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三、解答题
7. 不解方程组，试判断下列方程组是否有解？并说明理由.
(1) $\begin{cases}x + y = 4, \\5x - y = 14;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x - 2y = 0, \\x - 2y = 3;\end{cases}$
7. 不解方程组，试判断下列方程组是否有解？并说明理由.
(1) $\begin{cases}x + y = 4, \\5x - y = 14;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x - 2y = 0, \\x - 2y = 3;\end{cases}$
答案
7. (1) 由 $\begin{cases}x + y = 4, \\5x - y = 14\end{cases}$ 得 $\begin{cases}y=-x+4,\\y=5x-14.\end{cases}$ $\because -1 ≠ 5, \therefore$ 原方程组有解 (2) 由 $\begin{cases}2x - y = 3, \\3x - 4y = 2\end{cases}$ 得 $\begin{cases}y=2x-3,\\y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}.\end{cases}$ $\because 2 ≠ \frac{3}{4}, \therefore$ 原方程组有解 (3) 原方程组无解,理由略 (4) 由 $\begin{cases}x + 2y = -1, \\2x + 4y = -2\end{cases}$ 得 $\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2},\\y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.\end{cases}$ $\therefore$ 原方程组有无数组解
解析
【分析】
要判断二元一次方程组是否有解，可先把方程组中每个二元一次方程变形为一次函数$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$）的形式，两个方程对应平面内两条直线：①若两个函数的$k$值不相等，说明两条直线相交，方程组有唯一解；②若$k$值相等、$b$值不相等，说明两条直线平行，无交点，方程组无解；③若$k$值和$b$值都相等，说明两条直线完全重合，方程组有无数组解，按照这个思路逐题判断即可。
【解析】
(1) 将方程组$\begin{cases}x + y = 4, \\5x - y = 14\end{cases}$变形得$\begin{cases}y=-x+4,\\y=5x-14\end{cases}$，
$\because$ 一次项系数$-1 ≠ 5$，两条直线斜率不同、有唯一交点，$\therefore$ 原方程组有唯一解；
(2) 将方程组$\begin{cases}2x - y = 3, \\3x - 4y = 2\end{cases}$变形得$\begin{cases}y=2x-3,\\y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\end{cases}$，
$\because$ 一次项系数$2 ≠ \frac{3}{4}$，两条直线斜率不同、有唯一交点，$\therefore$ 原方程组有唯一解；
(3) 将方程组$\begin{cases}x - 2y = 0, \\x - 2y = 3\end{cases}$变形得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x,\\y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\end{cases}$，
$\because$ 一次项系数$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，常数项$0≠-\frac{3}{2}$，两条直线斜率相同、截距不同，互相平行无交点，$\therefore$ 原方程组无解；
(4) 将方程组$\begin{cases}x + 2y = -1, \\2x + 4y = -2\end{cases}$变形得$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2},\\y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\end{cases}$，
$\because$ 一次项系数和常数项都完全相等，两条直线重合，有无数个公共点，$\therefore$ 原方程组有无数组解。
【答案】
(1) 有唯一解；(2) 有唯一解；(3) 无解；(4) 有无数组解，理由见解析。
【知识点】
二元一次方程组解的判定，一次函数与二元一次方程的关系，两直线位置关系
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程关联的基础应用，解题核心是将方程转化为一次函数形式，通过斜率、截距判断直线位置关系，无需解方程组即可快速判断解的情况，能帮助学生理解代数问题和几何图形的对应关系。
【难度系数】
0.8
要判断二元一次方程组是否有解，可先把方程组中每个二元一次方程变形为一次函数$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$）的形式，两个方程对应平面内两条直线：①若两个函数的$k$值不相等，说明两条直线相交，方程组有唯一解；②若$k$值相等、$b$值不相等，说明两条直线平行，无交点，方程组无解；③若$k$值和$b$值都相等，说明两条直线完全重合，方程组有无数组解，按照这个思路逐题判断即可。
【解析】
(1) 将方程组$\begin{cases}x + y = 4, \\5x - y = 14\end{cases}$变形得$\begin{cases}y=-x+4,\\y=5x-14\end{cases}$，
$\because$ 一次项系数$-1 ≠ 5$，两条直线斜率不同、有唯一交点，$\therefore$ 原方程组有唯一解；
(2) 将方程组$\begin{cases}2x - y = 3, \\3x - 4y = 2\end{cases}$变形得$\begin{cases}y=2x-3,\\y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\end{cases}$，
$\because$ 一次项系数$2 ≠ \frac{3}{4}$，两条直线斜率不同、有唯一交点，$\therefore$ 原方程组有唯一解；
(3) 将方程组$\begin{cases}x - 2y = 0, \\x - 2y = 3\end{cases}$变形得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x,\\y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\end{cases}$，
$\because$ 一次项系数$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，常数项$0≠-\frac{3}{2}$，两条直线斜率相同、截距不同，互相平行无交点，$\therefore$ 原方程组无解；
(4) 将方程组$\begin{cases}x + 2y = -1, \\2x + 4y = -2\end{cases}$变形得$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2},\\y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\end{cases}$，
$\because$ 一次项系数和常数项都完全相等，两条直线重合，有无数个公共点，$\therefore$ 原方程组有无数组解。
【答案】
(1) 有唯一解；(2) 有唯一解；(3) 无解；(4) 有无数组解，理由见解析。
【知识点】
二元一次方程组解的判定，一次函数与二元一次方程的关系，两直线位置关系
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程关联的基础应用，解题核心是将方程转化为一次函数形式，通过斜率、截距判断直线位置关系，无需解方程组即可快速判断解的情况，能帮助学生理解代数问题和几何图形的对应关系。
【难度系数】
0.8
8. 直线$y_1=k_1x+b_1$和$y_2=k_2x+b_2$都经过点$P(-2,1)$，其中$y_1=k_1x+b_1$的截距为$-3$，直线$y_2=k_2x+b_2$与直线$y=2x$平行，求这两条直线所对应的函数表达式。
答案
$y_1=-2x-3$，$y_2=2x+5$
解析
【分析】
求一次函数表达式通常使用待定系数法，需要确定表达式中k和b两个未知参数。对于直线$y_1$，已知截距可直接得到$b_1$的值，再结合它经过点$P(-2,1)$，将点坐标代入表达式即可求出$k_1$；对于直线$y_2$，根据“两条平行直线的一次项系数相等”可直接得到$k_2$的值，再结合它经过点$P(-2,1)$，代入坐标即可求出$b_2$，最终得到两条直线的函数表达式。
【解析】
1. 求直线$y_1$的函数表达式
一次函数$y=kx+b$的截距为$b$，已知$y_1$的截距为$-3$，因此$b_1=-3$，即$y_1=k_1x-3$。
将点$P(-2,1)$代入$y_1=k_1x-3$得：
$1 = -2k_1 - 3$
移项计算得：$-2k_1=4$，解得$k_1=-2$
因此$y_1$的函数表达式为$y_1=-2x-3$。
2. 求直线$y_2$的函数表达式
两条互相平行的直线一次项系数相等，已知$y_2$与直线$y=2x$平行，因此$k_2=2$，即$y_2=2x+b_2$。
将点$P(-2,1)$代入$y_2=2x+b_2$得：
$1 = 2×(-2) + b_2$
计算得：$1=-4+b_2$，解得$b_2=5$
因此$y_2$的函数表达式为$y_2=2x+5$。
【答案】
$y_1=-2x-3$，$y_2=2x+5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数截距的定义，两直线平行的性质
【点评】
本题是一次函数基础应用题，核心是利用一次函数的相关性质确定未知参数，解题的关键是牢记截距的含义、平行直线的系数关系，熟练掌握待定系数法的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
求一次函数表达式通常使用待定系数法，需要确定表达式中k和b两个未知参数。对于直线$y_1$，已知截距可直接得到$b_1$的值，再结合它经过点$P(-2,1)$，将点坐标代入表达式即可求出$k_1$；对于直线$y_2$，根据“两条平行直线的一次项系数相等”可直接得到$k_2$的值，再结合它经过点$P(-2,1)$，代入坐标即可求出$b_2$，最终得到两条直线的函数表达式。
【解析】
1. 求直线$y_1$的函数表达式
一次函数$y=kx+b$的截距为$b$，已知$y_1$的截距为$-3$，因此$b_1=-3$，即$y_1=k_1x-3$。
将点$P(-2,1)$代入$y_1=k_1x-3$得：
$1 = -2k_1 - 3$
移项计算得：$-2k_1=4$，解得$k_1=-2$
因此$y_1$的函数表达式为$y_1=-2x-3$。
2. 求直线$y_2$的函数表达式
两条互相平行的直线一次项系数相等，已知$y_2$与直线$y=2x$平行，因此$k_2=2$，即$y_2=2x+b_2$。
将点$P(-2,1)$代入$y_2=2x+b_2$得：
$1 = 2×(-2) + b_2$
计算得：$1=-4+b_2$，解得$b_2=5$
因此$y_2$的函数表达式为$y_2=2x+5$。
【答案】
$y_1=-2x-3$，$y_2=2x+5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数截距的定义，两直线平行的性质
【点评】
本题是一次函数基础应用题，核心是利用一次函数的相关性质确定未知参数，解题的关键是牢记截距的含义、平行直线的系数关系，熟练掌握待定系数法的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图，已知直线$l_1: y_1=-2x-3$，直线$l_2: y_2=x+3$，直线$l_1$与$l_2$交于点$P$，直线$l_1$，$l_2$分别与$y$轴交于点$A$，$B$。
（1）求点$P$的坐标；
（2）若$y_1 ＞ y_2 ＞ 0$，求$x$的取值范围；
（3）$D(m, 0)$为$x$轴上一个动点，过点$D$作$x$轴的垂线分别交直线$l_1$和$l_2$于点$E$，$F$，当$EF=3$时，求$m$的值。
（1）求点$P$的坐标；
（2）若$y_1 ＞ y_2 ＞ 0$，求$x$的取值范围；
（3）$D(m, 0)$为$x$轴上一个动点，过点$D$作$x$轴的垂线分别交直线$l_1$和$l_2$于点$E$，$F$，当$EF=3$时，求$m$的值。
答案
(1) $(-2, 1)$ (2) $-3 ＜ x ＜ -2$ (3) $-1$ 或 $-3$
解析
【分析】
（1）求两条直线的交点坐标，思路是交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此将两个一次函数解析式联立成二元一次方程组，求解方程组即可得到交点P的坐标。
（2）求满足$y_1＞y_2＞0$的x范围，可分两步：先解不等式$y_2＞0$得到x的第一个范围，再解不等式$y_1＞y_2$得到x的第二个范围，两个范围的公共部分即为所求，也可结合函数图象直观判断。
（3）过$D(m,0)$作x轴的垂线，可得E、F两点的横坐标均为m，分别代入两个解析式得到两点的纵坐标，线段EF的长度为两点纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
（1）联立直线$l_1$和$l_2$的解析式，得方程组：
$\begin{cases}y=-2x-3 \\y=x+3\end{cases}$
将第二个方程代入第一个，得：$x+3=-2x-3$，
移项合并同类项得：$3x=-6$，解得$x=-2$，
把$x=-2$代入$y=x+3$，得$y=-2+3=1$，
∴点P的坐标为$(-2,1)$。
（2）先解不等式$y_2＞0$，即$x+3＞0$，解得$x＞-3$；
再解不等式$y_1＞y_2$，即$-2x-3＞x+3$，
移项合并同类项得：$-3x＞6$，解得$x＜-2$；
同时满足两个条件的x的取值范围是$-3＜x＜-2$。
（3）
∵$D(m,0)$，过D作x轴的垂线分别交$l_1$、$l_2$于E、F，
∴E、F的横坐标均为m，
将$x=m$代入$l_1$得$E(m, -2m-3)$，代入$l_2$得$F(m, m+3)$，
由$EF=3$可得：$|(m+3)-(-2m-3)|=3$，
化简得：$|3m+6|=3$，
∴$3m+6=3$或$3m+6=-3$，
当$3m+6=3$时，$3m=-3$，解得$m=-1$；
当$3m+6=-3$时，$3m=-9$，解得$m=-3$；
综上，m的值为$-1$或$-3$。
【答案】
(1) $\boxed{(-2, 1)}$ (2) $\boxed{-3 ＜ x ＜ -2}$ (3) $\boxed{-1}$或$\boxed{-3}$
【知识点】
一次函数交点求解；一次函数与不等式；坐标与线段长度
【点评】
本题综合考查一次函数的基础应用，涵盖交点坐标求解、不等式解集判断、动点线段长度计算三类常见题型，解题时要注意结合函数性质，处理绝对值方程时需考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求两条直线的交点坐标，思路是交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此将两个一次函数解析式联立成二元一次方程组，求解方程组即可得到交点P的坐标。
（2）求满足$y_1＞y_2＞0$的x范围，可分两步：先解不等式$y_2＞0$得到x的第一个范围，再解不等式$y_1＞y_2$得到x的第二个范围，两个范围的公共部分即为所求，也可结合函数图象直观判断。
（3）过$D(m,0)$作x轴的垂线，可得E、F两点的横坐标均为m，分别代入两个解析式得到两点的纵坐标，线段EF的长度为两点纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
（1）联立直线$l_1$和$l_2$的解析式，得方程组：
$\begin{cases}y=-2x-3 \\y=x+3\end{cases}$
将第二个方程代入第一个，得：$x+3=-2x-3$，
移项合并同类项得：$3x=-6$，解得$x=-2$，
把$x=-2$代入$y=x+3$，得$y=-2+3=1$，
∴点P的坐标为$(-2,1)$。
（2）先解不等式$y_2＞0$，即$x+3＞0$，解得$x＞-3$；
再解不等式$y_1＞y_2$，即$-2x-3＞x+3$，
移项合并同类项得：$-3x＞6$，解得$x＜-2$；
同时满足两个条件的x的取值范围是$-3＜x＜-2$。
（3）
∵$D(m,0)$，过D作x轴的垂线分别交$l_1$、$l_2$于E、F，
∴E、F的横坐标均为m，
将$x=m$代入$l_1$得$E(m, -2m-3)$，代入$l_2$得$F(m, m+3)$，
由$EF=3$可得：$|(m+3)-(-2m-3)|=3$，
化简得：$|3m+6|=3$，
∴$3m+6=3$或$3m+6=-3$，
当$3m+6=3$时，$3m=-3$，解得$m=-1$；
当$3m+6=-3$时，$3m=-9$，解得$m=-3$；
综上，m的值为$-1$或$-3$。
【答案】
(1) $\boxed{(-2, 1)}$ (2) $\boxed{-3 ＜ x ＜ -2}$ (3) $\boxed{-1}$或$\boxed{-3}$
【知识点】
一次函数交点求解；一次函数与不等式；坐标与线段长度
【点评】
本题综合考查一次函数的基础应用，涵盖交点坐标求解、不等式解集判断、动点线段长度计算三类常见题型，解题时要注意结合函数性质，处理绝对值方程时需考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
