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已知抛物线 $ y = -x^2 + 4x + 5 $.
(1) 用配方法将 $ y = -x^2 + 4x + 5 $ 化成 $ y = a(x-h)^2 + k $ 的形式；
(2) 指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3) 抛物线上有两点 $ A(x_1, y_1) $，$ B(x_2, y_2) $，若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 2 $，试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小.
(1) 用配方法将 $ y = -x^2 + 4x + 5 $ 化成 $ y = a(x-h)^2 + k $ 的形式；
(2) 指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3) 抛物线上有两点 $ A(x_1, y_1) $，$ B(x_2, y_2) $，若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 2 $，试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小.
答案
(1)$y=-(x-2)^2+9$.
(2)$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，顶点坐标为$(2,9)$，对称轴为直线$x=2$.
(3)$y_1＜y_2$.
(2)$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，顶点坐标为$(2,9)$，对称轴为直线$x=2$.
(3)$y_1＜y_2$.
解析
【分析】
(1) 配方法化顶点式的思路：先提取二次项系数，将二次项和一次项放到括号内，再在括号内加上一次项系数一半的平方凑完全平方式，同时减去相同的数保证式子的值不变，最后整理成$y=a(x-h)^2+k$的形式即可。
(2) 得到顶点式后，根据$a$的符号判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；顶点式中$h$对应对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接读取对应数值即可。
(3) 比较函数值大小先判断两点所在区间的增减性：结合开口方向和对称轴，判断$x＞2$时$y$随$x$的变化规律，再根据$x_1、x_2$的大小关系即可得出$y_1、y_2$的大小关系。
【解析】
(1) 对$y=-x^2+4x+5$进行配方：
先提取二次项系数$-1$，得$y=-(x^2-4x)+5$
对括号内的式子配方，一次项系数$-4$的一半是$-2$，平方为$4$，则：
$y=-(x^2-4x+4-4)+5 = -[(x-2)^2-4]+5$
去括号整理得：$y=-(x-2)^2+4+5 = -(x-2)^2+9$
(2) 由(1)得到的顶点式$y=-(x-2)^2+9$可知，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
顶点式中$h=2$，$k=9$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,9)$。
(3) $\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，
又$\because x_1＞x_2＞2$，
$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1)$y=-(x-2)^2+9$；
(2)开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,9)$；
(3)$y_1＜y_2$
【知识点】
1. 配方法化二次函数顶点式
2. 二次函数的图象性质
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察配方法的操作和二次函数图象性质的应用，熟练掌握顶点式各参数的意义以及二次函数的增减性规律是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 配方法化顶点式的思路：先提取二次项系数，将二次项和一次项放到括号内，再在括号内加上一次项系数一半的平方凑完全平方式，同时减去相同的数保证式子的值不变，最后整理成$y=a(x-h)^2+k$的形式即可。
(2) 得到顶点式后，根据$a$的符号判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；顶点式中$h$对应对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接读取对应数值即可。
(3) 比较函数值大小先判断两点所在区间的增减性：结合开口方向和对称轴，判断$x＞2$时$y$随$x$的变化规律，再根据$x_1、x_2$的大小关系即可得出$y_1、y_2$的大小关系。
【解析】
(1) 对$y=-x^2+4x+5$进行配方：
先提取二次项系数$-1$，得$y=-(x^2-4x)+5$
对括号内的式子配方，一次项系数$-4$的一半是$-2$，平方为$4$，则：
$y=-(x^2-4x+4-4)+5 = -[(x-2)^2-4]+5$
去括号整理得：$y=-(x-2)^2+4+5 = -(x-2)^2+9$
(2) 由(1)得到的顶点式$y=-(x-2)^2+9$可知，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
顶点式中$h=2$，$k=9$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,9)$。
(3) $\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，
又$\because x_1＞x_2＞2$，
$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1)$y=-(x-2)^2+9$；
(2)开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,9)$；
(3)$y_1＜y_2$
【知识点】
1. 配方法化二次函数顶点式
2. 二次函数的图象性质
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察配方法的操作和二次函数图象性质的应用，熟练掌握顶点式各参数的意义以及二次函数的增减性规律是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
例 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 如图所示，有下列结论：① $ a ＞ 0 $；② $ a + b + c = 2 $；③ $ bc ＜ 0 $；④ $ a - b + c ＞ 0 $。其中，正确的是（
A.①④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
B
）A.①④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
答案
B
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，我们结合二次函数图象的性质依次分析：首先根据抛物线开口方向判断a的符号；再代入特殊点x=1的函数值判断结论②；接着根据对称轴位置和y轴交点位置判断b、c的符号，进而判断结论③；最后代入x=-1的函数值判断结论④，汇总正确结论即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 结论①：抛物线开口向上，根据二次函数性质，开口向上时$a＞0$，故①正确；
2. 结论②：观察图象可知，当$x=1$时，对应的函数值$y=2$，将$x=1$代入解析式$y=ax^2+bx+c$，得$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c=2$，故②正确；
3. 结论③：抛物线的对称轴在y轴左侧，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}＜0$，已知$a＞0$，因此$-b＜0$，即$b＞0$；又抛物线与y轴交于负半轴，当$x=0$时$y=c＜0$，因此b和c异号，$bc＜0$，故③正确；
4. 结论④：观察图象，当$x=-1$时，对应的点在x轴下方，即函数值$y＜0$，将$x=-1$代入解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c ＜ 0$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的函数值
【点评】
本题是二次函数图象类的典型基础题，解题核心是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、特殊点函数值与系数、解析式的对应关系，结合图象信息即可快速判断结论正误。
【难度系数】
0.7
要判断四个结论是否正确，我们结合二次函数图象的性质依次分析：首先根据抛物线开口方向判断a的符号；再代入特殊点x=1的函数值判断结论②；接着根据对称轴位置和y轴交点位置判断b、c的符号，进而判断结论③；最后代入x=-1的函数值判断结论④，汇总正确结论即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 结论①：抛物线开口向上，根据二次函数性质，开口向上时$a＞0$，故①正确；
2. 结论②：观察图象可知，当$x=1$时，对应的函数值$y=2$，将$x=1$代入解析式$y=ax^2+bx+c$，得$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c=2$，故②正确；
3. 结论③：抛物线的对称轴在y轴左侧，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}＜0$，已知$a＞0$，因此$-b＜0$，即$b＞0$；又抛物线与y轴交于负半轴，当$x=0$时$y=c＜0$，因此b和c异号，$bc＜0$，故③正确；
4. 结论④：观察图象，当$x=-1$时，对应的点在x轴下方，即函数值$y＜0$，将$x=-1$代入解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c ＜ 0$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的函数值
【点评】
本题是二次函数图象类的典型基础题，解题核心是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、特殊点函数值与系数、解析式的对应关系，结合图象信息即可快速判断结论正误。
【难度系数】
0.7
即时测评
已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象如图所示，有下列5个结论：①$abc＜0$；②$b＜a+c$；③$4a+2b+c＞0$；④$2c＜3b$；⑤$a+b＜m(am+b)(m≠1)$。其中，正确的结论有
已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象如图所示，有下列5个结论：①$abc＜0$；②$b＜a+c$；③$4a+2b+c＞0$；④$2c＜3b$；⑤$a+b＜m(am+b)(m≠1)$。其中，正确的结论有
①③④
.(填序号)答案
①③④
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图像提取关键信息：根据开口方向判断$a$的符号，结合对称轴公式得到$b$与$a$的关系，根据与$y$轴交点判断$c$的符号；再结合特殊$x$值（$x=-1$、$x=0$、$x=2$、$x=m$）对应的函数值，以及二次函数最值的性质，逐个判断5个结论是否正确。
【解析】
由图像可得以下信息：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，
∵$a＜0$，
∴$b＞0$；
3. 抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$。
逐个判断结论：
①判断$abc$的符号：$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，
∴$abc＜0$，故①正确；
②判断$b＜a+c$：当$x=-1$时，代入函数得$y=a-b+c$，由图像可知$x=-1$时函数值$y＜0$，即$a-b+c＜0$，移项得$b＞a+c$，故②错误；
③判断$4a+2b+c＞0$：当$x=2$时，函数值为$y=4a+2b+c$，由于对称轴为$x=1$，故$x=2$与$x=0$的函数值相等，$x=0$时$y=c＞0$，
∴$4a+2b+c=c＞0$，故③正确；
④判断$2c＜3b$：将$a=-\frac{b}{2}$代入$x=-1$时的不等式$a-b+c＜0$，得：
$-\frac{b}{2}-b+c＜0$，整理得$c＜\frac{3b}{2}$，两边同乘2得$2c＜3b$，故④正确；
⑤判断$a+b＜m(am+b)$：$x=1$时函数取得最大值，对任意$m≠1$，都有$x=1$的函数值大于$x=m$的函数值，即$a+b+c＞am^2+bm+c$，两边同时减$c$得$a+b＞am^2+bm=m(am+b)$，故⑤错误。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图像类的典型题型，需要结合图像特征提取系数、特殊点函数值等信息，灵活运用二次函数的对称轴、最值性质逐一验证结论，能很好地考查数形结合的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先从二次函数图像提取关键信息：根据开口方向判断$a$的符号，结合对称轴公式得到$b$与$a$的关系，根据与$y$轴交点判断$c$的符号；再结合特殊$x$值（$x=-1$、$x=0$、$x=2$、$x=m$）对应的函数值，以及二次函数最值的性质，逐个判断5个结论是否正确。
【解析】
由图像可得以下信息：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，
∵$a＜0$，
∴$b＞0$；
3. 抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$。
逐个判断结论：
①判断$abc$的符号：$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，
∴$abc＜0$，故①正确；
②判断$b＜a+c$：当$x=-1$时，代入函数得$y=a-b+c$，由图像可知$x=-1$时函数值$y＜0$，即$a-b+c＜0$，移项得$b＞a+c$，故②错误；
③判断$4a+2b+c＞0$：当$x=2$时，函数值为$y=4a+2b+c$，由于对称轴为$x=1$，故$x=2$与$x=0$的函数值相等，$x=0$时$y=c＞0$，
∴$4a+2b+c=c＞0$，故③正确；
④判断$2c＜3b$：将$a=-\frac{b}{2}$代入$x=-1$时的不等式$a-b+c＜0$，得：
$-\frac{b}{2}-b+c＜0$，整理得$c＜\frac{3b}{2}$，两边同乘2得$2c＜3b$，故④正确；
⑤判断$a+b＜m(am+b)$：$x=1$时函数取得最大值，对任意$m≠1$，都有$x=1$的函数值大于$x=m$的函数值，即$a+b+c＞am^2+bm+c$，两边同时减$c$得$a+b＞am^2+bm=m(am+b)$，故⑤错误。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图像类的典型题型，需要结合图像特征提取系数、特殊点函数值等信息，灵活运用二次函数的对称轴、最值性质逐一验证结论，能很好地考查数形结合的能力。
【难度系数】
0.6
请根据本课所学，构建知识体系.
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和性质
├─开口方向
│ ├─$a＞0$ → 开口
│ └─$a＜0$ → 开口
├─对称轴 → 直线
├─顶点坐标 →
├─增减性
│ ├─$a＞0$
│ │ ├─当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而
│ │ └─当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而
│ └─$a＜0$
│ ├─当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而
│ └─当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而
└─最值
├─$a＞0$ → 当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y_{最小值}=$
└─$a＜0$ → 当
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和性质
├─开口方向
│ ├─$a＞0$ → 开口
向上
│ └─$a＜0$ → 开口
向下
├─对称轴 → 直线
$x=-\frac{b}{2a}$
├─顶点坐标 →
$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
├─增减性
│ ├─$a＞0$
│ │ ├─当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而
减小
；│ │ └─当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而
增大
│ └─$a＜0$
│ ├─当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而
增大
；│ └─当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而
减小
└─最值
├─$a＞0$ → 当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y_{最小值}=$
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
└─$a＜0$ → 当
$x=-\frac{b}{2a}$
时，$y_{最大值}=\frac{4ac-b^2}{4a}$答案
开口方向：$a＞0$向上，$a＜0$向下
对称轴：直线$x=-\frac{b}{2a}$
顶点坐标：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
增减性：$a＞0$时，$x＜-\frac{b}{2a}$，y随x增大而减小；$x＞-\frac{b}{2a}$，y随x增大而增大
$a＜0$时，$x＜-\frac{b}{2a}$，y随x增大而增大；$x＞-\frac{b}{2a}$，y随x增大而减小
最值：$a＞0$时最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＜0$时当$x=-\frac{b}{2a}$时最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$
对称轴：直线$x=-\frac{b}{2a}$
顶点坐标：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
增减性：$a＞0$时，$x＜-\frac{b}{2a}$，y随x增大而减小；$x＞-\frac{b}{2a}$，y随x增大而增大
$a＜0$时，$x＜-\frac{b}{2a}$，y随x增大而增大；$x＞-\frac{b}{2a}$，y随x增大而减小
最值：$a＞0$时最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＜0$时当$x=-\frac{b}{2a}$时最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，属于基础识记类题型。解题时可按知识框架的顺序逐一回忆对应知识点：①开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a$的正负对应开口上下方向；②对称轴和顶点坐标可通过对二次函数一般式配方推导得到，也可直接记忆公式；③增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧函数递减、右侧递增，开口向下时规律相反；④最值在顶点处取得，开口向上取最小值，开口向下取最大值，代入顶点横坐标即可得到最值的表达式。
【解析】
我们按照知识框架的分类逐一填写：
1. 开口方向：二次项系数$a$的符号决定开口方向，当$a＞0$时，二次函数开口向上；当$a＜0$时，二次函数开口向下。
2. 对称轴：对一般式配方可得对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
3. 顶点坐标：将对称轴横坐标$x=-\frac{b}{2a}$代入函数解析式，可得顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
4. 增减性：
$a＞0$时函数开口向上，因此$x＜-\frac{b}{2a}$（对称轴左侧）时，$y$随$x$的增大而减小；$x＞-\frac{b}{2a}$（对称轴右侧）时，$y$随$x$的增大而增大。
$a＜0$时函数开口向下，因此$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。
5. 最值：
$a＞0$时开口向上，顶点为最低点，因此$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
$a＜0$时开口向下，顶点为最高点，因此$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
开口方向：$a＞0$时向上，$a＜0$时向下；
对称轴：直线$x=-\frac{b}{2a}$；
顶点坐标：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
增减性：$a＞0$时，$x＜-\frac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而减小；$x＞-\frac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而增大；$a＜0$时，$x＜-\frac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而增大；$x＞-\frac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而减小；
最值：$a＞0$时最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＜0$时当$x=-\frac{b}{2a}$时取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【知识点】
1. 二次函数的开口方向
2. 二次函数的对称轴与顶点坐标
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是对二次函数基本性质的直接考察，属于核心基础知识点，熟练掌握这些性质是解决二次函数相关综合题的前提，需要准确识记、灵活运用。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，属于基础识记类题型。解题时可按知识框架的顺序逐一回忆对应知识点：①开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a$的正负对应开口上下方向；②对称轴和顶点坐标可通过对二次函数一般式配方推导得到，也可直接记忆公式；③增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧函数递减、右侧递增，开口向下时规律相反；④最值在顶点处取得，开口向上取最小值，开口向下取最大值，代入顶点横坐标即可得到最值的表达式。
【解析】
我们按照知识框架的分类逐一填写：
1. 开口方向：二次项系数$a$的符号决定开口方向，当$a＞0$时，二次函数开口向上；当$a＜0$时，二次函数开口向下。
2. 对称轴：对一般式配方可得对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
3. 顶点坐标：将对称轴横坐标$x=-\frac{b}{2a}$代入函数解析式，可得顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
4. 增减性：
$a＞0$时函数开口向上，因此$x＜-\frac{b}{2a}$（对称轴左侧）时，$y$随$x$的增大而减小；$x＞-\frac{b}{2a}$（对称轴右侧）时，$y$随$x$的增大而增大。
$a＜0$时函数开口向下，因此$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。
5. 最值：
$a＞0$时开口向上，顶点为最低点，因此$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
$a＜0$时开口向下，顶点为最高点，因此$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
开口方向：$a＞0$时向上，$a＜0$时向下；
对称轴：直线$x=-\frac{b}{2a}$；
顶点坐标：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
增减性：$a＞0$时，$x＜-\frac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而减小；$x＞-\frac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而增大；$a＜0$时，$x＜-\frac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而增大；$x＞-\frac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而减小；
最值：$a＞0$时最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＜0$时当$x=-\frac{b}{2a}$时取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【知识点】
1. 二次函数的开口方向
2. 二次函数的对称轴与顶点坐标
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是对二次函数基本性质的直接考察，属于核心基础知识点，熟练掌握这些性质是解决二次函数相关综合题的前提，需要准确识记、灵活运用。
【难度系数】
0.8
