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1. 一次函数$y=3x+6$与$y=2x-4$图象的交点坐标是$(-10,-24)$.下列方程组中,解是$\begin{cases}x=-10, \\ y=-24\end{cases}$的是( ).
A.$\begin{cases} y-3x=6, \\ 2x+y=-4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x+6+y=0, \\ 2x-4-y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x-y=-6, \\ 2x-y-4=0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x-y=6, \\ 2x-y=4 \end{cases}$
A.$\begin{cases} y-3x=6, \\ 2x+y=-4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x+6+y=0, \\ 2x-4-y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x-y=-6, \\ 2x-y-4=0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x-y=6, \\ 2x-y=4 \end{cases}$
答案
C
解析
【分析】
本题可利用一次函数与二元一次方程组的关系解题，也可通过代入解验证的方法求解：① 一次函数图象的交点坐标就是两个函数解析式整理得到的二元一次方程组的解，可将题干给出的两个一次函数移项变形为二元一次方程，再匹配选项；② 也可将已知的解逐一代入各选项的方程组，判断两个方程是否同时成立，即可选出正确选项。
【解析】
方法一：将已知一次函数变形为二元一次方程
对$y=3x+6$移项可得：$3x - y = -6$；
对$y=2x-4$移项可得：$2x - y - 4 = 0$。
将两个方程联立得方程组$\begin{cases} 3x-y=-6, \\ 2x-y-4=0 \end{cases}$，对应选项C。
方法二：代入验证法
将$\begin{cases}x=-10, \\ y=-24\end{cases}$分别代入各选项：
选项A：第二个方程左边$=2×(-10)+(-24)=-44≠-4$，不成立，排除；
选项B：第一个方程左边$=3×(-10)+6+(-24)=-48≠0$，不成立，排除；
选项C：第一个方程左边$=3×(-10)-(-24)=-6$，等于右边；第二个方程左边$=2×(-10)-(-24)-4=0$，等于右边，两个方程均成立，符合要求；
选项D：第一个方程左边$=3×(-10)-(-24)=-6≠6$，不成立，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 二元一次方程组的解的判定
3. 等式的移项变形
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程结合的基础题型，两种解题方法都很常用，既可以通过函数和方程的转化直接匹配答案，也可以用代入法验证，核心是理解一次函数交点与方程组解的对应逻辑。
【难度系数】
0.8
本题可利用一次函数与二元一次方程组的关系解题，也可通过代入解验证的方法求解：① 一次函数图象的交点坐标就是两个函数解析式整理得到的二元一次方程组的解，可将题干给出的两个一次函数移项变形为二元一次方程，再匹配选项；② 也可将已知的解逐一代入各选项的方程组，判断两个方程是否同时成立，即可选出正确选项。
【解析】
方法一：将已知一次函数变形为二元一次方程
对$y=3x+6$移项可得：$3x - y = -6$；
对$y=2x-4$移项可得：$2x - y - 4 = 0$。
将两个方程联立得方程组$\begin{cases} 3x-y=-6, \\ 2x-y-4=0 \end{cases}$，对应选项C。
方法二：代入验证法
将$\begin{cases}x=-10, \\ y=-24\end{cases}$分别代入各选项：
选项A：第二个方程左边$=2×(-10)+(-24)=-44≠-4$，不成立，排除；
选项B：第一个方程左边$=3×(-10)+6+(-24)=-48≠0$，不成立，排除；
选项C：第一个方程左边$=3×(-10)-(-24)=-6$，等于右边；第二个方程左边$=2×(-10)-(-24)-4=0$，等于右边，两个方程均成立，符合要求；
选项D：第一个方程左边$=3×(-10)-(-24)=-6≠6$，不成立，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 二元一次方程组的解的判定
3. 等式的移项变形
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程结合的基础题型，两种解题方法都很常用，既可以通过函数和方程的转化直接匹配答案，也可以用代入法验证，核心是理解一次函数交点与方程组解的对应逻辑。
【难度系数】
0.8
2. 方程组$\begin{cases}x + y = 2, \\ 2x + 2y = 3\end{cases}$无解，因此直线$y=2 - x$与$y=\frac{3}{2} - x$必定( ).
A.重合
B.平行
C.相交
D.无法判断
A.重合
B.平行
C.相交
D.无法判断
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点的关联：方程组的解就是两条直线的交点坐标，若方程组无解，说明两条直线没有公共交点。接下来对比两个一次函数的解析式，可发现它们的k值相等、b值不等，结合一次函数图象的性质就能判断直线的位置关系。
【解析】
二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图象的交点坐标，解题步骤如下：
1. 题中给出的方程组无解，说明直线$y=2-x$与$y=\frac{3}{2}-x$没有交点。
2. 把两个解析式整理为$y=kx+b$的标准形式：$y=-x+2$，$y=-x+\frac{3}{2}$，可见两个函数的k值都为-1，b值分别为2和$\frac{3}{2}$，二者不相等。
3. 根据一次函数的图象性质：当两个一次函数的k值相等、b值不等时，它们的图象互相平行，没有交点，和方程组无解的特征匹配。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 一次函数图象性质
【点评】
本题核心考察一次函数图象位置和二元一次方程组解的对应关系，属于基础概念考察题，掌握相关对应规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点的关联：方程组的解就是两条直线的交点坐标，若方程组无解，说明两条直线没有公共交点。接下来对比两个一次函数的解析式，可发现它们的k值相等、b值不等，结合一次函数图象的性质就能判断直线的位置关系。
【解析】
二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图象的交点坐标，解题步骤如下：
1. 题中给出的方程组无解，说明直线$y=2-x$与$y=\frac{3}{2}-x$没有交点。
2. 把两个解析式整理为$y=kx+b$的标准形式：$y=-x+2$，$y=-x+\frac{3}{2}$，可见两个函数的k值都为-1，b值分别为2和$\frac{3}{2}$，二者不相等。
3. 根据一次函数的图象性质：当两个一次函数的k值相等、b值不等时，它们的图象互相平行，没有交点，和方程组无解的特征匹配。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 一次函数图象性质
【点评】
本题核心考察一次函数图象位置和二元一次方程组解的对应关系，属于基础概念考察题，掌握相关对应规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 用图象法解某二元一次方程组时,在同一平面直角坐标系中作出如图所示的相应的两个一次函数的图象,则所解的二元一次方程组是(
A.$\begin{cases} x + y - 2 = 0, \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x - 2y - 1 = 0, \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x - 2y - 5 = 0, \\ 2x + y - 1 = 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y - 2 = 0, \\ 2x + y - 1 = 0 \end{cases}$
A
).A.$\begin{cases} x + y - 2 = 0, \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x - 2y - 1 = 0, \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x - 2y - 5 = 0, \\ 2x + y - 1 = 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y - 2 = 0, \\ 2x + y - 1 = 0 \end{cases}$
答案
3. A
解析
【分析】
要确定图象对应的二元一次方程组，首先明确：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，反过来，两条直线的解析式整理为二元一次方程后，组成的方程组就是所求方程组。解题时先分别找出两条直线经过的两个已知点，用待定系数法求出两条直线的解析式，再将解析式整理为二元一次方程的形式，组合即可得到答案。
【解析】
1. 求直线$l_1$对应的方程：
观察图象可知，$l_1$经过点$(0,-1)$和$P(1,1)$。
设$l_1$的解析式为$y=k_1x+b_1$，将两点代入：
当$x=0$时，$y=-1$，得$b_1=-1$；
将$(1,1)$、$b_1=-1$代入解析式，得$1=k_1×1 -1$，解得$k_1=2$。
因此$l_1$的解析式为$y=2x-1$，整理为二元一次方程得：$2x - y -1=0$。
2. 求直线$l_2$对应的方程：
观察图象可知，$l_2$经过点$(0,2)$和$P(1,1)$。
设$l_2$的解析式为$y=k_2x+b_2$，将两点代入：
当$x=0$时，$y=2$，得$b_2=2$；
将$(1,1)$、$b_2=2$代入解析式，得$1=k_2×1 +2$，解得$k_2=-1$。
因此$l_2$的解析式为$y=-x+2$，整理为二元一次方程得：$x + y -2=0$。
3. 组合两个方程，得到所求二元一次方程组为$\begin{cases} x + y - 2 = 0, \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程，待定系数法求解析式，二元一次方程组的解
【点评】
本题核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题的关键是熟练运用待定系数法求一次函数的解析式，再将解析式转化为二元一次方程即可得到所求方程组，解题时注意准确读取图象上的点的坐标。
【难度系数】
0.8
要确定图象对应的二元一次方程组，首先明确：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，反过来，两条直线的解析式整理为二元一次方程后，组成的方程组就是所求方程组。解题时先分别找出两条直线经过的两个已知点，用待定系数法求出两条直线的解析式，再将解析式整理为二元一次方程的形式，组合即可得到答案。
【解析】
1. 求直线$l_1$对应的方程：
观察图象可知，$l_1$经过点$(0,-1)$和$P(1,1)$。
设$l_1$的解析式为$y=k_1x+b_1$，将两点代入：
当$x=0$时，$y=-1$，得$b_1=-1$；
将$(1,1)$、$b_1=-1$代入解析式，得$1=k_1×1 -1$，解得$k_1=2$。
因此$l_1$的解析式为$y=2x-1$，整理为二元一次方程得：$2x - y -1=0$。
2. 求直线$l_2$对应的方程：
观察图象可知，$l_2$经过点$(0,2)$和$P(1,1)$。
设$l_2$的解析式为$y=k_2x+b_2$，将两点代入：
当$x=0$时，$y=2$，得$b_2=2$；
将$(1,1)$、$b_2=2$代入解析式，得$1=k_2×1 +2$，解得$k_2=-1$。
因此$l_2$的解析式为$y=-x+2$，整理为二元一次方程得：$x + y -2=0$。
3. 组合两个方程，得到所求二元一次方程组为$\begin{cases} x + y - 2 = 0, \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程，待定系数法求解析式，二元一次方程组的解
【点评】
本题核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题的关键是熟练运用待定系数法求一次函数的解析式，再将解析式转化为二元一次方程即可得到所求方程组，解题时注意准确读取图象上的点的坐标。
【难度系数】
0.8
4. 如果关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}y=-x+1, \\ y=(2k+1)x -3\end{cases}$无解，那么直线$y=(-k+1)x -3$不经过第 ______ 象限。
答案
二
解析
【分析】
首先我们要明确：二元一次方程组无解，对应组成方程组的两个一次函数的图像（直线）互相平行。两直线平行的条件是一次项系数（斜率）相等，常数项（截距）不相等。我们先根据这个条件求出k的取值，再代入所求直线的解析式，结合一次函数的图像性质判断它不经过的象限。
【解析】
1. 由方程组$\begin{cases}y=-x+1 \\ y=(2k+1)x -3\end{cases}$无解，可得直线$y=-x+1$与直线$y=(2k+1)x-3$平行。
2. 两直线平行时一次项系数相等，因此列方程：
$2k+1=-1$
解得$k=-1$，且两条直线截距$1≠-3$，符合平行要求。
3. 将$k=-1$代入直线$y=(-k+1)x -3$，得：
一次项系数：$-k+1=-(-1)+1=2$，常数项为$-3$，即直线解析式为$y=2x-3$。
4. 根据一次函数性质：$k=2＞0$，直线从左向右上升；$b=-3＜0$，直线与y轴交于负半轴，因此该直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；两直线平行的条件；一次函数的图像性质
【点评】
本题属于一次函数的基础综合题，解题核心是理解方程组无解和两直线平行的对应关系，再结合一次函数系数和图像的对应关系判断经过的象限，熟练掌握一次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先我们要明确：二元一次方程组无解，对应组成方程组的两个一次函数的图像（直线）互相平行。两直线平行的条件是一次项系数（斜率）相等，常数项（截距）不相等。我们先根据这个条件求出k的取值，再代入所求直线的解析式，结合一次函数的图像性质判断它不经过的象限。
【解析】
1. 由方程组$\begin{cases}y=-x+1 \\ y=(2k+1)x -3\end{cases}$无解，可得直线$y=-x+1$与直线$y=(2k+1)x-3$平行。
2. 两直线平行时一次项系数相等，因此列方程：
$2k+1=-1$
解得$k=-1$，且两条直线截距$1≠-3$，符合平行要求。
3. 将$k=-1$代入直线$y=(-k+1)x -3$，得：
一次项系数：$-k+1=-(-1)+1=2$，常数项为$-3$，即直线解析式为$y=2x-3$。
4. 根据一次函数性质：$k=2＞0$，直线从左向右上升；$b=-3＜0$，直线与y轴交于负半轴，因此该直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；两直线平行的条件；一次函数的图像性质
【点评】
本题属于一次函数的基础综合题，解题核心是理解方程组无解和两直线平行的对应关系，再结合一次函数系数和图像的对应关系判断经过的象限，熟练掌握一次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 已知一次函数 $y=\frac{3}{2}x+m$ 和 $y=-\frac{1}{2}x+n$ 的图象交于点 $A(-2,0)$，与 $y$ 轴分别交于 $B$，$C$ 两点，那么三角形 $ABC$ 的面积为
$y=kx$
$y=ax+b$
$-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $O$ $x$
$y$
$-1$
4
。$y=kx$
$y=ax+b$
$-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $O$ $x$
$y$
$-1$
答案
5. 4
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，已知两个一次函数的图象都经过点A(-2,0)，将点A坐标分别代入两个一次函数解析式，即可求出参数m和n的值，确定两个函数的完整解析式；第二步，B、C是两个函数与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0分别代入两个解析式，就能得到B、C两点的坐标；第三步，计算线段BC的长度作为三角形的底，点A到y轴的距离作为三角形的高，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
1. 求参数m、n的值：
将点A(-2, 0)代入$y=\frac{3}{2}x+m$，得：
$0=\frac{3}{2}×(-2)+m$
计算得$0=-3+m$，解得$m=3$，因此第一个函数解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$。
将点A(-2, 0)代入$y=-\frac{1}{2}x+n$，得：
$0=-\frac{1}{2}×(-2)+n$
计算得$0=1+n$，解得$n=-1$，因此第二个函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x-1$。
2. 求B、C两点坐标：
一次函数与y轴交点的横坐标为0：
将x=0代入$y=\frac{3}{2}x+3$，得$y=3$，即B点坐标为$(0,3)$。
将x=0代入$y=-\frac{1}{2}x-1$，得$y=-1$，即C点坐标为$(0,-1)$。
3. 计算三角形ABC的面积：
B、C都在y轴上，线段BC的长度为$|3 - (-1)|=4$；
点A到y轴的距离为点A横坐标的绝对值，即$|-2|=2$，为三角形ABC的高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的应用及一次函数与坐标轴交点的求解，解题时注意坐标轴上点的坐标特征的运用，计算难度较低，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，已知两个一次函数的图象都经过点A(-2,0)，将点A坐标分别代入两个一次函数解析式，即可求出参数m和n的值，确定两个函数的完整解析式；第二步，B、C是两个函数与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0分别代入两个解析式，就能得到B、C两点的坐标；第三步，计算线段BC的长度作为三角形的底，点A到y轴的距离作为三角形的高，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
1. 求参数m、n的值：
将点A(-2, 0)代入$y=\frac{3}{2}x+m$，得：
$0=\frac{3}{2}×(-2)+m$
计算得$0=-3+m$，解得$m=3$，因此第一个函数解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$。
将点A(-2, 0)代入$y=-\frac{1}{2}x+n$，得：
$0=-\frac{1}{2}×(-2)+n$
计算得$0=1+n$，解得$n=-1$，因此第二个函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x-1$。
2. 求B、C两点坐标：
一次函数与y轴交点的横坐标为0：
将x=0代入$y=\frac{3}{2}x+3$，得$y=3$，即B点坐标为$(0,3)$。
将x=0代入$y=-\frac{1}{2}x-1$，得$y=-1$，即C点坐标为$(0,-1)$。
3. 计算三角形ABC的面积：
B、C都在y轴上，线段BC的长度为$|3 - (-1)|=4$；
点A到y轴的距离为点A横坐标的绝对值，即$|-2|=2$，为三角形ABC的高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的应用及一次函数与坐标轴交点的求解，解题时注意坐标轴上点的坐标特征的运用，计算难度较低，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，已知函数$y=ax+b$和$y=kx$的图象交于点$(-4,-2)$，根据图象可得关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases} y=ax+b, \\ y=kx \end{cases}$的解是________。
答案
$\begin{cases}x=-4,\\y=-2\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，因此交点的x、y值就是对应两个函数式组成的二元一次方程组的解。本题已经给出两个函数图象交于点(-4,-2)，直接提取该点坐标即可得到方程组的解。
【解析】
∵ 二元一次方程组的解就是组成方程组的两个方程对应的一次函数图象的交点坐标，
已知函数$y=ax+b$和$y=kx$的图象交于点$(-4,-2)$，
∴ 点$(-4,-2)$的坐标同时满足$y=ax+b$和$y=kx$，
即方程组$\begin{cases} y=ax+b \\ y=kx \end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-4 \\ y=-2\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-4,\\y=-2\end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，一次函数交点的意义
【点评】
本题是基础题型，核心考查一次函数图象与二元一次方程组的对应关系，只要理解“两个一次函数的交点坐标就是对应方程组的解”这一规律，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，因此交点的x、y值就是对应两个函数式组成的二元一次方程组的解。本题已经给出两个函数图象交于点(-4,-2)，直接提取该点坐标即可得到方程组的解。
【解析】
∵ 二元一次方程组的解就是组成方程组的两个方程对应的一次函数图象的交点坐标，
已知函数$y=ax+b$和$y=kx$的图象交于点$(-4,-2)$，
∴ 点$(-4,-2)$的坐标同时满足$y=ax+b$和$y=kx$，
即方程组$\begin{cases} y=ax+b \\ y=kx \end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-4 \\ y=-2\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-4,\\y=-2\end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，一次函数交点的意义
【点评】
本题是基础题型，核心考查一次函数图象与二元一次方程组的对应关系，只要理解“两个一次函数的交点坐标就是对应方程组的解”这一规律，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
