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1. 已知线段$a=6\ \mathrm{cm},b=4\ \mathrm{dm}$,则$a:b$等于(
A.$3:2$
B.$2:3$
C.$3:20$
D.$20:3$
C
)。A.$3:2$
B.$2:3$
C.$3:20$
D.$20:3$
答案
1.C
解析
【分析】
计算两条线段的比时，首先要保证两条线段的长度单位统一，否则不能直接作比。本题中两条线段的单位分别是厘米和分米，因此第一步需要先将单位换算一致，再代入两个线段的长度作比，最后化简为最简整数比，对应选项选出答案即可。
【解析】
先统一单位：因为$1\ \mathrm{dm}=10\ \mathrm{cm}$，所以$b=4\ \mathrm{dm}=4×10\ \mathrm{cm}=40\ \mathrm{cm}$。
已知$a=6\ \mathrm{cm}$，因此$a:b=6\ \mathrm{cm}:40\ \mathrm{cm}=6:40$，化简后得$3:20$。
【答案】
C
【知识点】
线段的比、长度单位换算
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心注意点是计算线段比前必须先统一单位，常见易错点是忽略单位差异直接用6和4作比，误选A选项，做题时要注意审题，优先确认单位是否一致。
【难度系数】
0.7
计算两条线段的比时，首先要保证两条线段的长度单位统一，否则不能直接作比。本题中两条线段的单位分别是厘米和分米，因此第一步需要先将单位换算一致，再代入两个线段的长度作比，最后化简为最简整数比，对应选项选出答案即可。
【解析】
先统一单位：因为$1\ \mathrm{dm}=10\ \mathrm{cm}$，所以$b=4\ \mathrm{dm}=4×10\ \mathrm{cm}=40\ \mathrm{cm}$。
已知$a=6\ \mathrm{cm}$，因此$a:b=6\ \mathrm{cm}:40\ \mathrm{cm}=6:40$，化简后得$3:20$。
【答案】
C
【知识点】
线段的比、长度单位换算
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心注意点是计算线段比前必须先统一单位，常见易错点是忽略单位差异直接用6和4作比，误选A选项，做题时要注意审题，优先确认单位是否一致。
【难度系数】
0.7
2. 已知$4m - 5n = 0(m≠0)$，则下列等式成立的是(
A.$\frac{m}{4}=\frac{n}{5}$
B.$\frac{m}{n}=\frac{5}{4}$
C.$\frac{m}{4}=\frac{5}{n}$
D.$\frac{m}{n}=\frac{4}{5}$
B
)。A.$\frac{m}{4}=\frac{n}{5}$
B.$\frac{m}{n}=\frac{5}{4}$
C.$\frac{m}{4}=\frac{5}{n}$
D.$\frac{m}{n}=\frac{4}{5}$
答案
2.B
解析
【分析】
拿到题目首先整理已知条件，将等式4m-5n=0移项得到等积式4m=5n，接下来可以利用比例的基本性质（比例的两个外项积等于两个内项积）解题：既可以把已知的等积式转化为比例式和选项比对，也可以将每个选项的比例式交叉相乘得到等积式，和4m=5n比对验证，就能快速选出正确答案。
【解析】
由$4m - 5n = 0$移项可得：$4m = 5n$，已知$m≠0$，结合选项分母含$n$可知$n≠0$。
方法1：将等积式$4m=5n$转化为比例式，把$m、4$作为比例外项，$n、5$作为比例内项，可得$\frac{m}{n}=\frac{5}{4}$，对应选项B。
方法2：逐一验证选项：
A选项：$\frac{m}{4}=\frac{n}{5}$，交叉相乘得$5m=4n$，与$4m=5n$不符，错误；
B选项：$\frac{m}{n}=\frac{5}{4}$，交叉相乘得$4m=5n$，与已知条件一致，正确；
C选项：$\frac{m}{4}=\frac{5}{n}$，交叉相乘得$mn=20$，与$4m=5n$不符，错误；
D选项：$\frac{m}{n}=\frac{4}{5}$，交叉相乘得$5m=4n$，与$4m=5n$不符，错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质；等式的变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，掌握比例的基本性质是解题核心，等积式和比例式的互相转化、反向验证都是做这类选择题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先整理已知条件，将等式4m-5n=0移项得到等积式4m=5n，接下来可以利用比例的基本性质（比例的两个外项积等于两个内项积）解题：既可以把已知的等积式转化为比例式和选项比对，也可以将每个选项的比例式交叉相乘得到等积式，和4m=5n比对验证，就能快速选出正确答案。
【解析】
由$4m - 5n = 0$移项可得：$4m = 5n$，已知$m≠0$，结合选项分母含$n$可知$n≠0$。
方法1：将等积式$4m=5n$转化为比例式，把$m、4$作为比例外项，$n、5$作为比例内项，可得$\frac{m}{n}=\frac{5}{4}$，对应选项B。
方法2：逐一验证选项：
A选项：$\frac{m}{4}=\frac{n}{5}$，交叉相乘得$5m=4n$，与$4m=5n$不符，错误；
B选项：$\frac{m}{n}=\frac{5}{4}$，交叉相乘得$4m=5n$，与已知条件一致，正确；
C选项：$\frac{m}{4}=\frac{5}{n}$，交叉相乘得$mn=20$，与$4m=5n$不符，错误；
D选项：$\frac{m}{n}=\frac{4}{5}$，交叉相乘得$5m=4n$，与$4m=5n$不符，错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质；等式的变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，掌握比例的基本性质是解题核心，等积式和比例式的互相转化、反向验证都是做这类选择题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
3. 下列各组图形不一定是相似图形的是（
C
）。答案
3.C
解析
【分析】
解题首先要明确相似图形的核心定义：形状完全相同的图形叫做相似图形，相似图形仅大小可以不同，对应角相等、对应边成比例。接下来逐个分析选项：①先看A组，两个风车图案仅大小有差异，造型完全一致，形状相同；②再看B组，两个都是正五角星，角和边的比例关系固定，形状相同；③再看C组，两个虽是等腰三角形，但左侧三角形顶角小、腰身修长，右侧三角形顶角大、图形扁宽，内角不一定对应相等，边长比例也不一定匹配，形状不一定相同；④最后看D组，所有圆的形状均一致，仅半径不同，一定相似。由此即可锁定答案。
【解析】
根据相似图形的定义：形状相同的图形为相似图形，相似图形的对应角相等，对应边成比例，对各选项逐一判断：
A. 两个图形为同造型的风车图案，仅大小不同，形状完全相同，属于相似图形；
B. 两个均为正五角星，对应角相等，对应边成比例，形状相同，属于相似图形；
C. 两个等腰三角形的顶角角度不相等，底角也不对应相等，对应边不成比例，形状不相同，不一定是相似图形；
D. 所有圆的形状均一致，仅半径大小有区别，任意两个圆都是相似图形。
【答案】
C
【知识点】
相似图形的定义、相似图形判定、常见相似图形
【点评】
本题核心考查对相似图形概念的掌握，解题关键是抓住“形状相同”这一本质特征，不要被图形的大小差异误导，同时要牢记所有圆、所有正n边形都是必然相似的图形，而三角形需要满足角对应相等、边对应成比例才相似。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确相似图形的核心定义：形状完全相同的图形叫做相似图形，相似图形仅大小可以不同，对应角相等、对应边成比例。接下来逐个分析选项：①先看A组，两个风车图案仅大小有差异，造型完全一致，形状相同；②再看B组，两个都是正五角星，角和边的比例关系固定，形状相同；③再看C组，两个虽是等腰三角形，但左侧三角形顶角小、腰身修长，右侧三角形顶角大、图形扁宽，内角不一定对应相等，边长比例也不一定匹配，形状不一定相同；④最后看D组，所有圆的形状均一致，仅半径不同，一定相似。由此即可锁定答案。
【解析】
根据相似图形的定义：形状相同的图形为相似图形，相似图形的对应角相等，对应边成比例，对各选项逐一判断：
A. 两个图形为同造型的风车图案，仅大小不同，形状完全相同，属于相似图形；
B. 两个均为正五角星，对应角相等，对应边成比例，形状相同，属于相似图形；
C. 两个等腰三角形的顶角角度不相等，底角也不对应相等，对应边不成比例，形状不相同，不一定是相似图形；
D. 所有圆的形状均一致，仅半径大小有区别，任意两个圆都是相似图形。
【答案】
C
【知识点】
相似图形的定义、相似图形判定、常见相似图形
【点评】
本题核心考查对相似图形概念的掌握，解题关键是抓住“形状相同”这一本质特征，不要被图形的大小差异误导，同时要牢记所有圆、所有正n边形都是必然相似的图形，而三角形需要满足角对应相等、边对应成比例才相似。
【难度系数】
0.8
4. 如图，四边形ABCD是一张矩形纸片。将其按下面的方式折叠：AD边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；BC边落在DC边上，点B落在点G处，折痕为CF。若矩形GFEH与矩形ABCD相似，AD=1，求DC的长。
答案
4. 解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是一张矩形纸片,$AD=1$,
$\therefore∠ A=∠ ADC=90°,BC=AD=1$。
$\because AD$ 边落在 $DC$ 边上,点 $A$ 落在点 $H$ 处,折痕为 $DE$,
$\therefore HD = AD = 1,∠ ADE = ∠ HDE = 45°$,$AE=HE$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$∠ AED=90°-∠ ADE=45°$,
$\therefore∠ AED=∠ ADE,\therefore AE=AD=1$,
$\therefore HE=AE=1$。
同理可得 $GC=BC=1$。
$\because$ 矩形 $GFEH$ 与矩形 $ABCD$ 相似,
$\therefore\frac{DC}{HE}=\frac{AD}{GH}$,即 $\frac{DC}{1}=\frac{1}{DC-2}$。
$\because DC＞0$, 解得 $DC=\sqrt{2}+1$。
$\therefore DC$ 的长为$\sqrt{2}+1$。
$\therefore∠ A=∠ ADC=90°,BC=AD=1$。
$\because AD$ 边落在 $DC$ 边上,点 $A$ 落在点 $H$ 处,折痕为 $DE$,
$\therefore HD = AD = 1,∠ ADE = ∠ HDE = 45°$,$AE=HE$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$∠ AED=90°-∠ ADE=45°$,
$\therefore∠ AED=∠ ADE,\therefore AE=AD=1$,
$\therefore HE=AE=1$。
同理可得 $GC=BC=1$。
$\because$ 矩形 $GFEH$ 与矩形 $ABCD$ 相似,
$\therefore\frac{DC}{HE}=\frac{AD}{GH}$,即 $\frac{DC}{1}=\frac{1}{DC-2}$。
$\because DC＞0$, 解得 $DC=\sqrt{2}+1$。
$\therefore DC$ 的长为$\sqrt{2}+1$。
解析
【分析】
解题时首先结合矩形性质明确已知边、角的关系，再利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，求出小矩形GFEH的边长表达式；再根据相似多边形对应边成比例的性质列出方程，求解方程后结合线段长度为正数的要求取舍根，即可得到DC的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AD=1，
∴∠A=∠ADC=90°，BC=AD=1。
∵AD边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE，
∴HD=AD=1，∠ADE=∠HDE=45°，AE=HE，
在Rt△ADE中，∠AED=90°-∠ADE=45°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD=1，
∴HE=AE=1。
同理可得GC=BC=1。
∵矩形GFEH与矩形ABCD相似，
∴$\frac{DC}{HE}=\frac{AD}{GH}$，其中$GH=DC-HD-GC=DC-2$，代入得$\frac{DC}{1}=\frac{1}{DC-2}$，
∵DC＞0，解得$DC=\sqrt{2}+1$。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是准确找到折叠后相等的线段，同时找准相似多边形的对应边，建立比例方程求解，需要注意结合实际意义对一元二次方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形性质明确已知边、角的关系，再利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，求出小矩形GFEH的边长表达式；再根据相似多边形对应边成比例的性质列出方程，求解方程后结合线段长度为正数的要求取舍根，即可得到DC的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AD=1，
∴∠A=∠ADC=90°，BC=AD=1。
∵AD边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE，
∴HD=AD=1，∠ADE=∠HDE=45°，AE=HE，
在Rt△ADE中，∠AED=90°-∠ADE=45°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD=1，
∴HE=AE=1。
同理可得GC=BC=1。
∵矩形GFEH与矩形ABCD相似，
∴$\frac{DC}{HE}=\frac{AD}{GH}$，其中$GH=DC-HD-GC=DC-2$，代入得$\frac{DC}{1}=\frac{1}{DC-2}$，
∵DC＞0，解得$DC=\sqrt{2}+1$。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是准确找到折叠后相等的线段，同时找准相似多边形的对应边，建立比例方程求解，需要注意结合实际意义对一元二次方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
