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2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半
.答案
2.一半
解析
【分析】
本题考查圆周角定理的基础概念识记，解题时只需回忆课堂上学过的圆周角与对应圆心角的数量关系结论即可作答。我们推导圆周角定理时，通过分圆心在圆周角的边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部三种情况进行几何证明，最终得出同一条弧所对的圆周角和圆心角的固定数量关系，直接对应定理内容填空即可。
【解析】
根据圆周角定理的明确规定：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，因此此处应填写“一半”。
【答案】
一半
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定理内容的记忆，掌握教材核心定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查圆周角定理的基础概念识记，解题时只需回忆课堂上学过的圆周角与对应圆心角的数量关系结论即可作答。我们推导圆周角定理时，通过分圆心在圆周角的边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部三种情况进行几何证明，最终得出同一条弧所对的圆周角和圆心角的固定数量关系，直接对应定理内容填空即可。
【解析】
根据圆周角定理的明确规定：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，因此此处应填写“一半”。
【答案】
一半
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定理内容的记忆，掌握教材核心定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.推论:同弧或等弧所对的圆周角
相等
.半圆(或直径)所对的圆周角是直角
,90°的圆周角所对的弦是直径
.答案
3.相等;直角;直径
解析
【分析】
本题考查圆周角定理的推论内容，解题时可结合圆周角与圆心角的数量关系推导结论：①圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧对应的圆心角相等，据此可推出对应圆周角的大小关系；②半圆（或直径）对应的圆心角为180°，结合圆周角和圆心角的关系即可求出对应圆周角的度数；③反过来，已知圆周角为90°时，可先求出对应圆心角的度数，再判断对应弦的类型。
【解析】
根据圆周角定理的相关推论推导：
1. 同弧或等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于其所对圆心角的一半，因此同弧或等弧所对的圆周角相等；
2. 半圆（或直径）所对的圆心角为180°，因此对应的圆周角为$180°÷2=90°$，即直角；
3. 若圆周角为90°，则其对应的圆心角为$90°×2=180°$，圆心角为180°时对应的弦为直径。
【答案】
相等;直角;直径
【知识点】
圆周角定理；圆周角推论；直径性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考查对圆周角相关推论的掌握程度，相关结论是圆中角度计算、线段推导和几何证明的常用依据，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查圆周角定理的推论内容，解题时可结合圆周角与圆心角的数量关系推导结论：①圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧对应的圆心角相等，据此可推出对应圆周角的大小关系；②半圆（或直径）对应的圆心角为180°，结合圆周角和圆心角的关系即可求出对应圆周角的度数；③反过来，已知圆周角为90°时，可先求出对应圆心角的度数，再判断对应弦的类型。
【解析】
根据圆周角定理的相关推论推导：
1. 同弧或等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于其所对圆心角的一半，因此同弧或等弧所对的圆周角相等；
2. 半圆（或直径）所对的圆心角为180°，因此对应的圆周角为$180°÷2=90°$，即直角；
3. 若圆周角为90°，则其对应的圆心角为$90°×2=180°$，圆心角为180°时对应的弦为直径。
【答案】
相等;直角;直径
【知识点】
圆周角定理；圆周角推论；直径性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考查对圆周角相关推论的掌握程度，相关结论是圆中角度计算、线段推导和几何证明的常用依据，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
1.下列图形中的角是圆周角的是 （
B
）答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪个图形中的角是圆周角，首先需要明确圆周角的判定条件：①角的顶点必须在圆上；②角的两条边都要与圆相交（即除顶点外，两边各和圆有一个公共点）。接下来我们对照这两个条件，逐个分析四个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一判断：
选项A：角的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项B：角的顶点在圆上，且两边均与圆相交，符合圆周角的全部特征，是圆周角；
选项C：角的两边除顶点外均不与圆相交，不满足要求，不是圆周角；
选项D：角的其中一条边除顶点外不与圆相交，不满足要求，不是圆周角。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要准确掌握圆周角的两个判定特征，即可快速选出正确答案，这类概念题是后续学习圆周角相关定理的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形中的角是圆周角，首先需要明确圆周角的判定条件：①角的顶点必须在圆上；②角的两条边都要与圆相交（即除顶点外，两边各和圆有一个公共点）。接下来我们对照这两个条件，逐个分析四个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一判断：
选项A：角的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项B：角的顶点在圆上，且两边均与圆相交，符合圆周角的全部特征，是圆周角；
选项C：角的两边除顶点外均不与圆相交，不满足要求，不是圆周角；
选项D：角的其中一条边除顶点外不与圆相交，不满足要求，不是圆周角。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要准确掌握圆周角的两个判定特征，即可快速选出正确答案，这类概念题是后续学习圆周角相关定理的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2.在下图中标出的∠1～∠5这5个角中，$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角是（
A.∠5
B.∠1和∠2
C.∠3和∠4
D.∠1和∠3
C
）A.∠5
B.∠1和∠2
C.∠3和∠4
D.∠1和∠3
答案
2.C
解析
【分析】
解题时需分两步思考：第一步先回忆圆周角的定义，明确圆周角需要满足顶点在圆上、两边都与圆相交两个条件，先排除不符合圆周角定义的角；第二步再判断剩下的圆周角所对的弧是否为$\overset{\frown}{AD}$：圆周角所对的弧是指被角的两条边所截得的、不包含角顶点的那段弧，据此逐一判断即可找到正确答案。
【解析】
首先根据圆周角的定义判断：
1. ∠5的顶点在圆内部，不属于圆周角，首先排除A选项；
2. ∠1顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，不符合要求；
3. ∠2顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，不符合要求；
4. ∠3顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，符合要求；
5. ∠4顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，符合要求。
因此$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角是∠3和∠4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆周角的定义
2. 弧与圆周角的对应关系
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确把握圆周角的定义，明确圆周角和它所对的弧的对应规则，避免混淆角的顶点和弧的端点。
【难度系数】
0.8
解题时需分两步思考：第一步先回忆圆周角的定义，明确圆周角需要满足顶点在圆上、两边都与圆相交两个条件，先排除不符合圆周角定义的角；第二步再判断剩下的圆周角所对的弧是否为$\overset{\frown}{AD}$：圆周角所对的弧是指被角的两条边所截得的、不包含角顶点的那段弧，据此逐一判断即可找到正确答案。
【解析】
首先根据圆周角的定义判断：
1. ∠5的顶点在圆内部，不属于圆周角，首先排除A选项；
2. ∠1顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，不符合要求；
3. ∠2顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，不符合要求；
4. ∠3顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，符合要求；
5. ∠4顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，符合要求。
因此$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角是∠3和∠4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆周角的定义
2. 弧与圆周角的对应关系
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确把握圆周角的定义，明确圆周角和它所对的弧的对应规则，避免混淆角的顶点和弧的端点。
【难度系数】
0.8
3. [2025重庆中考]如图，点A，B，C在$\odot O$上，$∠ AOB=100°$，$∠ C$的度数是（
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
3.B
解析
【分析】
拿到这道题首先观察角的位置：∠AOB顶点在圆心O，属于圆心角，所对的弧是弧AB；∠C顶点在圆周上，属于圆周角，所对的弧也是弧AB。此时回忆圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直接套用定理就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，牢记定理内容即可快速求解，是圆相关知识的常考基础题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察角的位置：∠AOB顶点在圆心O，属于圆心角，所对的弧是弧AB；∠C顶点在圆周上，属于圆周角，所对的弧也是弧AB。此时回忆圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直接套用定理就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，牢记定理内容即可快速求解，是圆相关知识的常考基础题。
【难度系数】
0.8
4. [2025扬州中考]如图，点A，B，C在$\odot O$上，$∠ BAC=50°$，则$∠ OBC=$
40
$°$.答案
4.40
解析
【分析】
首先观察图形，要求∠OBC的度数，已知圆周角∠BAC=50°，第一步可以利用圆周角定理，先求出同弧BC所对的圆心角∠BOC的度数；第二步因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，所以△OBC是等腰三角形，两个底角∠OBC和∠OCB相等，最后结合三角形内角和为180°，就可以计算出∠OBC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，
∴∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°，
∵OB和OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
根据三角形内角和为180°，
∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质，先求出圆心角的度数，再结合三角形内角和计算所求角即可。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，要求∠OBC的度数，已知圆周角∠BAC=50°，第一步可以利用圆周角定理，先求出同弧BC所对的圆心角∠BOC的度数；第二步因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，所以△OBC是等腰三角形，两个底角∠OBC和∠OCB相等，最后结合三角形内角和为180°，就可以计算出∠OBC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，
∴∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°，
∵OB和OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
根据三角形内角和为180°，
∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质，先求出圆心角的度数，再结合三角形内角和计算所求角即可。
【难度系数】
0.8
5. [2026淮北模拟]如图，$\odot O$的直径$AB$与弦$CD$垂直，且$∠ BAC=40°$，则$∠ BOD$的度数为________。
（第5题）（第6题）
（第5题）（第6题）答案
5.80°
解析
【分析】
解题时先结合已知条件观察图形特征：直径AB垂直弦CD，首先想到垂径定理，可得弧BC与弧BD相等，二者对应的圆心角也相等；再看已知∠BAC是圆周角，对应弧BC，根据圆周角定理可求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，最后根据等弧对等圆心角即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∵∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：$∠ BOC=2∠ BAC=2×40°=80°$，
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠ BOD=∠ BOC=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，快速找到角、弧之间的等量关系即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件观察图形特征：直径AB垂直弦CD，首先想到垂径定理，可得弧BC与弧BD相等，二者对应的圆心角也相等；再看已知∠BAC是圆周角，对应弧BC，根据圆周角定理可求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，最后根据等弧对等圆心角即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∵∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：$∠ BOC=2∠ BAC=2×40°=80°$，
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠ BOD=∠ BOC=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，快速找到角、弧之间的等量关系即可得出结果。
【难度系数】
0.8
6.如图，点A，B，C，D在$\odot O$上，则图中一定与$∠ ABC$相等的角是 （
A.$∠ BAD$
B.$∠ ACD$
C.$∠ BCD$
D.$∠ ADC$
D
）A.$∠ BAD$
B.$∠ ACD$
C.$∠ BCD$
D.$∠ ADC$
答案
6.D
解析
【分析】
要找出与∠ABC相等的角，可结合圆周角定理的推论思考：同弧所对的圆周角相等。解题步骤为：第一步先确定∠ABC是⊙O的圆周角，找到它所对的弧；第二步依次判断每个选项中的角所对的弧，找到和∠ABC对同一段弧的角，即为所求。
【解析】
根据圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
1. 先确定∠ABC所对的弧：∠ABC的顶点在圆上，两边与圆交于A、C两点，因此它所对的弧是$\overset{\frown}{AC}$。
2. 逐一分析选项：
选项A：∠BAD所对的弧是$\overset{\frown}{BD}$，与$\overset{\frown}{AC}$不是同一段弧，两角不一定相等，排除；
选项B：∠ACD所对的弧是$\overset{\frown}{AD}$，与$\overset{\frown}{AC}$不是同一段弧，两角不一定相等，排除；
选项C：∠BCD所对的弧是$\overset{\frown}{BD}$，与$\overset{\frown}{AC}$不是同一段弧，两角不一定相等，排除；
选项D：∠ADC的两边与圆交于A、C两点，所对的弧也是$\overset{\frown}{AC}$，因此$∠ ADC=∠ ABC$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题是基础的圆周角性质应用题，解题核心是准确识别每个圆周角对应的弧，熟练掌握同弧所对圆周角相等的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要找出与∠ABC相等的角，可结合圆周角定理的推论思考：同弧所对的圆周角相等。解题步骤为：第一步先确定∠ABC是⊙O的圆周角，找到它所对的弧；第二步依次判断每个选项中的角所对的弧，找到和∠ABC对同一段弧的角，即为所求。
【解析】
根据圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
1. 先确定∠ABC所对的弧：∠ABC的顶点在圆上，两边与圆交于A、C两点，因此它所对的弧是$\overset{\frown}{AC}$。
2. 逐一分析选项：
选项A：∠BAD所对的弧是$\overset{\frown}{BD}$，与$\overset{\frown}{AC}$不是同一段弧，两角不一定相等，排除；
选项B：∠ACD所对的弧是$\overset{\frown}{AD}$，与$\overset{\frown}{AC}$不是同一段弧，两角不一定相等，排除；
选项C：∠BCD所对的弧是$\overset{\frown}{BD}$，与$\overset{\frown}{AC}$不是同一段弧，两角不一定相等，排除；
选项D：∠ADC的两边与圆交于A、C两点，所对的弧也是$\overset{\frown}{AC}$，因此$∠ ADC=∠ ABC$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题是基础的圆周角性质应用题，解题核心是准确识别每个圆周角对应的弧，熟练掌握同弧所对圆周角相等的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形工件，根据图形所表示的情形，下面四个工件中肯定是半圆环形的是（
D
）答案
7.D
解析
【分析】
解题需运用圆周角定理的推论，思路如下：首先回忆圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，反过来，若直角的顶点落在圆弧上，且直角两边都与圆弧相交，则两个交点的连线为圆的直径，对应的圆弧为半圆。我们要判断哪个工件是半圆环形，就看哪个选项符合上述推论的条件。逐一分析选项：A、B、C中直角顶点均未落在圆弧上，无法验证圆弧为半圆；D中直角顶点落在圆弧上，两条直角边均与圆弧相交，可判定圆弧为半圆，对应工件为半圆环形。
【解析】
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径。若直角的顶点在某段圆弧上，且直角的两条边均与该圆弧相交，则两个交点的连线是该圆弧所在圆的直径，这段圆弧就是半圆。
对各选项逐一判断：
选项A：直角顶点未落在工件的圆弧上，无法判定圆弧是否为半圆，不符合要求；
选项B：直角顶点位于工件内侧，没有接触圆弧，无法判定圆弧是否为半圆，不符合要求；
选项C：直角顶点位于工件外侧，未落在圆弧上，无法判定圆弧是否为半圆，不符合要求；
选项D：直角顶点落在工件的圆弧上，两条直角边均与圆弧相交，可推出两个交点的连线为直径，该圆弧为半圆，因此该工件为半圆环形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.圆周角定理推论
2.半圆的判定
【点评】
本题是圆周角相关推论在实际测量中的应用，解题核心是掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”这一结论，要学会将数学定理和实际操作结合分析。
【难度系数】
0.7
解题需运用圆周角定理的推论，思路如下：首先回忆圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，反过来，若直角的顶点落在圆弧上，且直角两边都与圆弧相交，则两个交点的连线为圆的直径，对应的圆弧为半圆。我们要判断哪个工件是半圆环形，就看哪个选项符合上述推论的条件。逐一分析选项：A、B、C中直角顶点均未落在圆弧上，无法验证圆弧为半圆；D中直角顶点落在圆弧上，两条直角边均与圆弧相交，可判定圆弧为半圆，对应工件为半圆环形。
【解析】
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径。若直角的顶点在某段圆弧上，且直角的两条边均与该圆弧相交，则两个交点的连线是该圆弧所在圆的直径，这段圆弧就是半圆。
对各选项逐一判断：
选项A：直角顶点未落在工件的圆弧上，无法判定圆弧是否为半圆，不符合要求；
选项B：直角顶点位于工件内侧，没有接触圆弧，无法判定圆弧是否为半圆，不符合要求；
选项C：直角顶点位于工件外侧，未落在圆弧上，无法判定圆弧是否为半圆，不符合要求；
选项D：直角顶点落在工件的圆弧上，两条直角边均与圆弧相交，可推出两个交点的连线为直径，该圆弧为半圆，因此该工件为半圆环形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.圆周角定理推论
2.半圆的判定
【点评】
本题是圆周角相关推论在实际测量中的应用，解题核心是掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”这一结论，要学会将数学定理和实际操作结合分析。
【难度系数】
0.7
8. [2026合肥期末]如图，C，D是$\odot O$上直径AB两侧的两点. 若$∠ ABC = 25°$，则$∠ BDC=$
65°
. 答案
8.65°
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形特征，AB是⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得△ACB是直角三角形；已知∠ABC的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BAC的度数；最后根据“同弧所对的圆周角相等”，∠BDC与∠BAC均为弧BC所对的圆周角，二者相等，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-25°=65°，
∵∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=65°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
65°
【知识点】
直径的圆周角性质，同弧圆周角相等，直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角定理相关的基础题型，解题核心是利用直径的性质得到直角三角形，再通过圆周角的性质完成角度转化，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察图形特征，AB是⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得△ACB是直角三角形；已知∠ABC的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BAC的度数；最后根据“同弧所对的圆周角相等”，∠BDC与∠BAC均为弧BC所对的圆周角，二者相等，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-25°=65°，
∵∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=65°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
65°
【知识点】
直径的圆周角性质，同弧圆周角相等，直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角定理相关的基础题型，解题核心是利用直径的性质得到直角三角形，再通过圆周角的性质完成角度转化，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，且$AC=BC=2$，$∠ BCD=30°$，求BD的长.
答案
9.解: $\sqrt{2}.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB是圆的直径入手，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ACB，结合AC=BC=2，用勾股定理先求出直径AB的长度；再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BAD=∠BCD=30°，最后在Rt△ABD中，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt△ ACB$中，$AC=BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵$∠ BCD$和$∠ BAD$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=30°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及推论，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的推论，结合直径的性质构造直角三角形，再结合角的等量关系和直角三角形的性质求解，是圆中求线段长度的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件AB是圆的直径入手，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ACB，结合AC=BC=2，用勾股定理先求出直径AB的长度；再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BAD=∠BCD=30°，最后在Rt△ABD中，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt△ ACB$中，$AC=BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵$∠ BCD$和$∠ BAD$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=30°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及推论，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的推论，结合直径的性质构造直角三角形，再结合角的等量关系和直角三角形的性质求解，是圆中求线段长度的常见题型。
【难度系数】
0.7
