8. 综合与探究
【初步探究】
(1)如图1,已知线段$AB=16$,$C,D$为线段$AB$上的两个动点,且$CD=4$,$M,N$分别是$AC$和$BD$的中点,求线段$MN$的长.
【类比探究】
(2)如图2,直角$∠COD$与平角$∠AOB$按如图所示的方式摆放在一起,且$OM$和$ON$分别是$∠AOC$,$∠BOD$的平分线,求$∠MON$的度数.
【知识迁移】
(3)当$∠AOB=∠α$,$∠COD=∠β$时,按如图3所示的方式摆放在一起,且$OM$和$ON$分别是$∠AOC$,$∠BOD$的平分线,求$∠MON$的度数.(用含$α,β$的代数式表示,且$0°＜∠α＜180°$,$0°＜∠β＜180°$)

8. 解:(1)$\because AB=16,CD=4,\therefore AC+BD=AB-CD=16-4=12$.$\because M,N$分别是$AC$和$BD$的中点,$\therefore MC=\frac{1}{2}AC$,$DN=\frac{1}{2}BD$.$\therefore MC+DN=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×12=6$.$\therefore MN=MC+CD+DN=6+4=10$.
(2)$\because ∠ AOB=180°,∠ COD=90°,\therefore ∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB-∠ COD=180°-90°=90°$.$\because OM$和$ON$分别是$∠ AOC$,$∠ BOD$的平分线,$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC$,$∠ DON=\frac{1}{2}∠ BOD$.$\therefore ∠ MOC+∠ DON=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOD)=\frac{1}{2}×90°=45°$.$\therefore ∠ MON=∠ MOC+∠ COD+∠ DON=90°+45°=135°$.
(3)$\because OM$和$ON$分别是$∠ AOC$,$∠ BOD$的平分线,$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC$,$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOD$.$\therefore ∠ MON=∠ MOC+∠ COB+∠ BON=\frac{1}{2}∠ AOC+∠ COB+\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOC+2∠ COB+∠ BOD)=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)=\frac{1}{2}(∠α+∠β)$.

【分析】
(1) 求解线段MN的长度时，可先将MN拆分为MC、CD、DN三部分的和，已知CD的长度，只需计算MC+DN的值即可。首先利用线段和差关系求出AC+BD的长度，再结合线段中点的性质，可得MC是AC的一半、DN是BD的一半，即可求出MC+DN的长度，最后加上CD的长度就能得到MN的长度。
(2) 角度计算与线段计算思路类比，将∠MON拆分为∠MOC、∠COD、∠DON三部分的和，已知∠COD的度数，先利用角的和差关系求出∠AOC+∠BOD的度数，再结合角平分线的性质，可得∠MOC是∠AOC的一半、∠DON是∠BOD的一半，即可求出∠MOC+∠DON的度数，最后加上∠COD的度数就能得到∠MON的度数。
(3) 推广到一般角度时，依旧沿用上述思路，利用角平分线性质拆分∠MON，再对式子变形整理，结合已知的∠AOB=α、∠COD=β，即可推导得到通用表达式。
【解析】
(1) 已知$AB=16$，$CD=4$，根据线段和差关系可得：
$AC+BD=AB-CD=16-4=12$
∵$M,N$分别是$AC$和$BD$的中点，根据线段中点定义：
$MC=\frac{1}{2}AC$，$DN=\frac{1}{2}BD$
∴$MC+DN=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×12=6$
∴$MN=MC+CD+DN=6+4=10$
(2) 已知$∠AOB=180°$，$∠COD=90°$，根据角的和差关系可得：
$∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=180°-90°=90°$
∵$OM$和$ON$分别是$∠AOC$、$∠BOD$的平分线，根据角平分线定义：
$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠DON=\frac{1}{2}∠BOD$
∴$∠MOC+∠DON=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)=\frac{1}{2}×90°=45°$
∴$∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=45°+90°=135°$
(3)
∵$OM$和$ON$分别是$∠AOC$、$∠BOD$的平分线，根据角平分线定义：
$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠BON=\frac{1}{2}∠BOD$
∴$∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON$
$=\frac{1}{2}∠AOC+∠COB+\frac{1}{2}∠BOD$
$=\frac{1}{2}(∠AOC+2∠COB+∠BOD)$
$=\frac{1}{2}[(∠AOC+∠COB)+(∠BOD+∠COB)]$
$=\frac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$
代入$∠AOB=∠α$，$∠COD=∠β$，得$∠MON=\frac{1}{2}(∠α+∠β)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) $\boldsymbol{135°}$；(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}(∠α+∠β)}$
【知识点】
线段中点定义；角平分线定义；线段与角的和差运算
【点评】
本题属于类比探究类题型，从特殊线段运算类比到角度运算，再从特殊角度推广到一般角度，体现了从特殊到一般的数学思想，解题核心是熟练掌握中点、角平分线的性质，灵活运用和差关系拆分所求的线段或角。
【难度系数】
0.7

9.已知O是直线AB上的一点，∠COD=90°，OE是∠BOD的平分线。

(1)如图1，当点C，D，E在直线AB的同侧时。
①若∠COE=35°，求∠AOD的度数。
②若∠COE=∠α，则∠AOD=。（用含α的式子表示）
(2)如图2，当点C与点D，E在直线AB的两侧时，(1)中②的结论是否仍然成立？请给出结论并说明理由。

9. 解:(1)①$\because ∠ COD=90°,∠ COE=35°,\therefore ∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-35°=55°$.$\because OE$平分$∠ BOD$,$\therefore ∠ BOD=2∠ DOE=2×55°=110°$.$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-110°=70°$.
②$2∠α$
(2)成立.理由如下:当点$C$与点$D,E$在直线$AB$的两侧时,$\because ∠ COE=∠α$,$∠ COD=90°$,$\therefore ∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-∠α$.$\because OE$平分$∠ BOD$,$\therefore ∠ BOD=2∠ DOE=2(90°-∠α)=180°-2∠α$.$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-(180°-2∠α)=2∠α$.

【分析】
本题考查角度的相关计算，解题思路如下：
(1)①首先利用∠COD=90°和已知的∠COE度数，先求出∠DOE的度数；再根据OE是∠BOD的平分线，得到∠BOD=2∠DOE；最后根据平角∠AOB=180°，用180°减去∠BOD即可得到∠AOD的度数。
②把①中的∠COE=35°替换为∠α，按照①的推导逻辑，即可用含α的式子表示出∠AOD。
(2)判断结论是否成立时，虽然点C的位置变了，但∠COD=90°、OE平分∠BOD、∠AOB是平角这些条件不变，依旧按照前面的推导逻辑，计算∠AOD的表达式，验证是否和(1)②的结论一致即可。
【解析】
(1)①$\because ∠ COD=90°,∠ COE=35°,\therefore ∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-35°=55°$
$\because OE$平分$∠ BOD$,$\therefore ∠ BOD=2∠ DOE=2×55°=110°$
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-110°=70°$
②已知$∠ COE=∠α$，$∠ COD=90°$
则$∠ DOE=90°-∠α$
$\because OE$平分$∠ BOD$
$\therefore ∠ BOD=2∠ DOE=2(90°-∠α)=180°-2∠α$
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-(180°-2∠α)=2∠α$
(2)结论仍然成立，理由如下：
$\because ∠ COE=∠α$,$∠ COD=90°$
$\therefore ∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-∠α$
$\because OE$平分$∠ BOD$
$\therefore ∠ BOD=2∠ DOE=2(90°-∠α)=180°-2∠α$
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-(180°-2∠α)=2∠α$
【答案】
(1)①$70°$；②$2∠α$
(2)成立，理由见解析
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角度和差运算
【点评】
本题是角度运算的典型题型，解题核心是抓住不变的已知条件（直角、角平分线、平角），按照角度的和差关系逐步推导，即使图形位置发生变化，只要核心数量关系不变，推导逻辑也基本一致，有助于提升对图形变换中不变量的分析能力。
【难度系数】
0.7