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三、解答题
7. 已知直线$l_1: y_1 = k_1x + b_1$经过原点$O$和点$(-2, -4)$，直线$l_2: y_2 = k_2x + b_2$经过点$(1, 5)$和点$(8, -2)$.设这两条直线交于点$M$.
(1) 求这两条直线所对应的函数表达式,并在同一平面直角坐标系中画出这两条直线；
(2) 求点$M$的坐标；
(3) 若直线$l_2$与$x$轴交于点$N$,试求三角形$MON$的面积.
7. 已知直线$l_1: y_1 = k_1x + b_1$经过原点$O$和点$(-2, -4)$，直线$l_2: y_2 = k_2x + b_2$经过点$(1, 5)$和点$(8, -2)$.设这两条直线交于点$M$.
(1) 求这两条直线所对应的函数表达式,并在同一平面直角坐标系中画出这两条直线；
(2) 求点$M$的坐标；
(3) 若直线$l_2$与$x$轴交于点$N$,试求三角形$MON$的面积.
答案
7. (1) $y_1=2x$，$y_2=-x+6$. 图略 (2) $(2, 4)$ (3) 12
解析
【分析】
（1）求一次函数表达式可使用待定系数法：直线$l_1$过原点，可知常数项$b_1=0$，代入已知点$(-2,-4)$即可求出$k_1$；直线$l_2$已知两个点坐标，将两点坐标代入$y_2=k_2x+b_2$得到关于$k_2、b_2$的二元一次方程组，解方程组即可得到$l_2$的解析式，画直线时只需取每个直线上的两个点连线即可。
（2）两条直线的交点坐标就是两个函数解析式联立组成的方程组的解，解方程组即可得到点$M$的横、纵坐标。
（3）求$△ MON$的面积，先找到直线$l_2$与$x$轴交点$N$的坐标：$x$轴上的点纵坐标为0，代入$y_2$的解析式求出$x$即可得到$ON$的长度作为三角形的底，点$M$的纵坐标的绝对值就是三角形的高，再用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算即可。
【解析】
(1) 求直线$l_1$的解析式：
已知$l_1$过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入$y_1=k_1x+b_1$，得$b_1=0$，
再将点$(-2,-4)$代入$y_1=k_1x$，得$-4=-2k_1$，解得$k_1=2$，
因此$l_1$的函数表达式为$y_1=2x$。
求直线$l_2$的解析式：
将点$(1,5)$和$(8,-2)$代入$y_2=k_2x+b_2$，得方程组：
$\begin{cases}k_2 + b_2 = 5\\8k_2 + b_2 = -2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$7k_2=-7$，解得$k_2=-1$，
将$k_2=-1$代入$k_2 + b_2 = 5$，得$-1 + b_2=5$，解得$b_2=6$，
因此$l_2$的函数表达式为$y_2=-x+6$。画图略。
(2) 求交点$M$的坐标，联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=2x\\y=-x+6\end{cases}$
将$y=2x$代入第二个方程，得$2x=-x+6$，解得$x=2$，
将$x=2$代入$y=2x$，得$y=4$，
因此点$M$的坐标为$(2,4)$。
(3) 求点$N$的坐标：
直线$l_2$与$x$轴交于点$N$，$x$轴上点的纵坐标为0，令$y_2=0$，
则$0=-x+6$，解得$x=6$，因此$N$点坐标为$(6,0)$，即$ON=6$。
$△ MON$的底为$ON=6$，高为点$M$的纵坐标4，
因此面积$S_{△ MON}=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
(1) $y_1=2x$，$y_2=-x+6$，图略；(2) $(2,4)$；(3) $12$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点求解，一次函数与面积计算
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，侧重考查基础方法的应用，掌握待定系数法、一次函数交点与方程组的关系，结合坐标求几何图形面积的思路，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
（1）求一次函数表达式可使用待定系数法：直线$l_1$过原点，可知常数项$b_1=0$，代入已知点$(-2,-4)$即可求出$k_1$；直线$l_2$已知两个点坐标，将两点坐标代入$y_2=k_2x+b_2$得到关于$k_2、b_2$的二元一次方程组，解方程组即可得到$l_2$的解析式，画直线时只需取每个直线上的两个点连线即可。
（2）两条直线的交点坐标就是两个函数解析式联立组成的方程组的解，解方程组即可得到点$M$的横、纵坐标。
（3）求$△ MON$的面积，先找到直线$l_2$与$x$轴交点$N$的坐标：$x$轴上的点纵坐标为0，代入$y_2$的解析式求出$x$即可得到$ON$的长度作为三角形的底，点$M$的纵坐标的绝对值就是三角形的高，再用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算即可。
【解析】
(1) 求直线$l_1$的解析式：
已知$l_1$过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入$y_1=k_1x+b_1$，得$b_1=0$，
再将点$(-2,-4)$代入$y_1=k_1x$，得$-4=-2k_1$，解得$k_1=2$，
因此$l_1$的函数表达式为$y_1=2x$。
求直线$l_2$的解析式：
将点$(1,5)$和$(8,-2)$代入$y_2=k_2x+b_2$，得方程组：
$\begin{cases}k_2 + b_2 = 5\\8k_2 + b_2 = -2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$7k_2=-7$，解得$k_2=-1$，
将$k_2=-1$代入$k_2 + b_2 = 5$，得$-1 + b_2=5$，解得$b_2=6$，
因此$l_2$的函数表达式为$y_2=-x+6$。画图略。
(2) 求交点$M$的坐标，联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=2x\\y=-x+6\end{cases}$
将$y=2x$代入第二个方程，得$2x=-x+6$，解得$x=2$，
将$x=2$代入$y=2x$，得$y=4$，
因此点$M$的坐标为$(2,4)$。
(3) 求点$N$的坐标：
直线$l_2$与$x$轴交于点$N$，$x$轴上点的纵坐标为0，令$y_2=0$，
则$0=-x+6$，解得$x=6$，因此$N$点坐标为$(6,0)$，即$ON=6$。
$△ MON$的底为$ON=6$，高为点$M$的纵坐标4，
因此面积$S_{△ MON}=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
(1) $y_1=2x$，$y_2=-x+6$，图略；(2) $(2,4)$；(3) $12$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点求解，一次函数与面积计算
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，侧重考查基础方法的应用，掌握待定系数法、一次函数交点与方程组的关系，结合坐标求几何图形面积的思路，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8. A，B两地相距50 km，下午1时甲骑自行车从A地出发去B地，乙也在同日下午骑摩托车从A地去B地.图中折线PQR和线段MN分别代表甲和乙所行驶的路程s km与该日下午时间t时之间的关系.
（1）甲出发多长时间后乙才出发？
（2）乙行驶多长时间就追上了甲？这时两人离B地还有多远？
（1）甲出发多长时间后乙才出发？
（2）乙行驶多长时间就追上了甲？这时两人离B地还有多远？
答案
8. (1) 甲出发1 h乙才开始出发 (2) 乙行驶0.5 h追上甲，这时两人离B地还有25 km
解析
【分析】
本题是结合s-t行程图像的一次函数应用题，解题思路如下：
（1）第一问观察图像横轴的出发时间：甲对应出发时间是t=1时，乙对应出发时间是t=2时，两者的时间差就是甲先出发的时长；
（2）第二问追及问题对应两个函数图像的交点，首先用待定系数法分别求出甲在QR段的一次函数解析式、乙在MN段的一次函数解析式，联立两个解析式得到方程组，解出交点的横坐标就是追及时的时间，减去乙的出发时间得到乙的行驶时长，再代入解析式求出已行驶路程，用总路程50km减去已行驶路程即可得到离B地的距离。
【解析】
（1）由图像可知，甲下午1时（$t=1$）出发，乙下午2时（$t=2$）出发，
则甲出发后乙才出发的时长为：$2 - 1 = 1\ \mathrm{h}$。
（2）①求甲在QR段的路程与时间的函数解析式：
设QR段解析式为$s = k_1t + b_1$，代入$Q(2,20)$、$R(5,50)$两点坐标得：
$\begin{cases}2k_1 + b_1 = 20 \\5k_1 + b_1 = 50 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1 = 10 \\b_1 = 0 \end{cases}$，即$s = 10t\ \ (2≤ t≤5)$。
②求乙在MN段的路程与时间的函数解析式：
设MN段解析式为$s = k_2t + b_2$，代入$M(2,0)$、$N(3,50)$两点坐标得：
$\begin{cases}2k_2 + b_2 = 0 \\3k_2 + b_2 = 50 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2 = 50 \\b_2 = -100 \end{cases}$，即$s = 50t - 100\ \ (2≤ t≤3)$。
③联立两个解析式求交点：
$\begin{cases}s = 10t \\s = 50t - 100 \end{cases}$
解得$\begin{cases}t = 2.5 \\s = 25 \end{cases}$
乙行驶的时长为$2.5 - 2 = 0.5\ \mathrm{h}$，此时两人离B地的距离为$50 - 25 = 25\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) 甲出发1 h乙才开始出发
(2) 乙行驶0.5 h追上甲，这时两人离B地还有25 km
【知识点】
s-t图像识别，待定系数法求解析式，一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，核心是掌握从函数图像提取信息的方法，理解两个函数图像交点对应的实际意义，熟练运用待定系数法求解析式是解题的关键，这类题型是函数应用部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题是结合s-t行程图像的一次函数应用题，解题思路如下：
（1）第一问观察图像横轴的出发时间：甲对应出发时间是t=1时，乙对应出发时间是t=2时，两者的时间差就是甲先出发的时长；
（2）第二问追及问题对应两个函数图像的交点，首先用待定系数法分别求出甲在QR段的一次函数解析式、乙在MN段的一次函数解析式，联立两个解析式得到方程组，解出交点的横坐标就是追及时的时间，减去乙的出发时间得到乙的行驶时长，再代入解析式求出已行驶路程，用总路程50km减去已行驶路程即可得到离B地的距离。
【解析】
（1）由图像可知，甲下午1时（$t=1$）出发，乙下午2时（$t=2$）出发，
则甲出发后乙才出发的时长为：$2 - 1 = 1\ \mathrm{h}$。
（2）①求甲在QR段的路程与时间的函数解析式：
设QR段解析式为$s = k_1t + b_1$，代入$Q(2,20)$、$R(5,50)$两点坐标得：
$\begin{cases}2k_1 + b_1 = 20 \\5k_1 + b_1 = 50 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1 = 10 \\b_1 = 0 \end{cases}$，即$s = 10t\ \ (2≤ t≤5)$。
②求乙在MN段的路程与时间的函数解析式：
设MN段解析式为$s = k_2t + b_2$，代入$M(2,0)$、$N(3,50)$两点坐标得：
$\begin{cases}2k_2 + b_2 = 0 \\3k_2 + b_2 = 50 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2 = 50 \\b_2 = -100 \end{cases}$，即$s = 50t - 100\ \ (2≤ t≤3)$。
③联立两个解析式求交点：
$\begin{cases}s = 10t \\s = 50t - 100 \end{cases}$
解得$\begin{cases}t = 2.5 \\s = 25 \end{cases}$
乙行驶的时长为$2.5 - 2 = 0.5\ \mathrm{h}$，此时两人离B地的距离为$50 - 25 = 25\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) 甲出发1 h乙才开始出发
(2) 乙行驶0.5 h追上甲，这时两人离B地还有25 km
【知识点】
s-t图像识别，待定系数法求解析式，一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，核心是掌握从函数图像提取信息的方法，理解两个函数图像交点对应的实际意义，熟练运用待定系数法求解析式是解题的关键，这类题型是函数应用部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
9. 某工程机械厂根据市场需求，计划生产A,B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22 400万元，但不超过22 500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价见下表：
(1) 该厂对这两种型号挖掘机有哪几种生产方案？
(2) 该厂如何生产能获得最大利润？
(3) 若每台B型挖掘机的售价不变，每台A型挖掘机的售价提高$m(m＞0)$万元，该厂如何生产可以获得最大利润？
(1) 该厂对这两种型号挖掘机有哪几种生产方案？
(2) 该厂如何生产能获得最大利润？
(3) 若每台B型挖掘机的售价不变，每台A型挖掘机的售价提高$m(m＞0)$万元，该厂如何生产可以获得最大利润？
答案
(1) 有三种方案：生产A型38台，生产B型62台；生产A型39台，生产B型61台；生产A型40台，生产B型60台 (2) 当生产A型38台，生产B型62台时，获得利润最大 (3) 当$0 ＜ m ＜ 10$时，生产A型38台，生产B型62台，获得利润最大；当$m=10$时，三种生产方案获得利润相等；当$m ＞ 10$时，生产A型40台，生产B型60台，获得利润最大
解析
【分析】
我们分三步梳理解题思路：
1. 求解生产方案：设生产A型挖掘机x台，B型则为(100-x)台，根据总生产资金的上下限列出一元一次不等式组，求出x的取值范围后取正整数解，即可得到所有可行方案。
2. 求最大利润：先计算两种型号单台利润，列出总利润关于x的一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围就能找到利润最大的方案。
3. 售价变动后的利润问题：重新列出A型提价后的总利润表达式，此时x的系数含参数m，分系数大于0、等于0、小于0三种情况讨论，结合一次函数增减性即可判断对应最大利润的方案。
【解析】
(1) 设生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机$(100-x)$台，根据资金约束列不等式组：
$\begin{cases}200x + 240(100-x) ≥ 22400 \\200x + 240(100-x) ≤ 22500 \end{cases}$
解第一个不等式：
$200x+24000-240x≥22400$，化简得$x≤40$
解第二个不等式：
$200x+24000-240x≤22500$，化简得$x≥37.5$
$\because x$为非负整数，$\therefore x=38、39、40$，对应三种方案：
方案1：A型38台，B型$100-38=62$台；
方案2：A型39台，B型$100-39=61$台；
方案3：A型40台，B型$100-40=60$台。
(2) 设总利润为$W$万元，单台A型利润为$250-200=50$万元，单台B型利润为$300-240=60$万元，则：
$W=50x+60(100-x)=6000-10x$
$\because$一次函数中$k=-10＜0$，$W$随$x$的增大而减小，$\therefore x$取最小值38时$W$最大，即生产A型38台、B型62台时利润最大。
(3) A型售价提高$m$万元后，单台A型利润为$(50+m)$万元，总利润为：
$W=(50+m)x+60(100-x)=6000+(m-10)x$
分情况讨论：
① 当$m-10＜0$即$0＜m＜10$时，$W$随$x$的增大而减小，$x=38$时$W$最大，即生产A型38台、B型62台利润最大；
② 当$m-10=0$即$m=10$时，$W=6000$，三种方案利润相等；
③ 当$m-10＞0$即$m＞10$时，$W$随$x$的增大而增大，$x=40$时$W$最大，即生产A型40台、B型60台利润最大。
【答案】
(1) 有三种方案：生产A型38台，生产B型62台；生产A型39台，生产B型61台；生产A型40台，生产B型60台
(2) 当生产A型38台，生产B型62台时，获得利润最大
(3) 当$0 ＜ m ＜ 10$时，生产A型38台，生产B型62台，获得利润最大；当$m=10$时，三种生产方案获得利润相等；当$m ＞ 10$时，生产A型40台，生产B型60台，获得利润最大
【知识点】
一元一次不等式组应用；一次函数应用；分类讨论
【点评】
本题是方案设计类典型题型，结合了不等式组整数解、一次函数增减性及参数分类讨论的考查，只要理清数量关系，熟练掌握一次函数性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.6
我们分三步梳理解题思路：
1. 求解生产方案：设生产A型挖掘机x台，B型则为(100-x)台，根据总生产资金的上下限列出一元一次不等式组，求出x的取值范围后取正整数解，即可得到所有可行方案。
2. 求最大利润：先计算两种型号单台利润，列出总利润关于x的一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围就能找到利润最大的方案。
3. 售价变动后的利润问题：重新列出A型提价后的总利润表达式，此时x的系数含参数m，分系数大于0、等于0、小于0三种情况讨论，结合一次函数增减性即可判断对应最大利润的方案。
【解析】
(1) 设生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机$(100-x)$台，根据资金约束列不等式组：
$\begin{cases}200x + 240(100-x) ≥ 22400 \\200x + 240(100-x) ≤ 22500 \end{cases}$
解第一个不等式：
$200x+24000-240x≥22400$，化简得$x≤40$
解第二个不等式：
$200x+24000-240x≤22500$，化简得$x≥37.5$
$\because x$为非负整数，$\therefore x=38、39、40$，对应三种方案：
方案1：A型38台，B型$100-38=62$台；
方案2：A型39台，B型$100-39=61$台；
方案3：A型40台，B型$100-40=60$台。
(2) 设总利润为$W$万元，单台A型利润为$250-200=50$万元，单台B型利润为$300-240=60$万元，则：
$W=50x+60(100-x)=6000-10x$
$\because$一次函数中$k=-10＜0$，$W$随$x$的增大而减小，$\therefore x$取最小值38时$W$最大，即生产A型38台、B型62台时利润最大。
(3) A型售价提高$m$万元后，单台A型利润为$(50+m)$万元，总利润为：
$W=(50+m)x+60(100-x)=6000+(m-10)x$
分情况讨论：
① 当$m-10＜0$即$0＜m＜10$时，$W$随$x$的增大而减小，$x=38$时$W$最大，即生产A型38台、B型62台利润最大；
② 当$m-10=0$即$m=10$时，$W=6000$，三种方案利润相等；
③ 当$m-10＞0$即$m＞10$时，$W$随$x$的增大而增大，$x=40$时$W$最大，即生产A型40台、B型60台利润最大。
【答案】
(1) 有三种方案：生产A型38台，生产B型62台；生产A型39台，生产B型61台；生产A型40台，生产B型60台
(2) 当生产A型38台，生产B型62台时，获得利润最大
(3) 当$0 ＜ m ＜ 10$时，生产A型38台，生产B型62台，获得利润最大；当$m=10$时，三种生产方案获得利润相等；当$m ＞ 10$时，生产A型40台，生产B型60台，获得利润最大
【知识点】
一元一次不等式组应用；一次函数应用；分类讨论
【点评】
本题是方案设计类典型题型，结合了不等式组整数解、一次函数增减性及参数分类讨论的考查，只要理清数量关系，熟练掌握一次函数性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.6
