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10. [2025 淮北二模] 如图，一块直角三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径重合，CD经过量角器的中心，且点D对应的刻度值为$64°$，则$∠ BCD$的度数为（
A.$58°$
B.$60°$
C.$62°$
D.$64°$
A
）A.$58°$
B.$60°$
C.$62°$
D.$64°$
答案
10.A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：直角三角尺ABC的斜边AB与量角器直径重合，可推出点C在以AB为直径的圆上，符合直径所对圆周角是直角的推论；CD过了量角器的中心（即AB中点、圆心O），点D对应的刻度64°就是圆心角∠AOD的度数，再根据圆周角定理求出∠ACD的度数，最后用直角∠ACB减去∠ACD即可得到∠BCD的度数。
【解析】
设量角器的中心为点O：
1. 因为直角三角尺ABC的斜边AB与量角器直径重合，因此点C在以O为圆心、AB为直径的圆上，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$。
2. 点D对应的刻度为$64°$，因此圆心角$∠ AOD=64°$。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AD所对的圆周角$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×64°=32°$。
4. 因此$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=90°-32°=58°$。
【答案】A
【知识点】
圆周角定理；圆周角定理推论
【点评】
本题结合量角器和直角三角尺考查圆周角相关性质，解题的关键是明确量角器的刻度对应圆心角度数，再结合直径所对圆周角为直角的性质即可计算得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：直角三角尺ABC的斜边AB与量角器直径重合，可推出点C在以AB为直径的圆上，符合直径所对圆周角是直角的推论；CD过了量角器的中心（即AB中点、圆心O），点D对应的刻度64°就是圆心角∠AOD的度数，再根据圆周角定理求出∠ACD的度数，最后用直角∠ACB减去∠ACD即可得到∠BCD的度数。
【解析】
设量角器的中心为点O：
1. 因为直角三角尺ABC的斜边AB与量角器直径重合，因此点C在以O为圆心、AB为直径的圆上，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$。
2. 点D对应的刻度为$64°$，因此圆心角$∠ AOD=64°$。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AD所对的圆周角$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×64°=32°$。
4. 因此$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=90°-32°=58°$。
【答案】A
【知识点】
圆周角定理；圆周角定理推论
【点评】
本题结合量角器和直角三角尺考查圆周角相关性质，解题的关键是明确量角器的刻度对应圆心角度数，再结合直径所对圆周角为直角的性质即可计算得到结果。
【难度系数】
0.7
11.如图，AB是$\odot O$的弦，$OC⊥ AB$交$\odot O$于点C，点D是$\odot O$上一点，连接BD，CD。若$∠ D=28°$，则$∠ OAB$的度数为（
A.$28°$
B.$34°$
C.$56°$
D.$62°$
B
）A.$28°$
B.$34°$
C.$56°$
D.$62°$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先已知圆周角∠D的度数，根据圆周角定理可求出同弧对应的圆心角∠BOC的度数；再结合OC⊥AB的条件，利用等腰三角形三线合一或垂径定理的推论，可得OC平分∠AOB，从而得到∠AOC的度数；最后在OC与AB垂直形成的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠OAB的度数。
【解析】
设OC与AB的交点为点E。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。∠D是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，因此$∠ BOC=2∠ D=2×28°=56°$。
2. 已知OA、OB都是$\odot O$的半径，故$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，又因为$OC⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，OC平分$∠ AOB$，即$∠ AOC=∠ BOC=56°$。
3. 由$OC⊥ AB$可得$∠ AEO=90°$，在$Rt△ AEO$中，$∠ OAB+∠ AOC=90°$，因此$∠ OAB=90°-∠ AOC=90°-56°=34°$。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础类考题，重点考查圆的核心性质和三角形角度计算的结合应用，解题的关键是准确找到圆周角和对应圆心角的关系，结合垂直条件推导角度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先已知圆周角∠D的度数，根据圆周角定理可求出同弧对应的圆心角∠BOC的度数；再结合OC⊥AB的条件，利用等腰三角形三线合一或垂径定理的推论，可得OC平分∠AOB，从而得到∠AOC的度数；最后在OC与AB垂直形成的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠OAB的度数。
【解析】
设OC与AB的交点为点E。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。∠D是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，因此$∠ BOC=2∠ D=2×28°=56°$。
2. 已知OA、OB都是$\odot O$的半径，故$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，又因为$OC⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，OC平分$∠ AOB$，即$∠ AOC=∠ BOC=56°$。
3. 由$OC⊥ AB$可得$∠ AEO=90°$，在$Rt△ AEO$中，$∠ OAB+∠ AOC=90°$，因此$∠ OAB=90°-∠ AOC=90°-56°=34°$。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础类考题，重点考查圆的核心性质和三角形角度计算的结合应用，解题的关键是准确找到圆周角和对应圆心角的关系，结合垂直条件推导角度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. 分类讨论思想 已知$△ ABC$内接于$\odot O$，若$∠ AOB=120°$，则$∠ C$的度数是（
A.$60°$
B.$120°$
C.$60°$或$120°$
D.$30°$或$150°$
C
）A.$60°$
B.$120°$
C.$60°$或$120°$
D.$30°$或$150°$
答案
12.C
解析
【分析】
解题时需结合圆周角定理，同时注意点C在圆上的位置存在两种情况，需分类讨论：首先明确圆心角∠AOB对应的劣弧AB度数为120°；再分两种情况计算∠C：①点C落在优弧AB上，此时∠C是劣弧AB所对的圆周角，直接用圆周角定理求解；②点C落在劣弧AB上，此时∠C是优弧AB所对的圆周角，先算出优弧AB的度数，再用圆周角定理求解，最后汇总两种结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时∠C对应劣弧AB，已知∠AOB=120°，因此$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$；
2. 当点C在劣弧AB上时，优弧AB的度数为$360°-120°=240°$，此时∠C对应优弧AB，因此$∠ C=\frac{1}{2}×240°=120°$。
综上，∠C的度数为$60°$或$120°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种可能，仅计算点C在优弧上的情况导致漏解，解题时要结合题意考虑所有可能的图形位置，避免思维定式漏解。
【难度系数】
0.6
解题时需结合圆周角定理，同时注意点C在圆上的位置存在两种情况，需分类讨论：首先明确圆心角∠AOB对应的劣弧AB度数为120°；再分两种情况计算∠C：①点C落在优弧AB上，此时∠C是劣弧AB所对的圆周角，直接用圆周角定理求解；②点C落在劣弧AB上，此时∠C是优弧AB所对的圆周角，先算出优弧AB的度数，再用圆周角定理求解，最后汇总两种结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时∠C对应劣弧AB，已知∠AOB=120°，因此$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$；
2. 当点C在劣弧AB上时，优弧AB的度数为$360°-120°=240°$，此时∠C对应优弧AB，因此$∠ C=\frac{1}{2}×240°=120°$。
综上，∠C的度数为$60°$或$120°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种可能，仅计算点C在优弧上的情况导致漏解，解题时要结合题意考虑所有可能的图形位置，避免思维定式漏解。
【难度系数】
0.6
13.新情境如图,海边有两座灯塔A,B,暗礁分布在经过A,B两点的弓形(弓形的弧是$\odot O$的一部分)区域内(不包括边界),$∠ AOB=96°$,为了避免触礁,轮船P与A,B的张角$∠ APB$的最大值为
48°
.答案
13.48°
解析
【分析】
解题思路如下：首先确定∠APB取最大值的临界位置：为避免触礁，轮船P不能进入弓形暗礁区域，当P恰好落在⊙O的圆周上时，∠APB达到最大值，若∠APB超过该值，P就会进入暗礁区域。接下来回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，已知弧AB对应的圆心角∠AOB=96°，代入定理即可求出最大张角的度数。
【解析】
要避免触礁，轮船P需在弓形暗礁区域外，当P位于⊙O的圆周上时，∠APB取得最大值，此时∠APB是弧AB所对的圆周角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知弧AB所对的圆心角∠AOB=96°，因此：
$∠ APB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2} × 96° = 48°$
【答案】
$48°$
【知识点】
1.圆周角定理
2.最值临界分析
【点评】
本题结合航海避礁的实际情境，考查圆周角定理的应用，解题的核心是明确张角最大的临界状态为点P在圆周上，再利用圆周角定理计算即可，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先确定∠APB取最大值的临界位置：为避免触礁，轮船P不能进入弓形暗礁区域，当P恰好落在⊙O的圆周上时，∠APB达到最大值，若∠APB超过该值，P就会进入暗礁区域。接下来回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，已知弧AB对应的圆心角∠AOB=96°，代入定理即可求出最大张角的度数。
【解析】
要避免触礁，轮船P需在弓形暗礁区域外，当P位于⊙O的圆周上时，∠APB取得最大值，此时∠APB是弧AB所对的圆周角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知弧AB所对的圆心角∠AOB=96°，因此：
$∠ APB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2} × 96° = 48°$
【答案】
$48°$
【知识点】
1.圆周角定理
2.最值临界分析
【点评】
本题结合航海避礁的实际情境，考查圆周角定理的应用，解题的核心是明确张角最大的临界状态为点P在圆周上，再利用圆周角定理计算即可，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
14.如图,已知A,B两点的坐标分别为(8,0),(0,6),P是△AOB外接圆上的一动点.若∠AOP=45°,则点P的坐标为
(7,7)
.答案
14.(7,7)
解析
【分析】
首先，△AOB是直角三角形，直角顶点为原点O，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可得AB是△AOB外接圆的直径，先求出外接圆的圆心（即AB中点）和半径。再由∠AOP=45°可知，点P在第一象限的角平分线上，即点P的横、纵坐标相等，可设P(x,x)，最后根据圆上的点到圆心的距离等于半径列方程求解即可。
【解析】
1. 求△AOB外接圆的圆心和半径：
已知A(8,0)、B(0,6)，∠AOB=90°，因此AB是外接圆的直径。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，所以外接圆半径为$10÷2=5$。
外接圆的圆心为AB的中点，坐标为$(\frac{8+0}{2},\frac{0+6}{2})=(4,3)$。
2. 设点P的坐标：
因为∠AOP=45°，且P位于第一象限，所以点P在直线$y=x$上，设P的坐标为$(x,x)$。
3. 列方程求解：
点P在圆上，因此P到圆心(4,3)的距离等于半径5，由两点间距离公式得：
$\sqrt{(x-4)^2+(x-3)^2}=5$
两边平方得：$(x-4)^2+(x-3)^2=25$
展开整理得：$2x^2-14x=0$，即$2x(x-7)=0$
解得$x_1=0$（对应原点O，不符合题意舍去），$x_2=7$。
因此点P的坐标为(7,7)。
【答案】
$(7,7)$
【知识点】
圆周角定理推论，直角三角形外接圆性质，勾股定理
【点评】
本题将圆周角性质与平面直角坐标系结合考查，解题的关键是先确定外接圆的基本参数，再结合特殊角的坐标特征设未知数，用方程思想求解，整体综合性较强，需要熟练掌握圆的基本性质和坐标系的相关运算。
【难度系数】
0.6
首先，△AOB是直角三角形，直角顶点为原点O，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可得AB是△AOB外接圆的直径，先求出外接圆的圆心（即AB中点）和半径。再由∠AOP=45°可知，点P在第一象限的角平分线上，即点P的横、纵坐标相等，可设P(x,x)，最后根据圆上的点到圆心的距离等于半径列方程求解即可。
【解析】
1. 求△AOB外接圆的圆心和半径：
已知A(8,0)、B(0,6)，∠AOB=90°，因此AB是外接圆的直径。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，所以外接圆半径为$10÷2=5$。
外接圆的圆心为AB的中点，坐标为$(\frac{8+0}{2},\frac{0+6}{2})=(4,3)$。
2. 设点P的坐标：
因为∠AOP=45°，且P位于第一象限，所以点P在直线$y=x$上，设P的坐标为$(x,x)$。
3. 列方程求解：
点P在圆上，因此P到圆心(4,3)的距离等于半径5，由两点间距离公式得：
$\sqrt{(x-4)^2+(x-3)^2}=5$
两边平方得：$(x-4)^2+(x-3)^2=25$
展开整理得：$2x^2-14x=0$，即$2x(x-7)=0$
解得$x_1=0$（对应原点O，不符合题意舍去），$x_2=7$。
因此点P的坐标为(7,7)。
【答案】
$(7,7)$
【知识点】
圆周角定理推论，直角三角形外接圆性质，勾股定理
【点评】
本题将圆周角性质与平面直角坐标系结合考查，解题的关键是先确定外接圆的基本参数，再结合特殊角的坐标特征设未知数，用方程思想求解，整体综合性较强，需要熟练掌握圆的基本性质和坐标系的相关运算。
【难度系数】
0.6
15. 如图，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，$∠ AOB=2∠ BOC$.
(1)求证：$∠ ACB=2∠ BAC$；
(2)若AC平分$∠ OAB$，求$∠ AOC$的度数.
(1)求证：$∠ ACB=2∠ BAC$；
(2)若AC平分$∠ OAB$，求$∠ AOC$的度数.
答案
15.(1)证明：略.(2)解: $135°$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠ACB=2∠BAC，可依据圆周角定理，分别找到两个圆周角对应的圆心角，结合已知的∠AOB=2∠BOC的关系即可完成推导；
(2) 可设∠BOC为α，用含α的式子表示相关角，再结合角平分线性质、等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理列方程求出α，最后计算∠AOC的度数即可。
【解析】
(1) 证明：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
弧$AB$所对的圆周角为$∠ ACB$，圆心角为$∠ AOB$，因此$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$；
弧$BC$所对的圆周角为$∠ BAC$，圆心角为$∠ BOC$，因此$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ AOB=2∠ BOC$，代入可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×2∠ BOC=∠ BOC=2×\frac{1}{2}∠ BOC=2∠ BAC$，
故$∠ ACB=2∠ BAC$，得证。
(2) 解：设$∠ BOC=α$，
由$∠ AOB=2∠ BOC$，得$∠ AOB=2α$，
根据圆周角定理，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}α$，
∵$AC$平分$∠ OAB$，
∴$∠ OAB=2∠ BAC=2×\frac{1}{2}α=α$，
∵$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，$∠ OBA=∠ OAB=α$，
在$△ OAB$中，内角和为$180°$，因此：
$∠ AOB+∠ OAB+∠ OBA=180°$，
代入得$2α+α+α=180°$，
解得$α=45°$，
∴$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=2α+α=3α=3×45°=135°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $135°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，角平分线定义
【点评】
本题是圆中角度计算与证明的常规题型，解题的核心是熟练运用圆周角定理建立圆周角和圆心角的数量关系，结合三角形的相关性质求解，也体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠ACB=2∠BAC，可依据圆周角定理，分别找到两个圆周角对应的圆心角，结合已知的∠AOB=2∠BOC的关系即可完成推导；
(2) 可设∠BOC为α，用含α的式子表示相关角，再结合角平分线性质、等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理列方程求出α，最后计算∠AOC的度数即可。
【解析】
(1) 证明：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
弧$AB$所对的圆周角为$∠ ACB$，圆心角为$∠ AOB$，因此$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$；
弧$BC$所对的圆周角为$∠ BAC$，圆心角为$∠ BOC$，因此$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ AOB=2∠ BOC$，代入可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×2∠ BOC=∠ BOC=2×\frac{1}{2}∠ BOC=2∠ BAC$，
故$∠ ACB=2∠ BAC$，得证。
(2) 解：设$∠ BOC=α$，
由$∠ AOB=2∠ BOC$，得$∠ AOB=2α$，
根据圆周角定理，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}α$，
∵$AC$平分$∠ OAB$，
∴$∠ OAB=2∠ BAC=2×\frac{1}{2}α=α$，
∵$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，$∠ OBA=∠ OAB=α$，
在$△ OAB$中，内角和为$180°$，因此：
$∠ AOB+∠ OAB+∠ OBA=180°$，
代入得$2α+α+α=180°$，
解得$α=45°$，
∴$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=2α+α=3α=3×45°=135°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $135°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，角平分线定义
【点评】
本题是圆中角度计算与证明的常规题型，解题的核心是熟练运用圆周角定理建立圆周角和圆心角的数量关系，结合三角形的相关性质求解，也体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P在矩形的内部,连接PA,PB,PC.若∠APB=90°,则PC长的最小值是
$\sqrt{13}-2$
.答案
1.$\sqrt{13}-2$
解析
【分析】
首先，由∠APB=90°，结合圆周角定理的推论“直径所对的圆周角为直角”，可判断动点P的轨迹是以AB为直径的圆在矩形内部的部分。要求PC的最小值，根据点与圆的位置关系可知，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径，因此只需先确定圆心，计算圆心到点C的距离，再减去半径即可求解。
【解析】
取AB的中点O，
∵∠APB=90°，
∴动点P在以AB为直径的⊙O上（且在矩形ABCD内部），
∴⊙O的半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB=2，BC=3，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
当O、P、C三点共线时，PC的长度最小，最小值为$OC - r = \sqrt{13} - 2$。
【答案】
$\sqrt{13}-2$
【知识点】
圆周角定理推论，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题是隐圆问题的典型考法，解题的突破口是根据90°的定角确定动点的轨迹为圆，再结合点到圆上点的最短距离的规律求解，综合考查了圆的性质与勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
首先，由∠APB=90°，结合圆周角定理的推论“直径所对的圆周角为直角”，可判断动点P的轨迹是以AB为直径的圆在矩形内部的部分。要求PC的最小值，根据点与圆的位置关系可知，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径，因此只需先确定圆心，计算圆心到点C的距离，再减去半径即可求解。
【解析】
取AB的中点O，
∵∠APB=90°，
∴动点P在以AB为直径的⊙O上（且在矩形ABCD内部），
∴⊙O的半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB=2，BC=3，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
当O、P、C三点共线时，PC的长度最小，最小值为$OC - r = \sqrt{13} - 2$。
【答案】
$\sqrt{13}-2$
【知识点】
圆周角定理推论，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题是隐圆问题的典型考法，解题的突破口是根据90°的定角确定动点的轨迹为圆，再结合点到圆上点的最短距离的规律求解，综合考查了圆的性质与勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$D$是边$BC$上的一个动点，连接$AD$，过点$C$作$CE⊥ AD$于点$E$，连接$BE$. 在点$D$运动的过程中，线段$BE$长度的最小值是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
答案
2.$\frac{3\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{2}$ cm
解析
【分析】
首先观察到CE⊥AD恒成立，故∠AEC=90°保持不变，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可确定动点E的轨迹是以AC为直径的圆。要求BE的最小值，可转化为求点B到该圆上点的最短距离，即点B到圆心的距离减去圆的半径，按此思路逐步计算即可。
【解析】
取AC的中点O，以O为圆心，AC为直径作圆。
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴点E始终在⊙O上，⊙O的半径$r=\frac{1}{2}AC=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，$OC=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCB$中，∠OCB=90°，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+3^2}=\sqrt{\frac{27}{4}+9}=\sqrt{\frac{63}{4}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据点到圆上点的最短距离规律，BE的最小值为$OB - r$，即：
$BE_{\mathrm{min}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{2}$ cm
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理；点圆最值
【点评】
本题的核心是通过定角（90°）确定动点的隐圆轨迹，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题，是几何最值类题目的典型考法，需熟练掌握隐圆的判定特征和最值计算方法。
【难度系数】
0.4
首先观察到CE⊥AD恒成立，故∠AEC=90°保持不变，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可确定动点E的轨迹是以AC为直径的圆。要求BE的最小值，可转化为求点B到该圆上点的最短距离，即点B到圆心的距离减去圆的半径，按此思路逐步计算即可。
【解析】
取AC的中点O，以O为圆心，AC为直径作圆。
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴点E始终在⊙O上，⊙O的半径$r=\frac{1}{2}AC=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，$OC=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCB$中，∠OCB=90°，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+3^2}=\sqrt{\frac{27}{4}+9}=\sqrt{\frac{63}{4}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据点到圆上点的最短距离规律，BE的最小值为$OB - r$，即：
$BE_{\mathrm{min}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{2}$ cm
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理；点圆最值
【点评】
本题的核心是通过定角（90°）确定动点的隐圆轨迹，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题，是几何最值类题目的典型考法，需熟练掌握隐圆的判定特征和最值计算方法。
【难度系数】
0.4
