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例2 如图所示，AD为$△ ABC$的角平分线，$AE=AF$，请判断线段AD所在的直线是不是线段EF的垂直平分线。如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。
解：
例2题图
【规律方法】
巧用线段的垂直平分线求边长的方法
(1)直接应用线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等求解；
(2)转化边长:把三角形的三边转化为已知两边的和进行计算。
解：
例2题图
【规律方法】
巧用线段的垂直平分线求边长的方法
(1)直接应用线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等求解；
(2)转化边长:把三角形的三边转化为已知两边的和进行计算。
答案
线段 $AD$ 所在的直线是线段 $EF$ 的垂直平分线. 证明如下：
$\because AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$.
在$△ ADE$ 和 $△ ADF$ 中，
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠ EAD=∠ FAD,\\ DA=DA, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DE=DF$.
又$\because AE=AF$,
$\therefore$ 点 $A,D$ 都在线段 $EF$ 的垂直平分线上，
$\therefore$ 线段 $AD$ 所在的直线是线段 $EF$ 的垂直平分线.
$\because AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$.
在$△ ADE$ 和 $△ ADF$ 中，
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠ EAD=∠ FAD,\\ DA=DA, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DE=DF$.
又$\because AE=AF$,
$\therefore$ 点 $A,D$ 都在线段 $EF$ 的垂直平分线上，
$\therefore$ 线段 $AD$ 所在的直线是线段 $EF$ 的垂直平分线.
3. 如图所示,平面上的四边形ABCD是一个“风筝”的骨架,其中AC是∠BAD的平分线,∠ABC=∠ADC=90°.求证:AC垂直平分BD.
答案
证明:$\because AC$ 是 $∠ BAD$ 的平分线，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$.
在$△ ABC$ 和 $△ ADC$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAC=∠ DAC,\\ ∠ ABC=∠ ADC,\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AB=AD,BC=DC$,
$\therefore$ 点 $A,C$ 都在线段 $BD$ 的垂直平分线上，
$\therefore AC$ 垂直平分 $BD$.
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$.
在$△ ABC$ 和 $△ ADC$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAC=∠ DAC,\\ ∠ ABC=∠ ADC,\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AB=AD,BC=DC$,
$\therefore$ 点 $A,C$ 都在线段 $BD$ 的垂直平分线上，
$\therefore AC$ 垂直平分 $BD$.
1. 互逆命题:如果两个命题的题设、结论正好
相反
,那么我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题
.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的逆命题
.答案
1. 相反 互逆命题 逆命题
2. 互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是
真命题
，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理
，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理
。答案
2. 真命题 互逆定理 逆定理
例3 下列命题的逆命题是真命题的是（
A.对顶角相等
B.全等三角形的面积相等
C.如果 $a＞0,b＞0$, 那么 $ab＞0$
D.两直线平行,内错角相等
D
）A.对顶角相等
B.全等三角形的面积相等
C.如果 $a＞0,b＞0$, 那么 $ab＞0$
D.两直线平行,内错角相等
答案
D
4. 写出下列命题的逆命题,并判断它们是真命题还是假命题.
(1)若$ac^2＞bc^2$,则$a＞b$;
(2)角的平分线上的点到角两边的距离相等;
(3)若$ab=0$,则$a=0$.
(1)若$ac^2＞bc^2$,则$a＞b$;
(2)角的平分线上的点到角两边的距离相等;
(3)若$ab=0$,则$a=0$.
答案
解:(1)逆命题:若 $a＞b$, 则 $ac^2＞bc^2$. 假命题；
(2)逆命题:到角两边距离相等的点在角的平分线上. 假命题；
(3)逆命题:若 $a=0$, 则 $ab=0$. 真命题.
(2)逆命题:到角两边距离相等的点在角的平分线上. 假命题；
(3)逆命题:若 $a=0$, 则 $ab=0$. 真命题.
