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8. 将关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程 $ y - kx - 2k + 4 = 0 $ 化为一次函数的形式后，其图象与 $ x $ 轴交点的横坐标为 $ -1 $。
（1）求此一次函数的表达式；
（2）此函数的图象不经过第几象限？
（3）求此一次函数的图象与 $ y $ 轴的交点坐标。
（1）求此一次函数的表达式；
（2）此函数的图象不经过第几象限？
（3）求此一次函数的图象与 $ y $ 轴的交点坐标。
答案
(1) $y = 4x + 4$ (2) 此函数的图象不经过第四象限 (3) $(0,4)$
解析
【分析】
（1）要确定一次函数表达式，需先求k的值：一次函数图象与x轴交点横坐标为-1，说明该交点坐标为$(-1,0)$，将其代入原二元一次方程即可解出k，再整理为$y=kx+b$的形式即可。
（2）判断一次函数图象不经过的象限，可根据$k$、$b$的正负性分析：$k＞0$时图象过一、三象限，$b＞0$时图象与y轴正半轴相交，结合二者即可判断图象经过的象限。
（3）求一次函数与y轴的交点坐标，只需将$x=0$代入函数表达式求出对应y值即可，因为y轴上所有点的横坐标均为0。
【解析】
（1）
∵ 一次函数图象与x轴交点的横坐标为$-1$，
∴ 该交点坐标为$(-1, 0)$。
将$x=-1$，$y=0$代入方程$y - kx - 2k + 4 = 0$，得：
$0 - k×(-1) - 2k + 4 = 0$
化简得：$k - 2k + 4 = 0$，即$-k + 4 = 0$，解得$k=4$。
将$k=4$代回原方程，整理为一次函数形式：
$y - 4x - 2×4 + 4 = 0$，即$y = 4x + 4$。
（2）对于一次函数$y=4x+4$，其中$k=4＞0$，$b=4＞0$：
$k＞0$说明图象从左到右上升，经过第一、三象限；$b＞0$说明图象与y轴交于正半轴，经过第二象限。
因此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
（3）当函数图象与y轴相交时，横坐标$x=0$，将$x=0$代入$y=4x+4$，得：
$y=4×0 + 4 = 4$，因此与y轴的交点坐标为$(0,4)$。
【答案】
(1) $y = 4x + 4$ (2) 此函数的图象不经过第四象限 (3) $(0,4)$
【知识点】
一次函数表达式求解、一次函数图象性质、一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查坐标轴上点的坐标特征、一次函数参数与图象的对应关系，熟练掌握一次函数相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）要确定一次函数表达式，需先求k的值：一次函数图象与x轴交点横坐标为-1，说明该交点坐标为$(-1,0)$，将其代入原二元一次方程即可解出k，再整理为$y=kx+b$的形式即可。
（2）判断一次函数图象不经过的象限，可根据$k$、$b$的正负性分析：$k＞0$时图象过一、三象限，$b＞0$时图象与y轴正半轴相交，结合二者即可判断图象经过的象限。
（3）求一次函数与y轴的交点坐标，只需将$x=0$代入函数表达式求出对应y值即可，因为y轴上所有点的横坐标均为0。
【解析】
（1）
∵ 一次函数图象与x轴交点的横坐标为$-1$，
∴ 该交点坐标为$(-1, 0)$。
将$x=-1$，$y=0$代入方程$y - kx - 2k + 4 = 0$，得：
$0 - k×(-1) - 2k + 4 = 0$
化简得：$k - 2k + 4 = 0$，即$-k + 4 = 0$，解得$k=4$。
将$k=4$代回原方程，整理为一次函数形式：
$y - 4x - 2×4 + 4 = 0$，即$y = 4x + 4$。
（2）对于一次函数$y=4x+4$，其中$k=4＞0$，$b=4＞0$：
$k＞0$说明图象从左到右上升，经过第一、三象限；$b＞0$说明图象与y轴交于正半轴，经过第二象限。
因此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
（3）当函数图象与y轴相交时，横坐标$x=0$，将$x=0$代入$y=4x+4$，得：
$y=4×0 + 4 = 4$，因此与y轴的交点坐标为$(0,4)$。
【答案】
(1) $y = 4x + 4$ (2) 此函数的图象不经过第四象限 (3) $(0,4)$
【知识点】
一次函数表达式求解、一次函数图象性质、一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查坐标轴上点的坐标特征、一次函数参数与图象的对应关系，熟练掌握一次函数相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在平面直角坐标系中,把二元一次方程$x+y=4$的若干组解用点表示出来,发现它们都落在一条直线上.一般地,任何一个二元一次方程的所有解用点表示出来,它们都落在一条直线上.根据这个结论,解答下列问题:
(1) 根据图象写出二元一次方程$x+y=4$的所有正整数解为________;
(2) 若在直线$y=4-x$上取一点$M(1,3)$,先向下平移$a$个单位长度,再向右平移$b$个单位长度得到点$M'$,发现点$M'$又重新落在二元一次方程$x+y=4$的图象上,试探究$a,b$之间的数量关系.
(1) 根据图象写出二元一次方程$x+y=4$的所有正整数解为________;
(2) 若在直线$y=4-x$上取一点$M(1,3)$,先向下平移$a$个单位长度,再向右平移$b$个单位长度得到点$M'$,发现点$M'$又重新落在二元一次方程$x+y=4$的图象上,试探究$a,b$之间的数量关系.
答案
(1) $\begin{cases}x=1,\\y=3,\end{cases}\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=1\end{cases}$ (2) $a = b$
解析
【分析】
(1) 要找二元一次方程$x+y=4$的正整数解，需满足$x$、$y$均为大于0的正整数，结合$x+y=4$的限制，枚举符合条件的$x$、$y$值即可，也可结合图象上标注的整数点直接得出结果。
(2) 先根据点平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，求出平移后点$M'$的坐标，再将$M'$坐标代入方程$x+y=4$，化简即可得到$a$、$b$的数量关系。
【解析】
(1) 正整数解要求$x＞0$，$y＞0$，且$x$、$y$均为整数，由$x+y=4$可得：
当$x=1$时，$y=4-1=3$；
当$x=2$时，$y=4-2=2$；
当$x=3$时，$y=4-3=1$；
当$x≥4$时，$y≤0$，不符合正整数要求。
因此得到对应的正整数解。
(2) 点$M(1,3)$向下平移$a$个单位长度，纵坐标变为$3-a$，再向右平移$b$个单位长度，横坐标变为$1+b$，因此平移后点$M'$的坐标为$(1+b, 3-a)$。
∵点$M'$在二元一次方程$x+y=4$的图象上，
∴将$M'$坐标代入方程得：$(1+b)+(3-a)=4$，
整理得：$4 + b - a = 4$，即$b - a = 0$，即可得到$a$与$b$的关系。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1,\\y=3,\end{cases}\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=1\end{cases}$
(2) $a = b$
【知识点】
二元一次方程的解，点的平移规律，一次函数图象上点的特征
【点评】
本题以一次函数与二元一次方程的对应关系为载体，考查了方程解的判定及坐标平移的性质，侧重对基础知识的应用，解题时只要准确掌握平移规律和方程解的含义即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要找二元一次方程$x+y=4$的正整数解，需满足$x$、$y$均为大于0的正整数，结合$x+y=4$的限制，枚举符合条件的$x$、$y$值即可，也可结合图象上标注的整数点直接得出结果。
(2) 先根据点平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，求出平移后点$M'$的坐标，再将$M'$坐标代入方程$x+y=4$，化简即可得到$a$、$b$的数量关系。
【解析】
(1) 正整数解要求$x＞0$，$y＞0$，且$x$、$y$均为整数，由$x+y=4$可得：
当$x=1$时，$y=4-1=3$；
当$x=2$时，$y=4-2=2$；
当$x=3$时，$y=4-3=1$；
当$x≥4$时，$y≤0$，不符合正整数要求。
因此得到对应的正整数解。
(2) 点$M(1,3)$向下平移$a$个单位长度，纵坐标变为$3-a$，再向右平移$b$个单位长度，横坐标变为$1+b$，因此平移后点$M'$的坐标为$(1+b, 3-a)$。
∵点$M'$在二元一次方程$x+y=4$的图象上，
∴将$M'$坐标代入方程得：$(1+b)+(3-a)=4$，
整理得：$4 + b - a = 4$，即$b - a = 0$，即可得到$a$与$b$的关系。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1,\\y=3,\end{cases}\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=1\end{cases}$
(2) $a = b$
【知识点】
二元一次方程的解，点的平移规律，一次函数图象上点的特征
【点评】
本题以一次函数与二元一次方程的对应关系为载体，考查了方程解的判定及坐标平移的性质，侧重对基础知识的应用，解题时只要准确掌握平移规律和方程解的含义即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
