登录
概念建构
1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。
2.圆内接四边形的对角
1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。
2.圆内接四边形的对角
互补
。答案
2.互补
解析
【分析】
本题考查圆内接四边形的对角性质，解题思路如下：首先回忆圆周角定理内容，再分析圆内接四边形一组对角所对的弧的关系：两个对角分别所对的弧相加刚好是完整的圆周，总度数为360°，结合圆周角定理可推出两个角的和为180°，即可得到对角的关系。
【解析】
我们可通过圆周角定理推导该性质：
设圆内接四边形ABCD的外接圆为⊙O，
∠A所对的弧为弧BCD，∠C所对的弧为弧BAD，
弧BCD与弧BAD的和为整个圆周，度数总和为360°，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
可得$∠ A=\frac{1}{2}×$弧$BCD$的度数，$∠ C=\frac{1}{2}×$弧$BAD$的度数，
因此$∠ A+∠ C=\frac{1}{2}×($弧$BCD+$弧$BAD)$的度数$=\frac{1}{2}×360°=180°$，
同理可证$∠ B+∠ D=180°$，
即圆内接四边形的对角互补。
【答案】
互补
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对圆内接四边形核心性质的理解与记忆，该性质是解决圆与四边形结合的综合题目的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查圆内接四边形的对角性质，解题思路如下：首先回忆圆周角定理内容，再分析圆内接四边形一组对角所对的弧的关系：两个对角分别所对的弧相加刚好是完整的圆周，总度数为360°，结合圆周角定理可推出两个角的和为180°，即可得到对角的关系。
【解析】
我们可通过圆周角定理推导该性质：
设圆内接四边形ABCD的外接圆为⊙O，
∠A所对的弧为弧BCD，∠C所对的弧为弧BAD，
弧BCD与弧BAD的和为整个圆周，度数总和为360°，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
可得$∠ A=\frac{1}{2}×$弧$BCD$的度数，$∠ C=\frac{1}{2}×$弧$BAD$的度数，
因此$∠ A+∠ C=\frac{1}{2}×($弧$BCD+$弧$BAD)$的度数$=\frac{1}{2}×360°=180°$，
同理可证$∠ B+∠ D=180°$，
即圆内接四边形的对角互补。
【答案】
互补
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对圆内接四边形核心性质的理解与记忆，该性质是解决圆与四边形结合的综合题目的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1.如图，$\odot O$的内接四边形ABCD中，$∠ B = 65°$,则$∠ D$为（
A.$125°$
B.$120°$
C.$115°$
D.$105°$
C
）A.$125°$
B.$120°$
C.$115°$
D.$105°$
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察图形可知四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，可调用圆内接四边形的性质解题：圆内接四边形的对角互补。已知$∠ B$的度数，且$∠ B$和$∠ D$是该内接四边形的一组对角，因此只需用$180°$减去$∠ B$的度数，即可求出$∠ D$的大小。
【解析】
解：$\because$ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore$ 根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ B + ∠ D = 180°$，
又$\because ∠ B=65°$，
$\therefore ∠ D = 180° - 65° = 115°$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础题型，直接考查圆内接四边形对角互补性质的应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，无计算难度。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，可调用圆内接四边形的性质解题：圆内接四边形的对角互补。已知$∠ B$的度数，且$∠ B$和$∠ D$是该内接四边形的一组对角，因此只需用$180°$减去$∠ B$的度数，即可求出$∠ D$的大小。
【解析】
解：$\because$ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore$ 根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ B + ∠ D = 180°$，
又$\because ∠ B=65°$，
$\therefore ∠ D = 180° - 65° = 115°$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础题型，直接考查圆内接四边形对角互补性质的应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，无计算难度。
【难度系数】
0.9
2.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点E是BC延长线上的一点.若∠BAD=114°,则∠DCE的度数是 (
A.94°
B.124°
C.104°
D.114°
D
)A.94°
B.124°
C.104°
D.114°
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD=114°，待求∠DCE的度数。首先回忆圆内接四边形的相关性质：圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角等于它的内对角。我们可以通过两种路径推导：①先利用圆内接四边形对角互补得到∠BAD与∠BCD互补，再结合∠BCD与∠DCE是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可得到∠DCE=∠BAD；②直接利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，一步得到∠DCE=∠BAD，快速求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∵∠DCE + ∠BCD = 180°（平角的定义），
∴∠DCE = ∠BAD = 114°（同角的补角相等）。
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】
圆内接四边形的性质；邻补角的定义；补角的性质
【点评】
本题考查圆内接四边形性质的基础应用，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的对角互补、外角等于内对角的特性，结合补角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD=114°，待求∠DCE的度数。首先回忆圆内接四边形的相关性质：圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角等于它的内对角。我们可以通过两种路径推导：①先利用圆内接四边形对角互补得到∠BAD与∠BCD互补，再结合∠BCD与∠DCE是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可得到∠DCE=∠BAD；②直接利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，一步得到∠DCE=∠BAD，快速求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∵∠DCE + ∠BCD = 180°（平角的定义），
∴∠DCE = ∠BAD = 114°（同角的补角相等）。
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】
圆内接四边形的性质；邻补角的定义；补角的性质
【点评】
本题考查圆内接四边形性质的基础应用，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的对角互补、外角等于内对角的特性，结合补角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
3. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，已知$∠ AOC=70°$，则$∠ ADC$的度数是（
A.$110°$
B.$135°$
C.$140°$
D.$145°$
D
）A.$110°$
B.$135°$
C.$140°$
D.$145°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，先根据圆周角定理，求出同弧AC所对的圆周角∠ABC的度数，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知圆心角∠AOC=70°，可直接算出∠ABC；第二步，利用圆内接四边形的性质：对角互补，即∠ABC与∠ADC的和为180°，代入∠ABC的度数即可求出∠ADC的数值。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
弧AC所对的圆心角为∠AOC=70°，因此弧AC所对的圆周角$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ ABC+∠ ADC=180°$，
∴$∠ ADC=180° - 35°=145°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的核心是准确区分圆心角和对应圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质即可顺利求解，是圆章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步，先根据圆周角定理，求出同弧AC所对的圆周角∠ABC的度数，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知圆心角∠AOC=70°，可直接算出∠ABC；第二步，利用圆内接四边形的性质：对角互补，即∠ABC与∠ADC的和为180°，代入∠ABC的度数即可求出∠ADC的数值。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
弧AC所对的圆心角为∠AOC=70°，因此弧AC所对的圆周角$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ ABC+∠ ADC=180°$，
∴$∠ ADC=180° - 35°=145°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的核心是准确区分圆心角和对应圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质即可顺利求解，是圆章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.7
4.若四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，则$∠ A,∠ B,∠ C,∠ D$的度数之比可能是（
A.$3:1:2:5$
B.$1:2:2:3$
C.$2:7:3:6$
D.$1:2:4:3$
D
）A.$3:1:2:5$
B.$1:2:2:3$
C.$2:7:3:6$
D.$1:2:4:3$
答案
4.D
解析
【分析】
解决本题首先要回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即两组对角的和相等，均为180°。由此可推出：四个角的度数比中，代表∠A和∠C的份数之和，与代表∠B和∠D的份数之和一定相等（因为每份度数相同，和相等则份数和相等）。接下来只需逐一验证各选项的对角份数和是否相等，即可快速得出答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴根据圆内接四边形的性质可得：$∠A + ∠C = 180°$，$∠B + ∠D = 180°$
∴$∠A + ∠C = ∠B + ∠D$
由此可知四个角度数比中，∠A与∠C的份数和等于∠B与∠D的份数和，逐一验证选项：
A选项：$3+2=5$，$1+5=6$，$5≠6$，不符合要求；
B选项：$1+2=3$，$2+3=5$，$3≠5$，不符合要求；
C选项：$2+3=5$，$7+6=13$，$5≠13$，不符合要求；
D选项：$1+4=5$，$2+3=5$，$5=5$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例的应用
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，将角度和的关系转化为比例份数和的关系可简化计算，无需算出具体角度即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即两组对角的和相等，均为180°。由此可推出：四个角的度数比中，代表∠A和∠C的份数之和，与代表∠B和∠D的份数之和一定相等（因为每份度数相同，和相等则份数和相等）。接下来只需逐一验证各选项的对角份数和是否相等，即可快速得出答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴根据圆内接四边形的性质可得：$∠A + ∠C = 180°$，$∠B + ∠D = 180°$
∴$∠A + ∠C = ∠B + ∠D$
由此可知四个角度数比中，∠A与∠C的份数和等于∠B与∠D的份数和，逐一验证选项：
A选项：$3+2=5$，$1+5=6$，$5≠6$，不符合要求；
B选项：$1+2=3$，$2+3=5$，$3≠5$，不符合要求；
C选项：$2+3=5$，$7+6=13$，$5≠13$，不符合要求；
D选项：$1+4=5$，$2+3=5$，$5=5$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例的应用
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，将角度和的关系转化为比例份数和的关系可简化计算，无需算出具体角度即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
5.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，延长AB，DC相交于点E.若$BC = BE$，求证：$DA = DE$.
答案
证明：
∵ $BC = BE$，
∴ $∠ E = ∠ BCE$。
∵ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ BCD = 180°$。
又∵ $∠ BCE + ∠ BCD = 180°$，
∴ $∠ BCE = ∠ A$。
∴ $∠ A = ∠ E$。
∴ $DA = DE$。
∵ $BC = BE$，
∴ $∠ E = ∠ BCE$。
∵ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ BCD = 180°$。
又∵ $∠ BCE + ∠ BCD = 180°$，
∴ $∠ BCE = ∠ A$。
∴ $∠ A = ∠ E$。
∴ $DA = DE$。
解析
【分析】
要证明DA=DE，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠A=∠E即可。首先由已知BC=BE，可推出∠E=∠BCE；接下来需建立∠BCE和∠A的等量关系，结合四边形ABCD是圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质，可得∠A与∠BCD互补，又∠BCE与∠BCD是邻补角也互补，根据“同角的补角相等”即可得到∠BCE=∠A，进而推出∠A=∠E，最终证得结论。
【解析】
证明：
∵ $BC = BE$，
∴ $∠ E = ∠ BCE$。
∵ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ BCD = 180°$。
又
∵ $∠ BCE + ∠ BCD = 180°$，
∴ $∠ BCE = ∠ A$。
∴ $∠ A = ∠ E$。
∴ $DA = DE$。
【答案】
$DA=DE$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，补角的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础证明题，解题核心是通过补角的性质完成角的等量代换，将已知条件和待证结论通过角的关系串联起来，解题思路清晰，是巩固圆内接四边形性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
要证明DA=DE，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠A=∠E即可。首先由已知BC=BE，可推出∠E=∠BCE；接下来需建立∠BCE和∠A的等量关系，结合四边形ABCD是圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质，可得∠A与∠BCD互补，又∠BCE与∠BCD是邻补角也互补，根据“同角的补角相等”即可得到∠BCE=∠A，进而推出∠A=∠E，最终证得结论。
【解析】
证明：
∵ $BC = BE$，
∴ $∠ E = ∠ BCE$。
∵ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ BCD = 180°$。
又
∵ $∠ BCE + ∠ BCD = 180°$，
∴ $∠ BCE = ∠ A$。
∴ $∠ A = ∠ E$。
∴ $DA = DE$。
【答案】
$DA=DE$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，补角的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础证明题，解题核心是通过补角的性质完成角的等量代换，将已知条件和待证结论通过角的关系串联起来，解题思路清晰，是巩固圆内接四边形性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
6. [2025 滁州期末]如图，AC 是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点 D 关于 AC 的对称点 E 在边 BC 上，连接 AE. 若$∠ ABC=64°$，则$∠ BAE$的度数为（
A.$64°$
B.$40°$
C.$52°$
D.$42°$
C
）A.$64°$
B.$40°$
C.$52°$
D.$42°$
答案
6.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ABC的度数求出∠ADC的度数；第二步，根据轴对称的性质，得到对称点对应的角∠AEC与∠ADC相等；第三步，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入数值计算出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ABC=64°，
∴∠ADC=180°-64°=116°，
∵点D与点E关于AC对称，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
又
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠ABC + ∠BAE，
∴∠BAE=∠AEC - ∠ABC=116°-64°=52°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，轴对称的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质、轴对称性质和三角形外角性质结合考查，难度不大，解题核心是梳理清楚不同图形性质对应的角的等量关系，代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ABC的度数求出∠ADC的度数；第二步，根据轴对称的性质，得到对称点对应的角∠AEC与∠ADC相等；第三步，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入数值计算出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ABC=64°，
∴∠ADC=180°-64°=116°，
∵点D与点E关于AC对称，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
又
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠ABC + ∠BAE，
∴∠BAE=∠AEC - ∠ABC=116°-64°=52°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，轴对称的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质、轴对称性质和三角形外角性质结合考查，难度不大，解题核心是梳理清楚不同图形性质对应的角的等量关系，代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
7.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB为直径，$∠ C=120°$.若$AD=2$，则AB的长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
D
）A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推导：1. 首先观察条件，四边形ABCD内接于圆，优先回忆圆内接四边形对角互补的性质，用已知的∠C的度数求出对角∠BAD的度数；2. 已知AB是圆的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，我们连接辅助线BD，即可得到直角三角形ABD；3. 在直角三角形ABD中，结合求出的∠BAD的度数，利用含特殊角的直角三角形的边长关系，结合已知AD的长度就能求出AB的长。
【解析】
解：连接BD，
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵ $∠ BCD=120°$，
∴ $∠ BAD=180° - 120°=60°$，
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴ 在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90° - ∠ BAD=30°$，
∵ 30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ ABD$所对的直角边为AD，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AD=2$，
∴ $AB=2AD=4$。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形，再结合圆的相关性质得到特殊角，利用特殊直角三角形的边长关系求解，熟练掌握相关基础性质是做对这类题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按以下思路推导：1. 首先观察条件，四边形ABCD内接于圆，优先回忆圆内接四边形对角互补的性质，用已知的∠C的度数求出对角∠BAD的度数；2. 已知AB是圆的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，我们连接辅助线BD，即可得到直角三角形ABD；3. 在直角三角形ABD中，结合求出的∠BAD的度数，利用含特殊角的直角三角形的边长关系，结合已知AD的长度就能求出AB的长。
【解析】
解：连接BD，
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵ $∠ BCD=120°$，
∴ $∠ BAD=180° - 120°=60°$，
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴ 在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90° - ∠ BAD=30°$，
∵ 30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ ABD$所对的直角边为AD，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AD=2$，
∴ $AB=2AD=4$。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形，再结合圆的相关性质得到特殊角，利用特殊直角三角形的边长关系求解，熟练掌握相关基础性质是做对这类题的前提。
【难度系数】
0.7
8.如图，$AB=AC=AD$，点E是BC延长线上的一点.若$∠ BAD=144°$，则$∠ DCE$的度数为（
A.$72°$
B.$68°$
C.$65°$
D.$64°$
A
）A.$72°$
B.$68°$
C.$65°$
D.$64°$
答案
8.A
解析
【分析】
首先观察到AB、AC、AD三条线段长度相等且有公共端点A，可判断点B、C、D在以A为圆心、AB为半径的同一个圆上，四边形ABCD为该圆的内接四边形。我们可以借助圆周角定理先求出∠BCD的度数，再利用邻补角的性质计算∠DCE；也可以通过等腰三角形“等边对等角”的性质，结合四边形内角和公式推导求解。
【解析】
方法1（结合圆的相关性质求解）：
∵ $AB=AC=AD$，
∴ 点B、C、D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上。
已知圆心角$∠ BAD=144°$，则优弧BD的度数为$360°-144°=216°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ BCD=\frac{1}{2}×216°=108°$。
∵ $∠ BCD$与$∠ DCE$互为邻补角，即$∠ BCD+∠ DCE=180°$，
∴ $∠ DCE=180°-108°=72°$。
方法2（结合等腰三角形性质求解）：
∵ $AB=AC$，$AC=AD$，
∴ $∠ B=∠ ACB$，$∠ D=∠ ACD$。
设$∠ B=∠ ACB=x$，$∠ D=∠ ACD=y$，则$∠ BCD=x+y$。
∵ 四边形内角和为$360°$，
∴ $∠ BAD+∠ B+∠ BCD+∠ D=360°$，
代入$∠ BAD=144°$得：$144°+x+x+y+y=360°$，
整理得$2(x+y)=216°$，即$x+y=108°$，故$∠ BCD=108°$。
∴ $∠ DCE=180°-108°=72°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、邻补角的性质
【点评】
本题解题的突破口是由共端点的等长线段联想到三点共圆，也可通过等腰三角形性质推导，考查对基础几何性质的灵活运用能力，解题思路较为多元，掌握常见的几何结论可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察到AB、AC、AD三条线段长度相等且有公共端点A，可判断点B、C、D在以A为圆心、AB为半径的同一个圆上，四边形ABCD为该圆的内接四边形。我们可以借助圆周角定理先求出∠BCD的度数，再利用邻补角的性质计算∠DCE；也可以通过等腰三角形“等边对等角”的性质，结合四边形内角和公式推导求解。
【解析】
方法1（结合圆的相关性质求解）：
∵ $AB=AC=AD$，
∴ 点B、C、D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上。
已知圆心角$∠ BAD=144°$，则优弧BD的度数为$360°-144°=216°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ BCD=\frac{1}{2}×216°=108°$。
∵ $∠ BCD$与$∠ DCE$互为邻补角，即$∠ BCD+∠ DCE=180°$，
∴ $∠ DCE=180°-108°=72°$。
方法2（结合等腰三角形性质求解）：
∵ $AB=AC$，$AC=AD$，
∴ $∠ B=∠ ACB$，$∠ D=∠ ACD$。
设$∠ B=∠ ACB=x$，$∠ D=∠ ACD=y$，则$∠ BCD=x+y$。
∵ 四边形内角和为$360°$，
∴ $∠ BAD+∠ B+∠ BCD+∠ D=360°$，
代入$∠ BAD=144°$得：$144°+x+x+y+y=360°$，
整理得$2(x+y)=216°$，即$x+y=108°$，故$∠ BCD=108°$。
∴ $∠ DCE=180°-108°=72°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、邻补角的性质
【点评】
本题解题的突破口是由共端点的等长线段联想到三点共圆，也可通过等腰三角形性质推导，考查对基础几何性质的灵活运用能力，解题思路较为多元，掌握常见的几何结论可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
9. 几何直观 如图，$\odot O$ 的内接四边形 $ABCD$ 的两组对边的延长线分别交于点 $E$，$F$。
(1) 当 $∠ E = ∠ F$ 时，$∠ ADC =$
(2) 当 $∠ A = 55°$，$∠ E = 30°$ 时，求 $∠ F$ 的度数；
(3) 若 $∠ E = α$，$∠ F = β$，且 $α ≠ β$，请用含 $α$，$β$ 的代数式表示 $∠ A$ 的大小。
(1) 当 $∠ E = ∠ F$ 时，$∠ ADC =$
90
$°$；(2) 当 $∠ A = 55°$，$∠ E = 30°$ 时，求 $∠ F$ 的度数；
(3) 若 $∠ E = α$，$∠ F = β$，且 $α ≠ β$，请用含 $α$，$β$ 的代数式表示 $∠ A$ 的大小。
答案
9.解: (1)90 (2)$40°$. (3)$90°-\dfrac{α+β}{2}$.
解析
【分析】
本题考查圆内接四边形的性质与三角形角的性质的综合应用，解题思路如下：
(1) 由圆内接四边形外角等于内对角得∠DCE=∠BCF=∠A，结合三角形外角性质可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，已知∠E=∠F，则∠ADC=∠ABC；再结合圆内接四边形对角互补，即∠ADC+∠ABC=180°，即可求出∠ADC的度数。
(2) 先在△ABE中利用三角形内角和求出∠ABE的度数，再由平角定义求出∠CBF的度数，结合圆内接四边形外角等于内对角得∠BCF=∠A，最后在△BCF中利用三角形内角和即可求出∠F的度数。
(3) 类比第二问的思路，结合三角形内角和、圆内接四边形对角互补的性质列等式，整理即可得到∠A与α、β的关系。
【解析】
(1) 解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°，且圆内接四边形外角等于内对角，得∠DCE=∠A，∠BCF=∠A。
∵∠ADC是△EDC的外角，
∴∠ADC = ∠E + ∠DCE，
∵∠ABC是△FBC的外角，
∴∠ABC = ∠F + ∠BCF，
又
∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC，
代入∠ADC + ∠ABC = 180°得2∠ADC=180°，解得∠ADC=90°。
(2) 解：在△ABE中，∠A=55°，∠E=30°，
由三角形内角和为180°得：∠ABE = 180° - ∠A - ∠E = 180° - 55° - 30° = 95°，
由平角定义得∠CBF = 180° - ∠ABE = 180° - 95° = 85°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCF = ∠A = 55°（圆内接四边形外角等于内对角），
在△BCF中，∠F = 180° - ∠CBF - ∠BCF = 180° - 85° - 55° = 40°。
(3) 解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°，
在△ADF中，由三角形内角和得∠ADC = 180° - ∠A - β，
在△ABE中，由三角形内角和得∠ABC = 180° - ∠A - α，
将上述两式代入∠ADC + ∠ABC = 180°得：
$(180° - ∠A - β) + (180° - ∠A - α) = 180°$，
整理得：$360° - 2∠A - (α+β) = 180°$，
移项化简得：$∠A = 90° - \dfrac{α+β}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$；(2) $\boldsymbol{40°}$；(3) $\boldsymbol{90°-\dfrac{α+β}{2}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形角的性质的综合基础题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的角的性质，结合三角形内角和、外角性质找到角之间的等量关系，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
本题考查圆内接四边形的性质与三角形角的性质的综合应用，解题思路如下：
(1) 由圆内接四边形外角等于内对角得∠DCE=∠BCF=∠A，结合三角形外角性质可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，已知∠E=∠F，则∠ADC=∠ABC；再结合圆内接四边形对角互补，即∠ADC+∠ABC=180°，即可求出∠ADC的度数。
(2) 先在△ABE中利用三角形内角和求出∠ABE的度数，再由平角定义求出∠CBF的度数，结合圆内接四边形外角等于内对角得∠BCF=∠A，最后在△BCF中利用三角形内角和即可求出∠F的度数。
(3) 类比第二问的思路，结合三角形内角和、圆内接四边形对角互补的性质列等式，整理即可得到∠A与α、β的关系。
【解析】
(1) 解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°，且圆内接四边形外角等于内对角，得∠DCE=∠A，∠BCF=∠A。
∵∠ADC是△EDC的外角，
∴∠ADC = ∠E + ∠DCE，
∵∠ABC是△FBC的外角，
∴∠ABC = ∠F + ∠BCF，
又
∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC，
代入∠ADC + ∠ABC = 180°得2∠ADC=180°，解得∠ADC=90°。
(2) 解：在△ABE中，∠A=55°，∠E=30°，
由三角形内角和为180°得：∠ABE = 180° - ∠A - ∠E = 180° - 55° - 30° = 95°，
由平角定义得∠CBF = 180° - ∠ABE = 180° - 95° = 85°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCF = ∠A = 55°（圆内接四边形外角等于内对角），
在△BCF中，∠F = 180° - ∠CBF - ∠BCF = 180° - 85° - 55° = 40°。
(3) 解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°，
在△ADF中，由三角形内角和得∠ADC = 180° - ∠A - β，
在△ABE中，由三角形内角和得∠ABC = 180° - ∠A - α，
将上述两式代入∠ADC + ∠ABC = 180°得：
$(180° - ∠A - β) + (180° - ∠A - α) = 180°$，
整理得：$360° - 2∠A - (α+β) = 180°$，
移项化简得：$∠A = 90° - \dfrac{α+β}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$；(2) $\boldsymbol{40°}$；(3) $\boldsymbol{90°-\dfrac{α+β}{2}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形角的性质的综合基础题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的角的性质，结合三角形内角和、外角性质找到角之间的等量关系，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
