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探究1：二次函数图象与$x$轴一定有公共点吗？若与$x$轴有公共点，则公共点的纵坐标有何特点？如何求公共点的横坐标？
探究2：求这3个函数与$x$轴公共点的横坐标.它们与相应一元二次方程的根有何关系？
交流总结
请与同学讨论，归纳二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的公共点与一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的关系.
即时测评
探究2：求这3个函数与$x$轴公共点的横坐标.它们与相应一元二次方程的根有何关系？
交流总结
请与同学讨论，归纳二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的公共点与一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的关系.
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答案
探究1 解：二次函数图象与x轴可能有两个公共点、一个公共点或没有公共点. 若有，则公共点的纵坐标都为0. 在二次函数解析式中，可令y=0，通过解对应的一元二次方程来求得公共点的横坐标.
探究2 解：①$y=x^2 - x + 1$的图象与x轴没有公共点，令y=0，则$x^2 -x +1=0$. 一元二次方程$x^2 -x +1=0$无实数根；
②$y=x^2 -6x +9$的图象与x轴有一个公共点，令y=0，则$x^2 -6x +9=0$. 解一元二次方程$x^2 -6x +9=0$，得$x_1=x_2=3$，故公共点的横坐标为3；
③$y=x^2 +x -2$的图象与x轴有两个公共点，令y=0，则$x^2 +x -2=0$. 解一元二次方程$x^2 +x -2=0$，得$x_1=1$，$x_2=-2$，故公共点的横坐标分别为-2，1.
二次函数图象与x轴公共点的横坐标，就是相应一元二次方程的实数根.
交流总结
解：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的公共点的情况有三种，即没有公共点、有一个公共点、有两个公共点，它们分别对应着一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根.
探究2 解：①$y=x^2 - x + 1$的图象与x轴没有公共点，令y=0，则$x^2 -x +1=0$. 一元二次方程$x^2 -x +1=0$无实数根；
②$y=x^2 -6x +9$的图象与x轴有一个公共点，令y=0，则$x^2 -6x +9=0$. 解一元二次方程$x^2 -6x +9=0$，得$x_1=x_2=3$，故公共点的横坐标为3；
③$y=x^2 +x -2$的图象与x轴有两个公共点，令y=0，则$x^2 +x -2=0$. 解一元二次方程$x^2 +x -2=0$，得$x_1=1$，$x_2=-2$，故公共点的横坐标分别为-2，1.
二次函数图象与x轴公共点的横坐标，就是相应一元二次方程的实数根.
交流总结
解：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的公共点的情况有三种，即没有公共点、有一个公共点、有两个公共点，它们分别对应着一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
本题围绕二次函数与x轴交点和对应一元二次方程根的关联展开探究。思考时先从x轴上点的坐标特征入手：x轴上所有点的纵坐标都为0，因此求二次函数与x轴交点横坐标的问题，可转化为令y=0求解一元二次方程的问题；再结合一元二次方程根的判别式的三种情况，对应分析二次函数与x轴交点的三种个数情况，最后通过具体函数实例验证规律，归纳出一般结论即可。
【解析】
探究1
二次函数图象与x轴不一定有公共点，交点个数由对应一元二次方程的根的情况决定；若图象与x轴有公共点，因为公共点在x轴上，因此纵坐标均为0；求公共点横坐标时，可在二次函数解析式中令y=0，求解得到的一元二次方程的实数根，就是公共点的横坐标。
探究2
分别对三个函数分析：
① 对于$y=x^2 - x + 1$，令$y=0$得方程$x^2 -x +1=0$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，因此该函数图象与x轴没有公共点；
② 对于$y=x^2 -6x +9$，令$y=0$得方程$x^2 -6x +9=0$，因式分解得$(x-3)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$，因此该函数图象与x轴有1个公共点，横坐标为3；
③ 对于$y=x^2 +x -2$，令$y=0$得方程$x^2 +x -2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2,x_2=1$，因此该函数图象与x轴有2个公共点，横坐标分别为-2和1。
综上可得：二次函数图象与x轴公共点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。
交流总结
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与x轴的公共点个数和对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况一一对应：
1. 当$\Delta＜0$，方程无实数根时，二次函数图象与x轴没有公共点；
2. 当$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根时，二次函数图象与x轴有1个公共点；
3. 当$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根时，二次函数图象与x轴有2个公共点。
【答案】
探究1 解：二次函数图象与x轴可能有两个公共点、一个公共点或没有公共点. 若有，则公共点的纵坐标都为0. 在二次函数解析式中，可令y=0，通过解对应的一元二次方程来求得公共点的横坐标.
探究2 解：①$y=x^2 - x + 1$的图象与x轴没有公共点，令y=0，则$x^2 -x +1=0$. 一元二次方程$x^2 -x +1=0$无实数根；
②$y=x^2 -6x +9$的图象与x轴有一个公共点，令y=0，则$x^2 -6x +9=0$. 解一元二次方程$x^2 -6x +9=0$，得$x_1=x_2=3$，故公共点的横坐标为3；
③$y=x^2 +x -2$的图象与x轴有两个公共点，令y=0，则$x^2 +x -2=0$. 解一元二次方程$x^2 +x -2=0$，得$x_1=1$，$x_2=-2$，故公共点的横坐标分别为-2，1.
二次函数图象与x轴公共点的横坐标，就是相应一元二次方程的实数根.
交流总结
解：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的公共点的情况有三种，即没有公共点、有一个公共点、有两个公共点，它们分别对应着一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根.
【知识点】
1. 二次函数图象性质 2. 一元二次方程求解 3. 函数与方程的联系
【点评】
本题通过猜想、验证、归纳的探究过程，帮助理解数形结合的转化逻辑，掌握将二次函数与x轴交点问题转化为一元二次方程求根问题的方法，为后续用函数解决方程、不等式类问题奠定基础。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数与x轴交点和对应一元二次方程根的关联展开探究。思考时先从x轴上点的坐标特征入手：x轴上所有点的纵坐标都为0，因此求二次函数与x轴交点横坐标的问题，可转化为令y=0求解一元二次方程的问题；再结合一元二次方程根的判别式的三种情况，对应分析二次函数与x轴交点的三种个数情况，最后通过具体函数实例验证规律，归纳出一般结论即可。
【解析】
探究1
二次函数图象与x轴不一定有公共点，交点个数由对应一元二次方程的根的情况决定；若图象与x轴有公共点，因为公共点在x轴上，因此纵坐标均为0；求公共点横坐标时，可在二次函数解析式中令y=0，求解得到的一元二次方程的实数根，就是公共点的横坐标。
探究2
分别对三个函数分析：
① 对于$y=x^2 - x + 1$，令$y=0$得方程$x^2 -x +1=0$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，因此该函数图象与x轴没有公共点；
② 对于$y=x^2 -6x +9$，令$y=0$得方程$x^2 -6x +9=0$，因式分解得$(x-3)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$，因此该函数图象与x轴有1个公共点，横坐标为3；
③ 对于$y=x^2 +x -2$，令$y=0$得方程$x^2 +x -2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2,x_2=1$，因此该函数图象与x轴有2个公共点，横坐标分别为-2和1。
综上可得：二次函数图象与x轴公共点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。
交流总结
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与x轴的公共点个数和对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况一一对应：
1. 当$\Delta＜0$，方程无实数根时，二次函数图象与x轴没有公共点；
2. 当$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根时，二次函数图象与x轴有1个公共点；
3. 当$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根时，二次函数图象与x轴有2个公共点。
【答案】
探究1 解：二次函数图象与x轴可能有两个公共点、一个公共点或没有公共点. 若有，则公共点的纵坐标都为0. 在二次函数解析式中，可令y=0，通过解对应的一元二次方程来求得公共点的横坐标.
探究2 解：①$y=x^2 - x + 1$的图象与x轴没有公共点，令y=0，则$x^2 -x +1=0$. 一元二次方程$x^2 -x +1=0$无实数根；
②$y=x^2 -6x +9$的图象与x轴有一个公共点，令y=0，则$x^2 -6x +9=0$. 解一元二次方程$x^2 -6x +9=0$，得$x_1=x_2=3$，故公共点的横坐标为3；
③$y=x^2 +x -2$的图象与x轴有两个公共点，令y=0，则$x^2 +x -2=0$. 解一元二次方程$x^2 +x -2=0$，得$x_1=1$，$x_2=-2$，故公共点的横坐标分别为-2，1.
二次函数图象与x轴公共点的横坐标，就是相应一元二次方程的实数根.
交流总结
解：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的公共点的情况有三种，即没有公共点、有一个公共点、有两个公共点，它们分别对应着一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根.
【知识点】
1. 二次函数图象性质 2. 一元二次方程求解 3. 函数与方程的联系
【点评】
本题通过猜想、验证、归纳的探究过程，帮助理解数形结合的转化逻辑，掌握将二次函数与x轴交点问题转化为一元二次方程求根问题的方法，为后续用函数解决方程、不等式类问题奠定基础。
【难度系数】
0.8
1. 抛物线$y=-2x^2+4x-1$与$x$轴的公共点有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1.C
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的公共点个数，可转化为判断对应一元二次方程的实数根个数：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），令$y=0$得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，根的个数对应交点的个数。因此只需计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号即可判断：$\Delta＞0$时有2个公共点，$\Delta=0$时有1个公共点，$\Delta＜0$时没有公共点。解题时先确定$a、b、c$的取值，再计算判别式判断符号即可。
【解析】
对于抛物线$y=-2x^2+4x-1$，令$y=0$，得到方程：
$-2x^2+4x-1=0$
其中$a=-2$，$b=4$，$c=-1$，代入判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×(-2)×(-1) = 16 - 8 = 8$
因为$\Delta=8＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式的应用
【点评】
本题是判断二次函数与x轴交点个数的基础题，解题核心是掌握交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，计算判别式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的公共点个数，可转化为判断对应一元二次方程的实数根个数：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），令$y=0$得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，根的个数对应交点的个数。因此只需计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号即可判断：$\Delta＞0$时有2个公共点，$\Delta=0$时有1个公共点，$\Delta＜0$时没有公共点。解题时先确定$a、b、c$的取值，再计算判别式判断符号即可。
【解析】
对于抛物线$y=-2x^2+4x-1$，令$y=0$，得到方程：
$-2x^2+4x-1=0$
其中$a=-2$，$b=4$，$c=-1$，代入判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×(-2)×(-1) = 16 - 8 = 8$
因为$\Delta=8＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式的应用
【点评】
本题是判断二次函数与x轴交点个数的基础题，解题核心是掌握交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，计算判别式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=(a-3)x^2 -4x +2$的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是
5
。答案
2.5
