1. 如图,点C在线段AB上,且$AC:BC=2:3$,点D在线段AB的延长线上,且$BD=AC$,E为AD的中点.若$AB=40\ \mathrm{cm}$,求线段CE的长.

1. 解:$\because AC:BC=2:3,BD=AC,\therefore$设$AC=BD=2x\ \mathrm{cm}$,$BC=3x\ \mathrm{cm}$.$\therefore AB=AC+BC=2x+3x=5x(\mathrm{cm})$.又$\because AB=40\ \mathrm{cm},\therefore 5x=40$,解得$x=8$.$\therefore AC=BD=16\ \mathrm{cm}$.$\because E$为$AD$的中点,$AB=40\ \mathrm{cm},\therefore AE=ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(AB+BD)=\frac{1}{2}×(40+16)=28(\mathrm{cm})$.$\therefore CE=AE-AC=28-16=12(\mathrm{cm})$.

【分析】
解题时首先利用已知的线段比例关系，通过设参数的方法先求出AC、BC的长度，再结合BD=AC得到BD的长度；接着根据E是AD中点的性质，求出AE的长度；最后利用线段的和差关系，用AE减去AC就能得到CE的长度。
【解析】
解：$\because AC:BC=2:3,BD=AC$，
$\therefore$设$AC=BD=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=3x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AC+BC=2x+3x=5x(\mathrm{cm})$，
又$\because AB=40\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 5x=40$，解得$x=8$，
$\therefore AC=BD=16\ \mathrm{cm}$。
$\because E$为$AD$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(AB+BD)=\frac{1}{2}×(40+16)=28(\mathrm{cm})$，
$\therefore CE=AE-AC=28-16=12(\mathrm{cm})$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 线段的和差运算
2. 线段中点的性质
3. 比例的应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，通过设参数的方程思想可以简化计算过程，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，结合中点性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.75

2. 如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，∠BOE=2∠EOC，∠AOD=$\frac{3}{4}$∠EOC，求∠AOD的度数.

2. 解:设$∠ EOC=4∠α$,则$∠ AOD=\frac{3}{4}∠ EOC=3∠α$,$∠ BOE=2∠ EOC=8∠α$.$\because OD$平分$∠ AOC$,$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD=6∠α$.$\because ∠ AOC+∠ EOC+∠ BOE=180°$,$\therefore 6∠α+4∠α+8∠α=180°$,解得$∠α=10°$.$\therefore ∠ AOD=3∠α=30°$.

【分析】
解题时先梳理题干中的角的数量关系：所有未知角均与∠EOC存在明确的数量关系，因此可通过设参数的方法简化运算：先将∠EOC设为含参数的角，方便表示出分数系数的∠AOD，再根据角平分线的定义推出∠AOC的表达式，最后利用平角度数为180°的性质，得到平角上所有角之和为180°的等量关系，列方程求出参数后即可计算出∠AOD的度数。
【解析】
解：设$∠ EOC=4∠α$，则根据题意可得：
$∠ AOD=\frac{3}{4}∠ EOC=3∠α$，$∠ BOE=2∠ EOC=8∠α$。
∵ OD平分$∠AOC$，根据角平分线的定义，
∴ $∠AOC=2∠AOD=2×3∠α=6∠α$。
∵ 点O在直线AB上，$∠AOB$是平角，度数为$180°$，
∴ $∠AOC+∠EOC+∠BOE=∠AOB=180°$，
代入得：$6∠α+4∠α+8∠α=180°$，
合并得$18∠α=180°$，解得$∠α=10°$。
∴ $∠AOD=3∠α=3×10°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，方程法解角度问题
【点评】
本题是角度运算的典型题型，核心考查方程思想在几何计算中的应用，解题关键是找到各角之间的数量关联，选择合适的量设为参数，结合角的相关性质建立等量关系求解，能有效提升几何问题的代数转化能力。
【难度系数】
0.7

3.已知线段$AB=2\ \mathrm{cm}$，延长线段$AB$到点$C$，使$BC=2AB$，$D$为线段$AB$的中点，求线段$DC$的长.

3. 解:如图所示:
$\because D$为$AB$的中点,$BC=2AB$,$\therefore DB=\frac{1}{2}AB=1(\mathrm{cm})$,$BC=4\ \mathrm{cm}$.$\therefore DC=DB+BC=5(\mathrm{cm})$.

【分析】
要求线段DC的长度，首先观察图形可发现DC是由DB和BC两段线段组成的，因此只需要分别求出DB、BC的长度，再求和即可得到DC的长。已知D是AB的中点，根据线段中点的定义可求出DB的长度；已知BC=2AB，结合给出的AB长度可直接算出BC的长度，最后将两段长度相加就得到所求的DC长度。
【解析】
如图所示:
$\because D$为$AB$的中点，$AB=2\ \mathrm{cm}$
$\therefore DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm})$
又$\because BC=2AB$
$\therefore BC=2×2=4\ \mathrm{cm}$
由线段和差关系可得：$DC=DB+BC$
代入数值计算得：$DC=1+4=5(\mathrm{cm})$
【答案】
如图所示:
$\because D$为$AB$的中点,$BC=2AB$,$\therefore DB=\frac{1}{2}AB=1(\mathrm{cm})$,$BC=4\ \mathrm{cm}$.$\therefore DC=DB+BC=5(\mathrm{cm})$.
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差运算
【点评】
本题是线段长度计算的基础题，解题关键是将待求线段拆分为若干段可求长度的线段之和，再结合已知条件和线段中点的性质计算即可，重点考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.9

4.已知OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线.若∠DOE=30°,求∠AOB的度数.

4. 解:图略.$\because OD$是$∠ AOC$的平分线,$OE$是$∠ BOC$的平分线,$\therefore ∠ AOC=2∠ COD$,$∠ BOC=2∠ COE$.$\therefore ∠ AOC+∠ BOC=2(∠ COD+∠ COE)$.$\therefore ∠ AOB=2∠ DOE=2×30°=60°$.

【分析】
首先从已知的角平分线条件出发，回忆角平分线的定义：角平分线可将一个角分成两个相等的角，因此能得到∠AOC和∠COD的倍数关系、∠BOC和∠COE的倍数关系。再观察待求的∠AOB，它是∠AOC与∠BOC的和，将前面的倍数关系代入后，可发现∠AOB恰好是∠COD与∠COE之和的2倍，而∠COD+∠COE就是已知的∠DOE，代入数值即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠AOC=2∠COD，∠BOC=2∠COE，
∴∠AOC + ∠BOC = 2(∠COD + ∠COE)，
又
∵∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，∠DOE = ∠COD + ∠COE，
∴∠AOB = 2∠DOE，
已知∠DOE=30°，代入得∠AOB=2×30°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角度运算的典型基础题，核心是利用角平分线的性质建立已知角和待求角之间的数量关系，解题时注意观察角之间的和差构成，就能快速找到解题路径。
【难度系数】
0.8