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一、选择题
1. 若直线$y=\frac{x}{2}+n$与$y=mx-1$交于点$(1,-2)$，则(
A.$m=\frac{1}{2}, n=-\frac{5}{2}$
B.$m=\frac{1}{2}, n=-1$
C.$m=-1, n=-\frac{5}{2}$
D.$m=-3, n=-\frac{3}{2}$
1. 若直线$y=\frac{x}{2}+n$与$y=mx-1$交于点$(1,-2)$，则(
C
).A.$m=\frac{1}{2}, n=-\frac{5}{2}$
B.$m=\frac{1}{2}, n=-1$
C.$m=-1, n=-\frac{5}{2}$
D.$m=-3, n=-\frac{3}{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
本题已知两条直线的交点坐标，要求解析式中的未知参数，解题思路如下：首先明确一次函数交点的性质：两条直线的交点坐标同时满足两条直线的函数解析式，因此我们可以将交点的横、纵坐标分别代入两个一次函数表达式，得到关于参数m、n的一元一次方程，分别解方程即可求出m、n的值，再对应选项选出正确答案。
【解析】
∵ 点$(1,-2)$是直线$y=\frac{x}{2}+n$与$y=mx-1$的交点
∴ 点$(1,-2)$的坐标同时满足两个函数的解析式
① 将$x=1$，$y=-2$代入$y=\frac{x}{2}+n$，得：
$-2=\frac{1}{2}+n$
移项解得：$n=-2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$
② 将$x=1$，$y=-2$代入$y=mx-1$，得：
$-2=m×1 -1$
移项解得：$m=-2+1=-1$
综上，$m=-1$，$n=-\frac{5}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数点的坐标特征、待定系数法求参数、一次函数交点性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解一次函数交点的意义，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一基本概念，代入计算即可快速求解，是对一次函数基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8
本题已知两条直线的交点坐标，要求解析式中的未知参数，解题思路如下：首先明确一次函数交点的性质：两条直线的交点坐标同时满足两条直线的函数解析式，因此我们可以将交点的横、纵坐标分别代入两个一次函数表达式，得到关于参数m、n的一元一次方程，分别解方程即可求出m、n的值，再对应选项选出正确答案。
【解析】
∵ 点$(1,-2)$是直线$y=\frac{x}{2}+n$与$y=mx-1$的交点
∴ 点$(1,-2)$的坐标同时满足两个函数的解析式
① 将$x=1$，$y=-2$代入$y=\frac{x}{2}+n$，得：
$-2=\frac{1}{2}+n$
移项解得：$n=-2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$
② 将$x=1$，$y=-2$代入$y=mx-1$，得：
$-2=m×1 -1$
移项解得：$m=-2+1=-1$
综上，$m=-1$，$n=-\frac{5}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数点的坐标特征、待定系数法求参数、一次函数交点性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解一次函数交点的意义，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一基本概念，代入计算即可快速求解，是对一次函数基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8
2. 若方程$2x + 1 = -x + a$的解是$x = 1$，则直线$y = 2x + 1$与$y = -x + a$的交点坐标是（
A.(1, 0)
B.(1, 3)
C.(-1, -1)
D.(-1, 5)
B
）。A.(1, 0)
B.(1, 3)
C.(-1, -1)
D.(-1, 5)
答案
2. B
解析
【分析】
解题首先要明确一次函数和二元一次方程的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。本题中两个直线解析式联立消去y后，得到的方程正好是题目给出的$2x + 1 = -x + a$，已知该方程的解是$x=1$，说明交点的横坐标就是1，接下来只需将$x=1$代入任意一个直线解析式求出对应的y值，就能得到交点坐标，也可以先求参数a再联立解析式求解，两种方法均可。
【解析】
∵ 直线$y=2x+1$与$y=-x+a$的交点坐标就是方程组$\begin{cases}y=2x+1\\y=-x+a\end{cases}$的解
将方程组消去y可得方程$2x+1=-x+a$，已知该方程的解为$x=1$
∴ 交点的横坐标为1
把$x=1$代入$y=2x+1$，计算得$y=2×1+1=3$
因此交点坐标为$(1,3)$
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程的联系、一次函数交点坐标求法、一元一次方程的解的含义
【点评】
本题是一次函数相关的基础题，核心是理解一次函数交点与对应二元一次方程组解的关系，掌握这一关联可以跳过求参数a的步骤，快速得出交点横坐标，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一次函数和二元一次方程的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。本题中两个直线解析式联立消去y后，得到的方程正好是题目给出的$2x + 1 = -x + a$，已知该方程的解是$x=1$，说明交点的横坐标就是1，接下来只需将$x=1$代入任意一个直线解析式求出对应的y值，就能得到交点坐标，也可以先求参数a再联立解析式求解，两种方法均可。
【解析】
∵ 直线$y=2x+1$与$y=-x+a$的交点坐标就是方程组$\begin{cases}y=2x+1\\y=-x+a\end{cases}$的解
将方程组消去y可得方程$2x+1=-x+a$，已知该方程的解为$x=1$
∴ 交点的横坐标为1
把$x=1$代入$y=2x+1$，计算得$y=2×1+1=3$
因此交点坐标为$(1,3)$
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程的联系、一次函数交点坐标求法、一元一次方程的解的含义
【点评】
本题是一次函数相关的基础题，核心是理解一次函数交点与对应二元一次方程组解的关系，掌握这一关联可以跳过求参数a的步骤，快速得出交点横坐标，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
3. 用图象法解二元一次方程组$\begin{cases}x - 2y = 4, \\ 2x + y = 4\end{cases}$时，下列选项中正确的是( ).
答案
B
解析
【分析】
要利用图象法解二元一次方程组，首先需要把方程组中的两个二元一次方程转化为一次函数y=kx+b的形式，再根据k、b的取值判断两个函数图象的走势、与坐标轴的交点，最后对比各选项的图象，匹配正确的即可。
【解析】
第一步：将方程组中的方程化为一次函数解析式：
对$x-2y=4$移项整理：$-2y=-x+4$，系数化为1得$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x - 2}$；
对$2x+y=4$移项整理得$\boldsymbol{y=-2x + 4}$。
第二步：分析两个函数的图象特征：
1. 函数$y=\frac{1}{2}x - 2$：$k=\frac{1}{2}＞0$，图象从左到右上升；$b=-2$，与y轴交点为$(0,-2)$；令$y=0$，解得$x=4$，与x轴交点为$(4,0)$。
2. 函数$y=-2x + 4$：$k=-2＜0$，图象从左到右下降；$b=4$，与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，解得$x=2$，与x轴交点为$(2,0)$。
第三步：对比选项判断：
A选项：上升的直线与y轴交于正半轴，不符合$y=\frac{1}{2}x - 2$过$(0,-2)$的特征，排除；
B选项：下降直线过$(0,4)$、$(2,0)$，上升直线过$(0,-2)$、$(4,0)$，与两个函数的图象特征完全吻合；
C选项：两条直线均交于x轴上的$(2,0)$，不符合$y=\frac{1}{2}x - 2$与x轴交于$(4,0)$的特征，排除；
D选项：两条直线均交于x轴上的$(4,0)$，不符合$y=-2x + 4$与x轴交于$(2,0)$的特征，排除。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象特征；一次函数与二元一次方程的关系；图象法解二元一次方程组
【点评】
本题核心是理解二元一次方程和一次函数图象的对应关系，解题时只需将方程转化为一次函数形式，通过分析k、b确定图象的走势和坐标轴交点即可快速判断，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要利用图象法解二元一次方程组，首先需要把方程组中的两个二元一次方程转化为一次函数y=kx+b的形式，再根据k、b的取值判断两个函数图象的走势、与坐标轴的交点，最后对比各选项的图象，匹配正确的即可。
【解析】
第一步：将方程组中的方程化为一次函数解析式：
对$x-2y=4$移项整理：$-2y=-x+4$，系数化为1得$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x - 2}$；
对$2x+y=4$移项整理得$\boldsymbol{y=-2x + 4}$。
第二步：分析两个函数的图象特征：
1. 函数$y=\frac{1}{2}x - 2$：$k=\frac{1}{2}＞0$，图象从左到右上升；$b=-2$，与y轴交点为$(0,-2)$；令$y=0$，解得$x=4$，与x轴交点为$(4,0)$。
2. 函数$y=-2x + 4$：$k=-2＜0$，图象从左到右下降；$b=4$，与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，解得$x=2$，与x轴交点为$(2,0)$。
第三步：对比选项判断：
A选项：上升的直线与y轴交于正半轴，不符合$y=\frac{1}{2}x - 2$过$(0,-2)$的特征，排除；
B选项：下降直线过$(0,4)$、$(2,0)$，上升直线过$(0,-2)$、$(4,0)$，与两个函数的图象特征完全吻合；
C选项：两条直线均交于x轴上的$(2,0)$，不符合$y=\frac{1}{2}x - 2$与x轴交于$(4,0)$的特征，排除；
D选项：两条直线均交于x轴上的$(4,0)$，不符合$y=-2x + 4$与x轴交于$(2,0)$的特征，排除。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象特征；一次函数与二元一次方程的关系；图象法解二元一次方程组
【点评】
本题核心是理解二元一次方程和一次函数图象的对应关系，解题时只需将方程转化为一次函数形式，通过分析k、b确定图象的走势和坐标轴交点即可快速判断，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图，直线$ l_1 $过点(6，0)，(0，-4)，直线$ l_2 $过点(0，4)，(2，0)，那么两直线的交点坐标可以看作方程组的解.
答案
4. 答案不唯一. 如：$\begin{cases}y=-2x+4,\\y=\frac{2}{3}x-4\end{cases}$
解析
【分析】
要确定两直线交点对应的方程组，首先需明确：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此交点坐标就是将两个解析式联立得到的方程组的解。解题步骤为：①用待定系数法分别求出直线$l_1$、$l_2$的一次函数解析式；②将两个解析式联立，即可得到所求的方程组，注意方程组的形式不唯一，与解析式等价即可。
【解析】
1. 求直线$l_1$的解析式：
设$l_1$的解析式为$y=k_1x+b_1$，将点$(6,0)$、$(0,-4)$代入得：
当$x=0$时，$y=-4$，因此$b_1=-4$；
将$(6,0)$、$b_1=-4$代入得：$0=6k_1 -4$，解得$k_1=\frac{2}{3}$，
因此$l_1$的解析式为$y=\frac{2}{3}x -4$。
2. 求直线$l_2$的解析式：
设$l_2$的解析式为$y=k_2x+b_2$，将点$(0,4)$、$(2,0)$代入得：
当$x=0$时，$y=4$，因此$b_2=4$；
将$(2,0)$、$b_2=4$代入得：$0=2k_2 +4$，解得$k_2=-2$，
因此$l_2$的解析式为$y=-2x +4$。
3. 联立两个解析式：
两直线交点坐标同时满足两个解析式，因此交点坐标可看作对应方程组的解，若将解析式整理为$ax+by=c$的形式也可，答案不唯一。
【答案】
$\begin{cases}y=-2x+4,\\y=\frac{2}{3}x-4\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题核心是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的前提，注意方程组的形式可以有多种，只要和两个一次函数解析式等价均为正确答案。
【难度系数】
0.8
要确定两直线交点对应的方程组，首先需明确：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此交点坐标就是将两个解析式联立得到的方程组的解。解题步骤为：①用待定系数法分别求出直线$l_1$、$l_2$的一次函数解析式；②将两个解析式联立，即可得到所求的方程组，注意方程组的形式不唯一，与解析式等价即可。
【解析】
1. 求直线$l_1$的解析式：
设$l_1$的解析式为$y=k_1x+b_1$，将点$(6,0)$、$(0,-4)$代入得：
当$x=0$时，$y=-4$，因此$b_1=-4$；
将$(6,0)$、$b_1=-4$代入得：$0=6k_1 -4$，解得$k_1=\frac{2}{3}$，
因此$l_1$的解析式为$y=\frac{2}{3}x -4$。
2. 求直线$l_2$的解析式：
设$l_2$的解析式为$y=k_2x+b_2$，将点$(0,4)$、$(2,0)$代入得：
当$x=0$时，$y=4$，因此$b_2=4$；
将$(2,0)$、$b_2=4$代入得：$0=2k_2 +4$，解得$k_2=-2$，
因此$l_2$的解析式为$y=-2x +4$。
3. 联立两个解析式：
两直线交点坐标同时满足两个解析式，因此交点坐标可看作对应方程组的解，若将解析式整理为$ax+by=c$的形式也可，答案不唯一。
【答案】
$\begin{cases}y=-2x+4,\\y=\frac{2}{3}x-4\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题核心是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的前提，注意方程组的形式可以有多种，只要和两个一次函数解析式等价均为正确答案。
【难度系数】
0.8
5. 一次函数$y=x+a$与$y=-2x+b$的图象交于点$(1,2)$，则关于$x$的不等式$x+a ＞ -2x+b$的解集为________。
$l_2$
$l_2$
答案
$x ＞ 1$
解析
【分析】
要解决这个不等式的解集问题，我们可以从两个角度思考：一是代数角度，先利用交点坐标求出两个一次函数的未知参数a、b，再代入不等式直接求解；二是几何角度，结合一次函数的图象性质判断：不等式$x+a ＞ -2x+b$的本质是函数$y=x+a$的函数值大于$y=-2x+b$的函数值，反映在图象上就是$y=x+a$的图象位于$y=-2x+b$图象上方时对应的x的取值范围。已知两函数交点为$(1,2)$，说明x=1时两个函数值相等，再结合两个函数的增减性就能快速判断符合条件的x范围。
【解析】
方法一：代数法
将交点$(1,2)$分别代入两个一次函数解析式：
代入$y=x+a$得：$2=1+a$，解得$a=1$；
代入$y=-2x+b$得：$2=-2×1 + b$，解得$b=4$。
将$a=1$、$b=4$代入不等式$x+a ＞ -2x+b$得：
$x+1 ＞ -2x + 4$
移项合并同类项得：$3x ＞ 3$
系数化为1得：$x ＞ 1$。
方法二：图象法
不等式$x+a ＞ -2x+b$的解集对应$y=x+a$的图象在$y=-2x+b$图象上方部分的x的取值范围。
已知两函数图象交于点$(1,2)$，即$x=1$时两个函数值相等；
又$y=x+a$的$k=1＞0$，y随x的增大而增大；$y=-2x+b$的$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，
因此当$x＞1$时，$y=x+a$的函数值大于2，$y=-2x+b$的函数值小于2，满足$x+a ＞ -2x+b$，故解集为$x＞1$。
【答案】
$x ＞ 1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数图象的性质
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题型，既可以通过代数计算求解，也可以利用数形结合思想快速得到结果，解题的关键是理解一次函数交点的意义以及函数增减性与不等式的对应关系。
【难度系数】
0.8
要解决这个不等式的解集问题，我们可以从两个角度思考：一是代数角度，先利用交点坐标求出两个一次函数的未知参数a、b，再代入不等式直接求解；二是几何角度，结合一次函数的图象性质判断：不等式$x+a ＞ -2x+b$的本质是函数$y=x+a$的函数值大于$y=-2x+b$的函数值，反映在图象上就是$y=x+a$的图象位于$y=-2x+b$图象上方时对应的x的取值范围。已知两函数交点为$(1,2)$，说明x=1时两个函数值相等，再结合两个函数的增减性就能快速判断符合条件的x范围。
【解析】
方法一：代数法
将交点$(1,2)$分别代入两个一次函数解析式：
代入$y=x+a$得：$2=1+a$，解得$a=1$；
代入$y=-2x+b$得：$2=-2×1 + b$，解得$b=4$。
将$a=1$、$b=4$代入不等式$x+a ＞ -2x+b$得：
$x+1 ＞ -2x + 4$
移项合并同类项得：$3x ＞ 3$
系数化为1得：$x ＞ 1$。
方法二：图象法
不等式$x+a ＞ -2x+b$的解集对应$y=x+a$的图象在$y=-2x+b$图象上方部分的x的取值范围。
已知两函数图象交于点$(1,2)$，即$x=1$时两个函数值相等；
又$y=x+a$的$k=1＞0$，y随x的增大而增大；$y=-2x+b$的$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，
因此当$x＞1$时，$y=x+a$的函数值大于2，$y=-2x+b$的函数值小于2，满足$x+a ＞ -2x+b$，故解集为$x＞1$。
【答案】
$x ＞ 1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数图象的性质
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题型，既可以通过代数计算求解，也可以利用数形结合思想快速得到结果，解题的关键是理解一次函数交点的意义以及函数增减性与不等式的对应关系。
【难度系数】
0.8
6. 某汽车生产厂家对其生产的 A 型汽车进行耗油量实验，实验中油箱中的剩余油量 y L 与行驶时间 t h 的关系见下表，油箱中的剩余油量 y L 与行驶路程 x km 的关系如图所示，则此 A 型汽车在实验中的平均速度为
100
km/h.答案
6. 100
解析
【分析】
要计算汽车的平均速度，根据平均速度公式$v=\frac{s}{t}$，需要找到相同耗油量对应的行驶路程和行驶时间。首先从剩余油量与行驶时间的表格中提取信息，求出单位时间的耗油量，再从剩余油量与行驶路程的图像中得到满油状态可行驶的总路程，同时算出满油可行驶的总时间，最后代入速度公式即可求出结果。
【解析】
1. 分析剩余油量和行驶时间的关系：
从表格可知，初始（$t=0$）时油箱为满油状态，油量为100L，每行驶1h油量减少8L，即每小时耗油量为8L。
则满油状态下可行驶的总时间：$t_{总}=\frac{100\mathrm{L}}{8\mathrm{L/h}}=12.5\mathrm{h}$
2. 分析剩余油量和行驶路程的关系：
从图像可知，满油状态下（$y=100\mathrm{L}$），油全部耗尽时（$y=0$）对应的总行驶路程为1250km。
3. 计算平均速度：
代入平均速度公式$v=\frac{s}{t}$得：$v=\frac{1250\mathrm{km}}{12.5\mathrm{h}}=100\mathrm{km/h}$
【答案】
100
【知识点】
一次函数的应用，平均速度计算
【点评】
本题结合表格和图像考查函数的实际应用，解题的核心是抓住耗油量这一中间量，建立路程和时间的关联，侧重考查信息提取和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算汽车的平均速度，根据平均速度公式$v=\frac{s}{t}$，需要找到相同耗油量对应的行驶路程和行驶时间。首先从剩余油量与行驶时间的表格中提取信息，求出单位时间的耗油量，再从剩余油量与行驶路程的图像中得到满油状态可行驶的总路程，同时算出满油可行驶的总时间，最后代入速度公式即可求出结果。
【解析】
1. 分析剩余油量和行驶时间的关系：
从表格可知，初始（$t=0$）时油箱为满油状态，油量为100L，每行驶1h油量减少8L，即每小时耗油量为8L。
则满油状态下可行驶的总时间：$t_{总}=\frac{100\mathrm{L}}{8\mathrm{L/h}}=12.5\mathrm{h}$
2. 分析剩余油量和行驶路程的关系：
从图像可知，满油状态下（$y=100\mathrm{L}$），油全部耗尽时（$y=0$）对应的总行驶路程为1250km。
3. 计算平均速度：
代入平均速度公式$v=\frac{s}{t}$得：$v=\frac{1250\mathrm{km}}{12.5\mathrm{h}}=100\mathrm{km/h}$
【答案】
100
【知识点】
一次函数的应用，平均速度计算
【点评】
本题结合表格和图像考查函数的实际应用，解题的核心是抓住耗油量这一中间量，建立路程和时间的关联，侧重考查信息提取和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
