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例 一次铅球训练中，某运动员掷出的铅球运动路线呈抛物线形. 铅球运动的高度$y$(单位：$\mathrm{m}$)与水平距离$x$(单位：$\mathrm{m}$)之间的关系式为$y=-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}$，运动路线如图所示.
(1)求铅球推出的水平距离；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到$4\ \mathrm{m}$.
归纳总结
应用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题的一般步骤：(1)将已知函数值代入二次函数解析式，得到关于自变量的一元二次方程；(2)解此一元二次方程便求出数学问题的解；(3)把不合实际意义的解舍去，得到实际问题的解.
(1)求铅球推出的水平距离；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到$4\ \mathrm{m}$.
归纳总结
应用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题的一般步骤：(1)将已知函数值代入二次函数解析式，得到关于自变量的一元二次方程；(2)解此一元二次方程便求出数学问题的解；(3)把不合实际意义的解舍去，得到实际问题的解.
答案
(1)$y$与$x$之间的关系式为$y=-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}$，令$y=0$，得$-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}=0$，解得$x_1=12$，$x_2=-2$(舍去).
$\therefore$铅球推出的水平距离为12 m.
(2)不能. 令$y=4$，得$-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}=4$，化简后为$x^2 -10x +36=0$，此时$\Delta=b^2-4ac=100-144=-44＜0$，$\therefore$原方程无实数根. $\therefore$铅球行进高度不能达到4 m.
$\therefore$铅球推出的水平距离为12 m.
(2)不能. 令$y=4$，得$-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}=4$，化简后为$x^2 -10x +36=0$，此时$\Delta=b^2-4ac=100-144=-44＜0$，$\therefore$原方程无实数根. $\therefore$铅球行进高度不能达到4 m.
解析
【分析】
(1)铅球推出的水平距离是铅球落地时对应的水平距离，此时铅球高度$y=0$，只需将$y=0$代入二次函数解析式，得到关于$x$的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到所求水平距离。
(2)要判断铅球行进高度能否达到4m，可将$y=4$代入解析式得到关于$x$的一元二次方程，通过判断方程是否有实数根得出结论：若方程有实根则能达到，若无实根则不能达到。
【解析】
(1)将$y=0$代入$y=-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}$，可得：
$-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}=0$
两边同时乘15消去分母，整理得$x^2-10x-24=0$
因式分解得$(x-12)(x+2)=0$，解得$x_1=12$，$x_2=-2$
由于水平距离不能为负，舍去$x=-2$，因此铅球推出的水平距离为12m。
(2)将$y=4$代入解析式，可得：
$-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}=4$
两边同时乘15消去分母，整理得$x^2-10x+36=0$
计算根的判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-10)^2-4×1×36=100-144=-44＜0$
可知该一元二次方程无实数根，因此铅球行进高度不能达到4m。
【答案】
(1)12 m；(2)不能
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程的解法，根的判别式
【点评】
本题结合运动场景考查二次函数与一元二次方程的关联，解题核心是将实际问题转化为方程求解问题，同时要注意结合实际场景舍去不符合逻辑的解，对学生的知识迁移应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
(1)铅球推出的水平距离是铅球落地时对应的水平距离，此时铅球高度$y=0$，只需将$y=0$代入二次函数解析式，得到关于$x$的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到所求水平距离。
(2)要判断铅球行进高度能否达到4m，可将$y=4$代入解析式得到关于$x$的一元二次方程，通过判断方程是否有实数根得出结论：若方程有实根则能达到，若无实根则不能达到。
【解析】
(1)将$y=0$代入$y=-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}$，可得：
$-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}=0$
两边同时乘15消去分母，整理得$x^2-10x-24=0$
因式分解得$(x-12)(x+2)=0$，解得$x_1=12$，$x_2=-2$
由于水平距离不能为负，舍去$x=-2$，因此铅球推出的水平距离为12m。
(2)将$y=4$代入解析式，可得：
$-\frac{1}{15}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{5}=4$
两边同时乘15消去分母，整理得$x^2-10x+36=0$
计算根的判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-10)^2-4×1×36=100-144=-44＜0$
可知该一元二次方程无实数根，因此铅球行进高度不能达到4m。
【答案】
(1)12 m；(2)不能
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程的解法，根的判别式
【点评】
本题结合运动场景考查二次函数与一元二次方程的关联，解题核心是将实际问题转化为方程求解问题，同时要注意结合实际场景舍去不符合逻辑的解，对学生的知识迁移应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
如图，在一次高尔夫球的练习中，运动选手在原点O处击球，球的飞行路线满足抛物线$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x$，其中y表示球飞行的高度（单位：m），x表示球飞行的水平距离（单位：m），结果球的落地点离球洞2 m（击球点、落地点、球洞三点共线）.
(1)求击球点O与球洞的距离；
(2)当球的飞行高度为3 m时，求球飞行的水平距离.
(1)求击球点O与球洞的距离；
(2)当球的飞行高度为3 m时，求球飞行的水平距离.
答案
(1)击球点O与球洞的距离为10 m.
(2)球飞行的水平距离为3 m或5 m.
(2)球飞行的水平距离为3 m或5 m.
解析
【分析】
(1) 求击球点O与球洞的距离，首先要确定球落地点的水平距离：球落地时飞行高度$ y=0 $，将$ y=0 $代入抛物线解析式，求解得到的正根就是落地点到O点的水平距离，再结合落地点距离球洞2m的条件，相加即可得到总距离。
(2) 求飞行高度为3m时的水平距离，直接将$ y=3 $代入抛物线解析式，求解对应的一元二次方程，得到的正根就是符合实际的水平距离。
【解析】
(1) 球落地时高度为0，将$ y=0 $代入$ y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x $，可得：
$ -\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=0 $
两边同乘5化简得：$ x^2-8x=0 $
因式分解得：$ x(x-8)=0 $
解得$ x_1=0 $（为击球点，舍去），$ x_2=8 $，即落地点距离O点8m。
已知落地点离球洞2m，因此击球点O与球洞的距离为$ 8+2=10(m) $。
(2) 当飞行高度$ y=3m $时，代入解析式得：
$ -\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=3 $
两边同乘5化简得：$ x^2-8x+15=0 $
因式分解得：$ (x-3)(x-5)=0 $
解得$ x_1=3 $，$ x_2=5 $，均符合实际飞行场景。
即此时球飞行的水平距离为3m或5m。
【答案】
(1) 10 m
(2) 3 m或5 m
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数与一元二次方程、解一元二次方程
【点评】
本题结合运动场景考查二次函数的实际应用，解题关键是将实际问题中的高度条件转化为二次函数的函数值，通过求解一元二次方程得到对应水平距离，解题时需注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.8
(1) 求击球点O与球洞的距离，首先要确定球落地点的水平距离：球落地时飞行高度$ y=0 $，将$ y=0 $代入抛物线解析式，求解得到的正根就是落地点到O点的水平距离，再结合落地点距离球洞2m的条件，相加即可得到总距离。
(2) 求飞行高度为3m时的水平距离，直接将$ y=3 $代入抛物线解析式，求解对应的一元二次方程，得到的正根就是符合实际的水平距离。
【解析】
(1) 球落地时高度为0，将$ y=0 $代入$ y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x $，可得：
$ -\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=0 $
两边同乘5化简得：$ x^2-8x=0 $
因式分解得：$ x(x-8)=0 $
解得$ x_1=0 $（为击球点，舍去），$ x_2=8 $，即落地点距离O点8m。
已知落地点离球洞2m，因此击球点O与球洞的距离为$ 8+2=10(m) $。
(2) 当飞行高度$ y=3m $时，代入解析式得：
$ -\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=3 $
两边同乘5化简得：$ x^2-8x+15=0 $
因式分解得：$ (x-3)(x-5)=0 $
解得$ x_1=3 $，$ x_2=5 $，均符合实际飞行场景。
即此时球飞行的水平距离为3m或5m。
【答案】
(1) 10 m
(2) 3 m或5 m
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数与一元二次方程、解一元二次方程
【点评】
本题结合运动场景考查二次函数的实际应用，解题关键是将实际问题中的高度条件转化为二次函数的函数值，通过求解一元二次方程得到对应水平距离，解题时需注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.8
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
二次函数与一元二次方程的关系
抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴公共点的横坐标是一元二次方程
抛物线与$x$轴的公共点个数与一元二次方程的根的情况之间的关系
抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的公共点个数
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况
$\Delta$
有
有两个不相等的实数根
$\Delta$
有
有两个相等的实数根
$\Delta$
没有实数根
$\Delta$
请根据本课所学，构建知识体系。
二次函数与一元二次方程的关系
抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴公共点的横坐标是一元二次方程
$ax^2+bx+c=0$
的根抛物线与$x$轴的公共点个数与一元二次方程的根的情况之间的关系
抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的公共点个数
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况
$\Delta$
有
两个
公共点有两个不相等的实数根
$\Delta$
＞
0有
一个
公共点有两个相等的实数根
$\Delta$
=
0没有
公共点没有实数根
$\Delta$
＜
0答案
$ax^2+bx+c=0$ 两个 $＞$ 一个 $=$ 没有 $＜$
解析
【分析】
解题时先明确x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标均为0，因此求抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴公共点的横坐标时，只需令$y=0$，即可得到对应的一元二次方程，公共点的横坐标就是该方程的根。再结合一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值和根的对应关系，就能匹配抛物线与x轴公共点的个数：$\Delta＞0$对应方程有两个不等实根，即抛物线和x轴有2个公共点；$\Delta=0$对应方程有两个相等实根，即抛物线和x轴只有1个公共点；$\Delta＜0$对应方程无实根，即抛物线和x轴没有公共点，按这个逻辑逐一填空即可。
【解析】
1. 令抛物线解析式中$y=0$，可得方程$ax^2+bx+c=0$，因此抛物线与x轴公共点的横坐标就是该方程的根，第一个空填$ax^2+bx+c=0$；
2. 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta＞0$，对应抛物线与x轴有两个公共点，因此第二空填“两个”，第三空填“＞”；
3. 当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=0$，对应抛物线与x轴有一个公共点，因此第四空填“一个”，第五空填“=”；
4. 当一元二次方程没有实数根时，判别式$\Delta＜0$，对应抛物线与x轴没有公共点，因此第六空填“没有”，第七空填“＜”。
【答案】
$ax^2+bx+c=0$ 两个 $＞$ 一个 $=$ 没有 $＜$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础概念考查题，所涉及的对应关系是二次函数章节的核心基础内容，熟练掌握该规律可以为后续解决二次函数交点、二次不等式等相关问题提供支撑。
【难度系数】
0.9
解题时先明确x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标均为0，因此求抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴公共点的横坐标时，只需令$y=0$，即可得到对应的一元二次方程，公共点的横坐标就是该方程的根。再结合一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值和根的对应关系，就能匹配抛物线与x轴公共点的个数：$\Delta＞0$对应方程有两个不等实根，即抛物线和x轴有2个公共点；$\Delta=0$对应方程有两个相等实根，即抛物线和x轴只有1个公共点；$\Delta＜0$对应方程无实根，即抛物线和x轴没有公共点，按这个逻辑逐一填空即可。
【解析】
1. 令抛物线解析式中$y=0$，可得方程$ax^2+bx+c=0$，因此抛物线与x轴公共点的横坐标就是该方程的根，第一个空填$ax^2+bx+c=0$；
2. 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta＞0$，对应抛物线与x轴有两个公共点，因此第二空填“两个”，第三空填“＞”；
3. 当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=0$，对应抛物线与x轴有一个公共点，因此第四空填“一个”，第五空填“=”；
4. 当一元二次方程没有实数根时，判别式$\Delta＜0$，对应抛物线与x轴没有公共点，因此第六空填“没有”，第七空填“＜”。
【答案】
$ax^2+bx+c=0$ 两个 $＞$ 一个 $=$ 没有 $＜$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础概念考查题，所涉及的对应关系是二次函数章节的核心基础内容，熟练掌握该规律可以为后续解决二次函数交点、二次不等式等相关问题提供支撑。
【难度系数】
0.9
