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1. 将一元二次方程$3x+7=x(x-1)$化为一般形式后，二次项系数和一次项分别为（
A.$1,4$
B.$-1,4x$
C.$1,4x$
D.$x^2,-4x$
B
）。A.$1,4$
B.$-1,4x$
C.$1,4x$
D.$x^2,-4x$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$bx$是一次项。解题思路为：先将方程右侧的整式乘法展开，再通过移项、合并同类项把方程整理为等号右侧为0的形式，最后对应找到二次项系数和一次项匹配选项即可。要注意移项时符号要改变，一次项是包含未知数$x$的项，不要和一次项系数混淆。
【解析】
第一步：展开方程右侧的整式乘法：
原式$3x+7 = x(x-1)$展开得：$3x+7 = x^2 - x$
第二步：移项，将所有项移到等号左侧，使右侧为0：
$3x +7 -x^2 +x = 0$
第三步：合并同类项，整理为一般形式：
$-x^2 +4x +7 = 0$
第四步：识别对应项：二次项系数为$-1$，一次项为$4x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程一般形式
2.整式化简运算
3.方程项与系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点主要有三处：一是移项时忘记变号导致项的符号错误；二是混淆一次项和一次项系数，错把系数当成项；三是默认把二次项系数化为正数后找不到对应选项，忽略了一般形式中二次项系数可负的规则。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$bx$是一次项。解题思路为：先将方程右侧的整式乘法展开，再通过移项、合并同类项把方程整理为等号右侧为0的形式，最后对应找到二次项系数和一次项匹配选项即可。要注意移项时符号要改变，一次项是包含未知数$x$的项，不要和一次项系数混淆。
【解析】
第一步：展开方程右侧的整式乘法：
原式$3x+7 = x(x-1)$展开得：$3x+7 = x^2 - x$
第二步：移项，将所有项移到等号左侧，使右侧为0：
$3x +7 -x^2 +x = 0$
第三步：合并同类项，整理为一般形式：
$-x^2 +4x +7 = 0$
第四步：识别对应项：二次项系数为$-1$，一次项为$4x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程一般形式
2.整式化简运算
3.方程项与系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点主要有三处：一是移项时忘记变号导致项的符号错误；二是混淆一次项和一次项系数，错把系数当成项；三是默认把二次项系数化为正数后找不到对应选项，忽略了一般形式中二次项系数可负的规则。
【难度系数】
0.6
2. 一元二次方程$x^2 - 2x - 4 = 0$的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
)。A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
2.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，我们可以使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，解题思路分为三步：第一步先从给定的一元二次方程中找出对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步把三个系数代入判别式公式计算出$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的取值对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - 2x - 4 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-4)$
$=4 + 16$
$=20$
因为$\Delta=20＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，主要考查根的判别式的应用，解题核心是准确提取方程各项系数，牢记判别式取值与根的情况的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，我们可以使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，解题思路分为三步：第一步先从给定的一元二次方程中找出对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步把三个系数代入判别式公式计算出$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的取值对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - 2x - 4 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-4)$
$=4 + 16$
$=20$
因为$\Delta=20＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，主要考查根的判别式的应用，解题核心是准确提取方程各项系数，牢记判别式取值与根的情况的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x$的方程$3x^2 + 6x - 2m = 0$的一个根是$x=2$，则另一个根是
$x=-4$
。答案
3.$x=-4$
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常见解题思路：思路1：利用方程的根的定义，将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程，即可得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于$\frac{-b}{a}$，无需计算参数m，直接求解另一个根，计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$3x^2 + 6x - 2m = 0$，其中$a=3$，$b=6$。
根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + 2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{3} = -2$，
解得$x_1 = -2 - 2 = -4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程得：$3× 2^2 + 6× 2 - 2m = 0$，
计算得：$12 + 12 - 2m = 0$，即$24 = 2m$，解得$m=12$。
将$m=12$代入原方程得$3x^2 + 6x - 24 = 0$，两边同除以3化简为$x^2 + 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x + 4)(x - 2) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -4$，故另一个根为$x=-4$。
【答案】
$x=-4$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用，两种解法均符合要求，其中利用根与系数的关系可省略求参数的步骤，有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常见解题思路：思路1：利用方程的根的定义，将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程，即可得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于$\frac{-b}{a}$，无需计算参数m，直接求解另一个根，计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$3x^2 + 6x - 2m = 0$，其中$a=3$，$b=6$。
根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + 2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{3} = -2$，
解得$x_1 = -2 - 2 = -4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程得：$3× 2^2 + 6× 2 - 2m = 0$，
计算得：$12 + 12 - 2m = 0$，即$24 = 2m$，解得$m=12$。
将$m=12$代入原方程得$3x^2 + 6x - 24 = 0$，两边同除以3化简为$x^2 + 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x + 4)(x - 2) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -4$，故另一个根为$x=-4$。
【答案】
$x=-4$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用，两种解法均符合要求，其中利用根与系数的关系可省略求参数的步骤，有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
4. 解方程：$3(x+2)^2 = x(x+2)$。
答案
4.$x_1=-2,x_2=-3$。
解析
【分析】
观察方程两边都含有公因式$(x+2)$，若直接两边同时除以$(x+2)$，会忽略$x+2=0$的情况导致丢根，因此选择因式分解法求解：首先将方程右边的项移到左边，再提取公因式$(x+2)$，把方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：移项，得：
$3(x+2)^2 - x(x+2) = 0$
提取公因式$(x+2)$，得：
$(x+2)[3(x+2) - x] = 0$
化简括号内的整式：
$(x+2)(3x + 6 - x) = 0$
$(x+2)(2x + 6) = 0$
则有$x+2=0$或$2x+6=0$，
分别解得：
当$x+2=0$时，$x_1=-2$；
当$2x+6=0$时，$2x=-6$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=-3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时需注意不要直接两边除以含有未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握提公因式的方法是快速求解本题的关键。
【难度系数】
0.8
观察方程两边都含有公因式$(x+2)$，若直接两边同时除以$(x+2)$，会忽略$x+2=0$的情况导致丢根，因此选择因式分解法求解：首先将方程右边的项移到左边，再提取公因式$(x+2)$，把方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：移项，得：
$3(x+2)^2 - x(x+2) = 0$
提取公因式$(x+2)$，得：
$(x+2)[3(x+2) - x] = 0$
化简括号内的整式：
$(x+2)(3x + 6 - x) = 0$
$(x+2)(2x + 6) = 0$
则有$x+2=0$或$2x+6=0$，
分别解得：
当$x+2=0$时，$x_1=-2$；
当$2x+6=0$时，$2x=-6$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=-3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时需注意不要直接两边除以含有未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握提公因式的方法是快速求解本题的关键。
【难度系数】
0.8
5.【数学应用】因生产技术落后等因素，某工厂2025年的利润比2024年减少10%。
(1)设该工厂2024年的利润为a万元，则该工厂2025年的利润为
(2)该工厂2026年年初开展了技术革新，计划2026年的利润比2025年增长60%。求该工厂按计划完成任务后，2024年到2026年这两年年利润的平均增长率。
(1)设该工厂2024年的利润为a万元，则该工厂2025年的利润为
$0.9a$
万元；(用含a的代数式表示)(2)该工厂2026年年初开展了技术革新，计划2026年的利润比2025年增长60%。求该工厂按计划完成任务后，2024年到2026年这两年年利润的平均增长率。
答案
5.(1)$0.9a$
(2)解:设 2024 年到 2026 年这两年年利润的平均增长率为 $x$。
根据题意得 $a（1 - 10\%）（1 + 60\%）= a(1+x)^2$。
解得 $x_1=0.2,x_2=-2.2$(不合题意,舍去)。
故该工厂 2024 年到 2026 年这两年年利润的平均增长率为 20%。
(2)解:设 2024 年到 2026 年这两年年利润的平均增长率为 $x$。
根据题意得 $a（1 - 10\%）（1 + 60\%）= a(1+x)^2$。
解得 $x_1=0.2,x_2=-2.2$(不合题意,舍去)。
故该工厂 2024 年到 2026 年这两年年利润的平均增长率为 20%。
解析
【分析】
(1) 第一问已知2024年利润为a万元，2025年利润比2024年减少10%，即2025年利润是2024年利润的(1-10%)，直接用a乘对应比例即可得到结果。
(2) 第二问为平均增长率问题，核心等量关系为：初始量×(1+平均增长率)ⁿ=最终量（n为增长年数）。首先先计算2026年的计划利润：由第一问得2025年利润为0.9a，2026年比2025年增长60%，可求出2026年利润；再以2024年利润a为初始量，两年后的最终量为2026年利润，据此列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
(1) 2025年利润 = 2024年利润×(1-减少的百分比) = $a×(1-10\%)=0.9a$万元。
(2) 设2024年到2026年这两年年利润的平均增长率为$x$。
根据题意，2026年的计划利润为$a(1-10\%)(1+60\%)$，结合平均增长率公式可列方程：
$a(1-10\%)(1+60\%)=a(1+x)^2$
由于$a≠0$，两边同时除以$a$得：
$0.9×1.6=(1+x)^2$
计算得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
年利润增长率不能为负，故$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.9a}$
(2) $\boldsymbol{20\%}$
【知识点】
1. 列代数式
2. 一元二次方程的应用
3. 平均增长率计算
【点评】
本题属于实际生活中的增长率类基础题，解题关键是准确梳理不同年份利润的数量关系，牢记平均增长率的计算公式，同时要注意求解后验证根是否符合实际意义，舍去无效根。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知2024年利润为a万元，2025年利润比2024年减少10%，即2025年利润是2024年利润的(1-10%)，直接用a乘对应比例即可得到结果。
(2) 第二问为平均增长率问题，核心等量关系为：初始量×(1+平均增长率)ⁿ=最终量（n为增长年数）。首先先计算2026年的计划利润：由第一问得2025年利润为0.9a，2026年比2025年增长60%，可求出2026年利润；再以2024年利润a为初始量，两年后的最终量为2026年利润，据此列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
(1) 2025年利润 = 2024年利润×(1-减少的百分比) = $a×(1-10\%)=0.9a$万元。
(2) 设2024年到2026年这两年年利润的平均增长率为$x$。
根据题意，2026年的计划利润为$a(1-10\%)(1+60\%)$，结合平均增长率公式可列方程：
$a(1-10\%)(1+60\%)=a(1+x)^2$
由于$a≠0$，两边同时除以$a$得：
$0.9×1.6=(1+x)^2$
计算得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
年利润增长率不能为负，故$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.9a}$
(2) $\boldsymbol{20\%}$
【知识点】
1. 列代数式
2. 一元二次方程的应用
3. 平均增长率计算
【点评】
本题属于实际生活中的增长率类基础题，解题关键是准确梳理不同年份利润的数量关系，牢记平均增长率的计算公式，同时要注意求解后验证根是否符合实际意义，舍去无效根。
【难度系数】
0.7
1. 用配方法解一元二次方程$x^2 -4x -6=0$，方程可变形为（
A.$(x+2)^2=2$
B.$(x-2)^2=2$
C.$(x+2)^2=10$
D.$(x-2)^2=10$
D
）。A.$(x+2)^2=2$
B.$(x-2)^2=2$
C.$(x+2)^2=10$
D.$(x-2)^2=10$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路如下：第一步先移项，将方程中的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再化简右侧即可得到变形后的结果，最后对应选项判断即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，将常数项移到等号右边：
$x^2 - 4x = 6$
接下来配方，一次项系数为$-4$，它的一半是$-2$，平方为$(-2)^2=4$，给等号两边同时加4：
$x^2 - 4x + 4 = 6 + 4$
左侧根据完全平方公式可写成完全平方式，右侧合并常数项：
$(x-2)^2 = 10$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的常规操作步骤，解题时需要注意一次项系数的符号，避免配方时出现符号错误，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路如下：第一步先移项，将方程中的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再化简右侧即可得到变形后的结果，最后对应选项判断即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，将常数项移到等号右边：
$x^2 - 4x = 6$
接下来配方，一次项系数为$-4$，它的一半是$-2$，平方为$(-2)^2=4$，给等号两边同时加4：
$x^2 - 4x + 4 = 6 + 4$
左侧根据完全平方公式可写成完全平方式，右侧合并常数项：
$(x-2)^2 = 10$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的常规操作步骤，解题时需要注意一次项系数的符号，避免配方时出现符号错误，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，小明用一张长11 cm、宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为$21\ \mathrm{cm}^2$的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）。设剪去的正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，则根据题意可列出的方程是（
A.$(11-x)(7-x)=21$
B.$(11-2x)(7-x)=21$
C.$(11-x)(7-2x)=21$
D.$(11-2x)(7-2x)=21$
D
）。A.$(11-x)(7-x)=21$
B.$(11-2x)(7-x)=21$
C.$(11-x)(7-2x)=21$
D.$(11-2x)(7-2x)=21$
答案
2.D
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先需确定无盖长方体纸盒底面的长和宽：四个角各剪去边长为x cm的正方形后，折叠得到的纸盒底面的长是原纸板的长减去左右两个正方形的边长，底面的宽是原纸板的宽减去上下两个正方形的边长，再结合“底面积=长×宽”的公式即可列出方程，对应选项判断即可。
【解析】
设剪去的正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$。
折叠后无盖长方体纸盒的底面长为：$(11-2x)\ \mathrm{cm}$（原长11cm，左右各剪掉1个边长为x的正方形，共减去2x）；
折叠后无盖长方体纸盒的底面宽为：$(7-2x)\ \mathrm{cm}$（原宽7cm，上下各剪掉1个边长为x的正方形，共减去2x）；
已知纸盒底面积为$21\ \mathrm{cm}^2$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可列方程：
$(11-2x)(7-2x)=21$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是几何类列方程的基础题型，解题的核心是准确找到折叠后底面矩形的长和宽，需注意原纸板的两条对边各剪去一个正方形，因此边长要减去2倍的正方形边长，避免出现只减1个x的错误。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先需确定无盖长方体纸盒底面的长和宽：四个角各剪去边长为x cm的正方形后，折叠得到的纸盒底面的长是原纸板的长减去左右两个正方形的边长，底面的宽是原纸板的宽减去上下两个正方形的边长，再结合“底面积=长×宽”的公式即可列出方程，对应选项判断即可。
【解析】
设剪去的正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$。
折叠后无盖长方体纸盒的底面长为：$(11-2x)\ \mathrm{cm}$（原长11cm，左右各剪掉1个边长为x的正方形，共减去2x）；
折叠后无盖长方体纸盒的底面宽为：$(7-2x)\ \mathrm{cm}$（原宽7cm，上下各剪掉1个边长为x的正方形，共减去2x）；
已知纸盒底面积为$21\ \mathrm{cm}^2$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可列方程：
$(11-2x)(7-2x)=21$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是几何类列方程的基础题型，解题的核心是准确找到折叠后底面矩形的长和宽，需注意原纸板的两条对边各剪去一个正方形，因此边长要减去2倍的正方形边长，避免出现只减1个x的错误。
【难度系数】
0.8
