【例】如图，$∠ AOC=130°$，$∠ BOC=50°$，且$OD$平分$∠ AOB$，$OE$平分$∠ BOC$.
(1)求$∠ DOE$的度数.
(2)若将条件“$∠ BOC=50°$”删去，其余条件不变，则$∠ DOE$的度数是否会改变？请说明理由.

(1) $\because ∠ AOC=130°,∠ BOC=50°,\therefore ∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=130°-50°=80°$. $\because OD$平分$∠ AOB$,$OE$平分$∠ BOC$,$\therefore ∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$,$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$. $\therefore ∠ DOE=∠ DOB+∠ BOE=40°+25°=65°$.
(2) 不会变.理由如下:$\because OD$平分$∠ AOB$,$OE$平分$∠ BOC$,$\therefore ∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$,$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC$. $\because ∠ AOB+∠ BOC=∠ AOC$,$\therefore ∠ DOE=∠ DOB+∠ BOE=\frac{1}{2}∠ AOC=65°$.

【分析】
(1) 求解第一问时，首先利用已知的∠AOC和∠BOC的度数，通过角的差运算求出∠AOB的度数；再结合角平分线的定义，分别算出∠DOB和∠BOE的度数；最后将两个角相加即可得到∠DOE的度数。
(2) 求解第二问时，不需要单独计算各小角的度数，可利用整体代换思想：根据角平分线的定义，将∠DOE转化为$\frac{1}{2}$∠AOB与$\frac{1}{2}$∠BOC的和，提取公因式后可得∠DOE等于$\frac{1}{2}$∠AOC，因∠AOC是固定值，因此∠DOE的度数不变。
【解析】
(1) 已知$∠ AOC=130°$，$∠ BOC=50°$，
由角的和差关系得：$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=130°-50°=80°$，
∵$OD$平分$∠ AOB$，$OE$平分$∠ BOC$，
∴$∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$，$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
∴$∠ DOE=∠ DOB+∠ BOE=40°+25°=65°$。
(2) $∠ DOE$的度数不会改变，理由如下：
∵$OD$平分$∠ AOB$，$OE$平分$∠ BOC$，
∴$∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
∴$∠ DOE=∠ DOB+∠ BOE=\frac{1}{2}∠ AOB+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ BOC)$，
又
∵$∠ AOB+∠ BOC=∠ AOC=130°$，
∴$∠ DOE=\frac{1}{2}×130°=65°$，因此$∠ DOE$的度数不发生改变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{65°}$；
(2) 不会改变，$∠ DOE$恒为$65°$。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，整体代换思想
【点评】
本题是角度计算的常规题型，既考查了角平分线的基本性质和角的和差运算，也渗透了整体代换的数学思维，掌握共顶点双角平分线的夹角等于大角一半的结论，可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7

【拓展提问】 若OB在∠AOC的外部，其他条件不变，则∠DOE= 。

$65°$

【分析】
本题属于双角平分线模型的拓展题型，解题思路如下：首先回忆角平分线的定义，明确角平分线会把对应角分成两个相等的小角；再结合OB在∠AOC外部的位置关系，将待求的∠DOE拆分为两个带平分线的角的差；最后通过代换推导∠DOE与已知∠AOC的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
由原题已知条件得：$∠ AOC=130°$，OD平分$∠ AOB$，OE平分$∠ BOC$。
根据角平分线的定义可得：
$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB$
因为OB在∠AOC的外部，所以$∠ BOC - ∠ AOB = ∠ AOC$
则$∠ DOE = ∠ BOE - ∠ BOD$
$=\frac{1}{2}∠ BOC - \frac{1}{2}∠ AOB$
$=\frac{1}{2}(∠ BOC - ∠ AOB)$
$=\frac{1}{2}∠ AOC$
代入$∠ AOC=130°$，得$∠ DOE=\frac{1}{2}×130°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，双角平分线模型
【点评】
本题是双角平分线模型的典型变式题，解题关键是结合角的位置关系，利用角平分线的性质进行角的等量代换，无需逐个求解小角的度数，通过整体代换就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7

【变式1】 如图,已知OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.
(1)若∠AOB=70°,∠BOC=30°,则∠EOF=.
(2)若∠AOB=∠α,∠BOC=∠β,求∠EOF的度数.
(3)通过(1)(2)的计算,能发现什么?

(1) $35°$
(2) $\because OE$平分$∠ AOC$,$\therefore ∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC$. $\because OF$平分$∠ BOC$,$\therefore ∠ COF=\frac{1}{2}∠ BOC$. $\therefore ∠ EOF=∠ EOC-∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}∠ α$.
(3) 发现$∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB$,与$∠ BOC$的度数无关.

【分析】
解决本题的核心是运用角平分线的性质，结合角的和差关系推导计算：
1. 第(1)问：先根据已知角的度数求出∠AOC的大小，再利用角平分线的定义分别求出∠EOC和∠COF的度数，二者的差就是∠EOF的度数。
2. 第(2)问：将具体的角度替换为字母，沿用第(1)问的推导逻辑，对式子化简即可得到∠EOF的表达式。
3. 第(3)问：对比(1)(2)的计算结果，归纳出∠EOF和已知角的固定数量关系即可。
【解析】
(1) 由题意得，$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 70° + 30° = 100°$。
因为OE平分$∠ AOC$，所以$∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
因为OF平分$∠ BOC$，所以$∠ COF = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 30° = 15°$。
因此$∠ EOF = ∠ EOC - ∠ COF = 50° - 15° = 35°$。
(2) $\because OE$平分$∠ AOC$，$\therefore ∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC$。
$\because OF$平分$∠ BOC$，$\therefore ∠ COF=\frac{1}{2}∠ BOC$。
$\therefore ∠ EOF=∠ EOC-∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}∠ α$。
(3) 观察(1)(2)的计算结果可发现：$∠ EOF$的大小始终等于$∠ AOB$的一半，和$∠ BOC$的度数无关。
【答案】
(1) $35°$
(2) $\frac{1}{2}∠ α$
(3) $∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB$，与$∠ BOC$的度数无关
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是双角平分线模型的典型习题，通过从特殊值到一般式的推导，可总结出固定的角度规律，掌握该规律能大幅提升同类角度计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.7

【变式2】 如图，$∠ AOB=80°$，$∠ AOC＜180°$，$OE$ 平分 $∠ AOD$，$OF$ 平分 $∠ BOC$。若 $∠ COD=50°$，求 $∠ EOF$ 的度数。

$\because OE$平分$∠ AOD$,$OF$平分$∠ BOC$,$\therefore ∠ AOE=∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOD$,$∠ BOF=∠ FOC=\frac{1}{2}∠ BOC$. $\therefore ∠ EOF=∠ EOD+∠ BOF-∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOD+\frac{1}{2}∠ BOC-∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOD+∠ BOC)-∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD+2∠ BOD)-∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)=\frac{1}{2}×(80°+50°)=65°$.

【分析】
解题时先结合已知的角平分线条件，利用角平分线的定义得到相等的角；再将待求的∠EOF拆分为和已知角相关的角的和差形式，通过代数式变形消去中间未知的角，最后代入已知角度计算即可。具体思考路径：首先根据角平分线性质写出∠EOD、∠BOF和对应大角的数量关系；再将∠EOF表示为∠EOD+∠BOF-∠BOD；之后把∠AOD拆为∠AOB+∠BOD，∠BOC拆为∠COD+∠BOD代入式子，化简后即可消去未知的∠BOD，直接用已知的∠AOB和∠COD计算结果。
【解析】
∵ OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，
∴ $∠ AOE=∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOD$，$∠ BOF=∠ FOC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
∴ $∠ EOF=∠ EOD+∠ BOF-∠ BOD$
$=\frac{1}{2}∠ AOD+\frac{1}{2}∠ BOC-∠ BOD$
$=\frac{1}{2}(∠ AOD+∠ BOC)-∠ BOD$
又
∵ $∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD$，$∠ BOC=∠ COD+∠ BOD$，
代入得：
原式$=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ BOD+∠ COD+∠ BOD)-∠ BOD$
$=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD+2∠ BOD)-∠ BOD$
$=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)+∠ BOD-∠ BOD$
$=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$
将$∠ AOB=80°$，$∠ COD=50°$代入，
得$∠ EOF=\frac{1}{2}×(80°+50°)=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是双角平分线求角度的典型题型，解题核心是利用角平分线定义转化角的数量关系，通过代数式化简消去未知的中间角，无需计算中间角的具体度数即可快速求解，解题时要注意梳理图形中各角的组成关系，避免漏算或错算角的和差。
【难度系数】
0.6