $x_1=20,x_2=31$(不合题意,舍去)，
故该公司购买了 20 箱 A 款清洁液。
| 型号 | 数量/箱 | 进价/元 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $202-2x$ |
| B | $50-x$ | $100$ |
(2)设该公司购买了 $x$ 箱 A 款清洁液，
根据题意得 $x(202-2x)+100(50-x)=6\ 240$，
解得 $x_1=20,x_2=31$(不合题意,舍去)，
故该公司购买了 20 箱 A 款清洁液。
解析
【分析】
(1) 填表思路：首先两款清洁液总数量为50箱，已知A款数量为x箱，用总数量减去A款数量即可得到B款的数量；A款进价的推导：原本1箱A款进价200元，A款数量每增加1箱，每箱进价降低2元，买x箱A款时，相比买1箱的情况多了(x-1)箱，因此每箱共降价2(x-1)元，用基础进价减去降价金额即可得到x箱时A款的单箱进价，化简即可得到结果。
(2) 第二问解题思路：总进价为A款总进价加B款总进价，根据“总进价=单箱进价×数量”分别表示出两款清洁液的总进价，相加等于6240即可列出一元二次方程，求解后结合“最多可购买30箱A款清洁液”的限制条件，舍去不符合题意的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 填表过程：
① B款数量：两款清洁液共50箱，A款为x箱，因此B款数量为$\boldsymbol{50-x}$箱；
② A款进价：买x箱A款时，每箱降价$2(x-1)$元，因此单箱进价为$200-2(x-1)=202-2x$元，故A款进价为$\boldsymbol{202-2x}$元。
(2) 设该公司购买了$x$箱A款清洁液，根据总进价的等量关系列方程：
A款总进价为$x(202-2x)$元，B款总进价为$100(50-x)$元，因此：
$x(202-2x)+100(50-x)=6240$
展开并整理方程：
$202x-2x^2+5000-100x=6240$
$x^2-51x+620=0$
因式分解得：
$(x-20)(x-31)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=31$。
已知厂家规定最多购买30箱A款清洁液，$31＞30$，因此$x_2=31$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) A款进价为$\boxed{202-2x}$，B款数量为$\boxed{50-x}$；
(2) 该公司购买了$\boxed{20}$箱A款清洁液。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合实际采购场景考查代数知识的应用，解题的关键是找准数量关系列代数式和方程，同时要注意题干中的限制条件，对求解结果进行合理性检验，避免出现多解漏检的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 填表思路：首先两款清洁液总数量为50箱，已知A款数量为x箱，用总数量减去A款数量即可得到B款的数量；A款进价的推导：原本1箱A款进价200元，A款数量每增加1箱，每箱进价降低2元，买x箱A款时，相比买1箱的情况多了(x-1)箱，因此每箱共降价2(x-1)元，用基础进价减去降价金额即可得到x箱时A款的单箱进价，化简即可得到结果。
(2) 第二问解题思路：总进价为A款总进价加B款总进价，根据“总进价=单箱进价×数量”分别表示出两款清洁液的总进价，相加等于6240即可列出一元二次方程，求解后结合“最多可购买30箱A款清洁液”的限制条件，舍去不符合题意的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 填表过程：
① B款数量：两款清洁液共50箱，A款为x箱，因此B款数量为$\boldsymbol{50-x}$箱；
② A款进价：买x箱A款时，每箱降价$2(x-1)$元，因此单箱进价为$200-2(x-1)=202-2x$元，故A款进价为$\boldsymbol{202-2x}$元。
(2) 设该公司购买了$x$箱A款清洁液，根据总进价的等量关系列方程：
A款总进价为$x(202-2x)$元，B款总进价为$100(50-x)$元，因此：
$x(202-2x)+100(50-x)=6240$
展开并整理方程：
$202x-2x^2+5000-100x=6240$
$x^2-51x+620=0$
因式分解得：
$(x-20)(x-31)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=31$。
已知厂家规定最多购买30箱A款清洁液，$31＞30$，因此$x_2=31$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) A款进价为$\boxed{202-2x}$，B款数量为$\boxed{50-x}$；
(2) 该公司购买了$\boxed{20}$箱A款清洁液。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合实际采购场景考查代数知识的应用，解题的关键是找准数量关系列代数式和方程，同时要注意题干中的限制条件，对求解结果进行合理性检验，避免出现多解漏检的错误。
【难度系数】
0.7
9.【数学应用】如图①，要设计一幅长30 cm、宽20 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3。如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的$\frac{1}{3}$，应如何设计每个彩条的宽度？
分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每个横彩条的宽度为2x cm，则每个竖彩条的宽度为3x cm。为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题可转化为如图②所示的情况，得到矩形ABCD。
结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：
AB=
矩形ABCD的面积=
列出方程并完成本题的解答。
分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每个横彩条的宽度为2x cm，则每个竖彩条的宽度为3x cm。为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题可转化为如图②所示的情况，得到矩形ABCD。
结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：
AB=
$(20-6x)\ \mathrm{cm}$
；AD=$(30-4x)\ \mathrm{cm}$
；矩形ABCD的面积=
$(24x^2-260x+600)\ \mathrm{cm}^2$
。列出方程并完成本题的解答。
答案
9.解:根据题意,得 $24x^2-260x+600=(1-\frac{1}{3})×20×30$。
整理,得 $6x^2-65x+50=0$。
解方程,得 $x_1=\frac{5}{6},x_2=10$(不合题意,舍去)。
此时 $2x=\frac{5}{3},3x=\frac{5}{2}$。
故每个横、竖彩条的宽度分别为 $\frac{5}{3}\ \mathrm{cm},\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
整理,得 $6x^2-65x+50=0$。
解方程,得 $x_1=\frac{5}{6},x_2=10$(不合题意,舍去)。
此时 $2x=\frac{5}{3},3x=\frac{5}{2}$。
故每个横、竖彩条的宽度分别为 $\frac{5}{3}\ \mathrm{cm},\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时先根据横、竖彩条的宽度比设未知数，再通过平移彩条的方法，将空白区域集中为矩形ABCD，进而用含x的代数式表示出矩形ABCD的长和宽；再根据“彩条面积占原矩形面积的$\frac{1}{3}$”可得空白区域面积占原矩形面积的$\frac{2}{3}$，以此为等量关系列一元二次方程求解，最后要检验根是否符合实际意义，舍去不合理的根。
【解析】
1. 代数式推导：
原矩形宽为20cm，有2个竖彩条，每个宽度为3x cm，因此$AB = 20 - 2×3x = (20-6x)\ \mathrm{cm}$；
原矩形长为30cm，有2个横彩条，每个宽度为2x cm，因此$AD = 30 - 2×2x = (30-4x)\ \mathrm{cm}$；
矩形ABCD的面积 = 长×宽 = $(20-6x)(30-4x)\ \mathrm{cm}^2$。
2. 列方程求解：
由题意，空白区域（矩形ABCD）面积为原矩形面积的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，原矩形面积为$20×30=600\ \mathrm{cm}^2$，因此列方程：
$(20-6x)(30-4x) = (1-\frac{1}{3})×20×30$
展开整理得：
$24x^2-260x+600=400$，化简为$6x^2 -65x +50=0$
解该一元二次方程得：$x_1=\frac{5}{6}$，$x_2=10$。
当$x=10$时，$20-6x=-40＜0$，不符合实际意义，舍去；
因此$x=\frac{5}{6}$，此时横彩条宽度$2x=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$，竖彩条宽度$3x=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(20-6x)\ \mathrm{cm}$；$(30-4x)\ \mathrm{cm}$；$(20-6x)(30-4x)\ \mathrm{cm}^2$；
每个横彩条的宽度为$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$，每个竖彩条的宽度为$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题通过平移法简化了不规则空白区域的面积计算，是面积类方程应用题的常用思路，解题时需注意结合实际场景对方程的根进行检验，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
解题时先根据横、竖彩条的宽度比设未知数，再通过平移彩条的方法，将空白区域集中为矩形ABCD，进而用含x的代数式表示出矩形ABCD的长和宽；再根据“彩条面积占原矩形面积的$\frac{1}{3}$”可得空白区域面积占原矩形面积的$\frac{2}{3}$，以此为等量关系列一元二次方程求解，最后要检验根是否符合实际意义，舍去不合理的根。
【解析】
1. 代数式推导：
原矩形宽为20cm，有2个竖彩条，每个宽度为3x cm，因此$AB = 20 - 2×3x = (20-6x)\ \mathrm{cm}$；
原矩形长为30cm，有2个横彩条，每个宽度为2x cm，因此$AD = 30 - 2×2x = (30-4x)\ \mathrm{cm}$；
矩形ABCD的面积 = 长×宽 = $(20-6x)(30-4x)\ \mathrm{cm}^2$。
2. 列方程求解：
由题意，空白区域（矩形ABCD）面积为原矩形面积的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，原矩形面积为$20×30=600\ \mathrm{cm}^2$，因此列方程：
$(20-6x)(30-4x) = (1-\frac{1}{3})×20×30$
展开整理得：
$24x^2-260x+600=400$，化简为$6x^2 -65x +50=0$
解该一元二次方程得：$x_1=\frac{5}{6}$，$x_2=10$。
当$x=10$时，$20-6x=-40＜0$，不符合实际意义，舍去；
因此$x=\frac{5}{6}$，此时横彩条宽度$2x=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$，竖彩条宽度$3x=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(20-6x)\ \mathrm{cm}$；$(30-4x)\ \mathrm{cm}$；$(20-6x)(30-4x)\ \mathrm{cm}^2$；
每个横彩条的宽度为$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$，每个竖彩条的宽度为$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题通过平移法简化了不规则空白区域的面积计算，是面积类方程应用题的常用思路，解题时需注意结合实际场景对方程的根进行检验，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
