登录
5.如图，C为线段AB上的一点，D为线段BC的中点，点C把线段AD分成两个部分，其中AC:CD=4:1，且AB=12.
(1)求线段AC的长.
(2)若点E在线段AB所在的直线上，且AE=3，求线段DE的长.
(1)求线段AC的长.
(2)若点E在线段AB所在的直线上，且AE=3，求线段DE的长.
答案
5. 解:(1)$\because D$为$BC$的中点,$\therefore BC=2CD=2BD$.$\because AC:CD=4:1$,$\therefore AC=4CD$.$\therefore AB=AC+BC=4CD+2CD=12$,解得$CD=2$.$\therefore AC=4CD=4×2=8$.
(2)①如图1,当点$E$在线段$AB$上时,
$DE=AB-AE-DB=12-3-2=7$;②如图2,当点$E$在线段$BA$的延长线上,
$DE=AB+AE-BD=12+3-2=13$.综上所述,线段$DE$的长为7或13.
解析
【分析】
(1) 求解AC的长度时，先利用D是BC中点的性质得到BC=2CD，再结合AC:CD=4:1的比例关系，将AB的长度用含CD的式子表示，代入AB=12即可先求出CD的长度，进而求出AC的长。
(2) 求解DE的长度时，注意点E在直线AB上，位置不唯一，有两种情况：E在线段AB上，或E在线段BA的延长线上，分别结合线段的和差关系计算两种情况下DE的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵ D为线段BC的中点，
∴ BC=2CD=2BD。
∵ AC:CD=4:1，
∴ AC=4CD。
∴ AB=AC+BC=4CD+2CD=6CD，又已知AB=12，
∴ 6CD=12，解得CD=2，
∴ AC=4CD=4×2=8。
(2) 点E在直线AB上，分两种情况讨论：
① 当点E在线段AB上时，
DE=AB-AE-DB=12-3-2=7；
② 当点E在线段BA的延长线上时，
DE=AB+AE-BD=12+3-2=13。
综上所述，线段DE的长为7或13。
【答案】
(1) AC的长为8；
(2) ①如图1,当点E在线段AB上时,
DE=AB-AE-DB=12-3-2=7;②如图2,当点E在线段BA的延长线上,
DE=AB+AE-BD=12+3-2=13.综上所述,线段DE的长为7或13。
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题侧重考察线段的基础运算，解题关键是利用中点性质转化线段的数量关系，遇到点在直线上的条件时，要考虑到点的位置存在多种可能性，分类讨论是本题的易错点，需要多加注意。
【难度系数】
0.7
(1) 求解AC的长度时，先利用D是BC中点的性质得到BC=2CD，再结合AC:CD=4:1的比例关系，将AB的长度用含CD的式子表示，代入AB=12即可先求出CD的长度，进而求出AC的长。
(2) 求解DE的长度时，注意点E在直线AB上，位置不唯一，有两种情况：E在线段AB上，或E在线段BA的延长线上，分别结合线段的和差关系计算两种情况下DE的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵ D为线段BC的中点，
∴ BC=2CD=2BD。
∵ AC:CD=4:1，
∴ AC=4CD。
∴ AB=AC+BC=4CD+2CD=6CD，又已知AB=12，
∴ 6CD=12，解得CD=2，
∴ AC=4CD=4×2=8。
(2) 点E在直线AB上，分两种情况讨论：
① 当点E在线段AB上时，
DE=AB-AE-DB=12-3-2=7；
② 当点E在线段BA的延长线上时，
DE=AB+AE-BD=12+3-2=13。
综上所述，线段DE的长为7或13。
【答案】
(1) AC的长为8；
(2) ①如图1,当点E在线段AB上时,
DE=AB-AE-DB=12-3-2=7;②如图2,当点E在线段BA的延长线上,
DE=AB+AE-BD=12+3-2=13.综上所述,线段DE的长为7或13。
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题侧重考察线段的基础运算，解题关键是利用中点性质转化线段的数量关系，遇到点在直线上的条件时，要考虑到点的位置存在多种可能性，分类讨论是本题的易错点，需要多加注意。
【难度系数】
0.7
6. 已知∠AOB,过点O引两条射线OC,OM,且OM平分∠AOC.
(1)如图,若∠AOB=120°,∠BOC=30°,且点C在∠AOB的内部,求∠MOB的度数.
以下是求∠MOB的度数的解题过程,请补充完整:
解: ∵ ∠AOB = 120°,
∠BOC=30°,
∴ ∠AOC = ∠AOB − ∠BOC=120°−30°=90°.
∵OM平分∠AOC,
∴∠MOC=1/2
∵∠MOB=∠MOC+
∴∠MOB=
(2)若∠AOB=∠α,∠BOC=∠β(其中∠α＜∠β＜90°),画出图形,并求∠BOM的度数(用含α,β的代数式表示).
(1)如图,若∠AOB=120°,∠BOC=30°,且点C在∠AOB的内部,求∠MOB的度数.
以下是求∠MOB的度数的解题过程,请补充完整:
解: ∵ ∠AOB = 120°,
∠BOC=30°,
∴ ∠AOC = ∠AOB − ∠BOC=120°−30°=90°.
∵OM平分∠AOC,
∴∠MOC=1/2
∠AOC
= 45
°.∵∠MOB=∠MOC+
∠BOC
,∴∠MOB=
75
°.(2)若∠AOB=∠α,∠BOC=∠β(其中∠α＜∠β＜90°),画出图形,并求∠BOM的度数(用含α,β的代数式表示).
答案
6. 解:(1)$∠ AOC$ 45 $∠ BOC$ 75
(2)分两种情况讨论:
①当射线$OC$、射线$OA$在射线$OB$的同侧时,如图1所示.
$\because ∠ AOB=∠α$,$∠ BOC=∠β$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOC-∠ AOB=∠β-∠α$.$\because OM$平分$∠ AOC$,$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{∠β-∠α}{2}$.$\therefore ∠ BOM=∠ AOB+∠ AOM=∠α+\frac{∠β-∠α}{2}=\frac{∠α+∠β}{2}$.
②当射线$OC$、射线$OA$在射线$OB$的异侧时,如图2所示.
$\because ∠ AOB=∠α$,$∠ BOC=∠β$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=∠α+∠β$.$\because OM$平分$∠ AOC$,$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{∠α+∠β}{2}$.$\therefore ∠ BOM=∠ AOM-∠ AOB=\frac{∠α+∠β}{2}-∠α=\frac{∠β-∠α}{2}$.综上所述,$∠ BOM$的度数为$\frac{∠α+∠β}{2}$或$\frac{∠β-∠α}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先根据已知的∠AOB和∠BOC的度数，利用角的和差关系求出∠AOC的度数；再结合OM是∠AOC的角平分线，得到∠MOC的度数；最后观察图形可知∠MOB由∠MOC和∠BOC组成，相加即可得到结果。
(2) 第二问中没有明确射线OC的位置，已知∠α＜∠β，需要分两种情况讨论：①射线OC与OA在OB的同侧，先求出∠AOC，利用角平分线得到∠AOM，再通过角的和差求∠BOM；②射线OC与OA在OB的异侧，同样先求∠AOC，结合角平分线性质，再通过角的和差计算∠BOM即可。
【解析】
(1) 已知∠AOB=120°，∠BOC=30°，且点C在∠AOB内部：
首先计算∠AOC：$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 120° - 30° = 90°$
因为OM平分∠AOC，根据角平分线的定义，$∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
观察图形可得$∠ MOB = ∠ MOC + ∠ BOC$，代入数值计算得$∠ MOB = 45° + 30° = 75°$
(2) 由于射线OC的位置不确定，分两种情况讨论：
① 当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时：
$\because ∠ AOB=∠ α$，$∠ BOC=∠ β$
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC - ∠ AOB = ∠ β - ∠ α$
$\because OM$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ AOM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{∠ β - ∠ α}{2}$
$\therefore ∠ BOM = ∠ AOB + ∠ AOM = ∠ α + \frac{∠ β - ∠ α}{2} = \frac{∠ α + ∠ β}{2}$
② 当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时：
$\because ∠ AOB=∠ α$，$∠ BOC=∠ β$
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC + ∠ AOB = ∠ α + ∠ β$
$\because OM$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ AOM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{∠ α + ∠ β}{2}$
$\therefore ∠ BOM = ∠ AOM - ∠ AOB = \frac{∠ α + ∠ β}{2} - ∠ α = \frac{∠ β - ∠ α}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOC}$，$\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{∠BOC}$，$\boldsymbol{75}$
(2) 分两种情况：
①当射线$OC$、射线$OA$在射线$OB$的同侧时，如图1所示.
$\because ∠ AOB=∠α$,$∠ BOC=∠β$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOC-∠ AOB=∠β-∠α$.$\because OM$平分$∠ AOC$,$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{∠β-∠α}{2}$.$\therefore ∠ BOM=∠ AOB+∠ AOM=∠α+\frac{∠β-∠α}{2}=\frac{∠α+∠β}{2}$.
②当射线$OC$、射线$OA$在射线$OB$的异侧时，如图2所示.
$\because ∠ AOB=∠α$,$∠ BOC=∠β$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=∠α+∠β$.$\because OM$平分$∠ AOC$,$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{∠α+∠β}{2}$.$\therefore ∠ BOM=∠ AOM-∠ AOB=\frac{∠α+∠β}{2}-∠α=\frac{∠β-∠α}{2}$.
综上所述,$∠ BOM$的度数为$\frac{∠α+∠β}{2}$或$\frac{∠β-∠α}{2}$.
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题基础问考察角度的和差计算与角平分线性质的直接应用，拓展问需要根据射线的位置不确定性进行分类讨论，解题时要注意结合图形分析角的组成关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先根据已知的∠AOB和∠BOC的度数，利用角的和差关系求出∠AOC的度数；再结合OM是∠AOC的角平分线，得到∠MOC的度数；最后观察图形可知∠MOB由∠MOC和∠BOC组成，相加即可得到结果。
(2) 第二问中没有明确射线OC的位置，已知∠α＜∠β，需要分两种情况讨论：①射线OC与OA在OB的同侧，先求出∠AOC，利用角平分线得到∠AOM，再通过角的和差求∠BOM；②射线OC与OA在OB的异侧，同样先求∠AOC，结合角平分线性质，再通过角的和差计算∠BOM即可。
【解析】
(1) 已知∠AOB=120°，∠BOC=30°，且点C在∠AOB内部：
首先计算∠AOC：$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 120° - 30° = 90°$
因为OM平分∠AOC，根据角平分线的定义，$∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
观察图形可得$∠ MOB = ∠ MOC + ∠ BOC$，代入数值计算得$∠ MOB = 45° + 30° = 75°$
(2) 由于射线OC的位置不确定，分两种情况讨论：
① 当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时：
$\because ∠ AOB=∠ α$，$∠ BOC=∠ β$
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC - ∠ AOB = ∠ β - ∠ α$
$\because OM$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ AOM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{∠ β - ∠ α}{2}$
$\therefore ∠ BOM = ∠ AOB + ∠ AOM = ∠ α + \frac{∠ β - ∠ α}{2} = \frac{∠ α + ∠ β}{2}$
② 当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时：
$\because ∠ AOB=∠ α$，$∠ BOC=∠ β$
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC + ∠ AOB = ∠ α + ∠ β$
$\because OM$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ AOM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{∠ α + ∠ β}{2}$
$\therefore ∠ BOM = ∠ AOM - ∠ AOB = \frac{∠ α + ∠ β}{2} - ∠ α = \frac{∠ β - ∠ α}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOC}$，$\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{∠BOC}$，$\boldsymbol{75}$
(2) 分两种情况：
①当射线$OC$、射线$OA$在射线$OB$的同侧时，如图1所示.
$\because ∠ AOB=∠α$,$∠ BOC=∠β$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOC-∠ AOB=∠β-∠α$.$\because OM$平分$∠ AOC$,$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{∠β-∠α}{2}$.$\therefore ∠ BOM=∠ AOB+∠ AOM=∠α+\frac{∠β-∠α}{2}=\frac{∠α+∠β}{2}$.
②当射线$OC$、射线$OA$在射线$OB$的异侧时，如图2所示.
$\because ∠ AOB=∠α$,$∠ BOC=∠β$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=∠α+∠β$.$\because OM$平分$∠ AOC$,$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{∠α+∠β}{2}$.$\therefore ∠ BOM=∠ AOM-∠ AOB=\frac{∠α+∠β}{2}-∠α=\frac{∠β-∠α}{2}$.
综上所述,$∠ BOM$的度数为$\frac{∠α+∠β}{2}$或$\frac{∠β-∠α}{2}$.
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题基础问考察角度的和差计算与角平分线性质的直接应用，拓展问需要根据射线的位置不确定性进行分类讨论，解题时要注意结合图形分析角的组成关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7. 将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得$∠ A'EB' = 40°$，其中EF，EG为折痕，则$∠ FEG$的度数为（
A.$40°$
B.$70°$
C.$100°$
D.$110°$
D
）A.$40°$
B.$70°$
C.$100°$
D.$110°$
答案
7. D
解析
【分析】
这是折叠类角度计算问题，解题核心利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，折痕为对应角的角平分线。首先明确平角∠AEB为180°，已知∠A'EB'=40°，先求出∠AEA'与∠BEB'的度数和，再根据折叠性质得出∠A'EF是∠AEA'的一半、∠B'EG是∠BEB'的一半，求出两角之和后，加上中间∠A'EB'的度数即可得到∠FEG的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得：EF平分∠AEA'，EG平分∠BEB'，
∴ $∠ AEF = ∠ A'EF$，$∠ BEG = ∠ B'EG$，
∵ 点A、E、B共线，$∠ AEB = 180°$，
∴ $∠ AEF + ∠ A'EF + ∠ A'EB' + ∠ B'EG + ∠ BEG = 180°$，
将$∠ A'EB' = 40°$代入上式得：
$2∠ A'EF + 40° + 2∠ B'EG = 180°$，
整理得：$∠ A'EF + ∠ B'EG = \frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴ $∠ FEG = ∠ A'EF + ∠ A'EB' + ∠ B'EG = 70° + 40° = 110°$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度运算
【点评】
本题是角度运算的常见题型，解题关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征梳理各角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
这是折叠类角度计算问题，解题核心利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，折痕为对应角的角平分线。首先明确平角∠AEB为180°，已知∠A'EB'=40°，先求出∠AEA'与∠BEB'的度数和，再根据折叠性质得出∠A'EF是∠AEA'的一半、∠B'EG是∠BEB'的一半，求出两角之和后，加上中间∠A'EB'的度数即可得到∠FEG的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得：EF平分∠AEA'，EG平分∠BEB'，
∴ $∠ AEF = ∠ A'EF$，$∠ BEG = ∠ B'EG$，
∵ 点A、E、B共线，$∠ AEB = 180°$，
∴ $∠ AEF + ∠ A'EF + ∠ A'EB' + ∠ B'EG + ∠ BEG = 180°$，
将$∠ A'EB' = 40°$代入上式得：
$2∠ A'EF + 40° + 2∠ B'EG = 180°$，
整理得：$∠ A'EF + ∠ B'EG = \frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴ $∠ FEG = ∠ A'EF + ∠ A'EB' + ∠ B'EG = 70° + 40° = 110°$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度运算
【点评】
本题是角度运算的常见题型，解题关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征梳理各角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
