1. 如图，C是AE的中点，$AB=CD$，下列添加的条件不能判断$△ ABC ≌ △ CDE$的是 （）


A.$BC=DE$
B.$∠ A=∠ DCE$
C.$∠ B=∠ D$
D.$AB // CD$

1.C

【分析】
解题时首先提取已知条件：由C是AE的中点可得AC=CE，题目还给出AB=CD，要判断添加哪个条件无法证明△ABC≌△CDE，需结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），逐一将选项条件和已知条件组合，验证是否符合判定规则，注意SSA不能作为全等判定的依据。
【解析】
已知C是AE的中点，因此AC=CE，又已知AB=CD，逐个分析选项：
1. 若添加选项A的条件BC=DE：
在△ABC和△CDE中，$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ AC=CE\\ BC=DE\end{array} $，满足SSS判定定理，可证△ABC≌△CDE，不符合题意；
2. 若添加选项B的条件∠A=∠DCE：
在△ABC和△CDE中，$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ ∠ A=∠ DCE\\ AC=CE\end{array} $，满足SAS判定定理，可证△ABC≌△CDE，不符合题意；
3. 若添加选项C的条件∠B=∠D：
此时条件为AB=CD，AC=CE，∠B=∠D，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不符合全等三角形的判定规则，无法证明全等，符合题意；
4. 若添加选项D的条件AB//CD：
由平行线的性质可得∠A=∠DCE，同选项B的情况，可由SAS判定△ABC≌△CDE，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、平行线的性质、线段中点的定义
【点评】
本题核心是对全等三角形判定定理的灵活运用，需要学生准确区分各判定定理的适用条件，尤其要牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据，解题时结合已知条件逐一排查即可。
【难度系数】
0.7

2. 如图,已知点 E,C 在线段 BF 上,BE=CF,
AB//DE,∠ACB=∠F.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)设 AC 与 DE 交于点 G,当∠B=50°,∠F=
70°时,求∠AGD 的度数.

2. (1)证明略.
(2)$∠ AGD=60°$.

【分析】
（1）要证明△ABC≌△DEF，先梳理已知条件推导全等所需的要素：已知BE=CF，通过等式性质两边同时加EC可得BC=EF；已知AB//DE，根据平行线的同位角相等可得∠B=∠DEF；结合题目给出的∠ACB=∠F，刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，即可完成证明。
（2）求∠AGD的度数时，先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠A的度数，再结合AB//DE的性质得到∠EGC与∠A相等，最后根据对顶角相等，就能推出∠AGD的度数；也可先计算△EGC的内角得到∠EGC的度数，再推导∠AGD，两种思路均符合要求。
【解析】
(1) 证明：
∵ BE=CF，
∴ BE+EC=CF+EC，即$BC=EF$。
∵ AB//DE，
∴ $∠ B=∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ DEF \\BC=EF \\∠ ACB=∠ F\end{array} $
∴ $△ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：
在△ABC中，$∠ B=50°$，$∠ ACB=∠ F=70°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ A=180°-∠ B-∠ ACB=180°-50°-70°=60°$。
∵ AB//DE，
∴ $∠ A=∠ EGC$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠ AGD$与$∠ EGC$是对顶角，
∴ $∠ AGD=∠ EGC=60°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $∠ AGD=60°$
【知识点】
全等三角形的判定、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与平行线性质、角度计算的综合基础题，解题的关键是先转化线段相等的条件，找准全等判定所需的对应要素，再灵活运用平行线和三角形内角的相关性质推导角度，是全等三角形模块的常考题型。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$BC=DC$,$AC$,$BD$相交于点$O$.求证:
(1)$△ ABC≌△ ADC$;
(2)$OB=OD$,$AC⊥ BD$.

证明：
(1) 在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}AB=AD,\\BC=DC,\\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SSS})$。
(2) 由(1)得$△ ABC ≌ △ ADC$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC$。
在$△ ABO$和$△ ADO$中，
$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAC = ∠ DAC,\\AO=AO,\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ ADO(\mathrm{SAS})$。
$\therefore OB=OD$，$∠ AOB = ∠ AOD$。
又$\because ∠ AOB + ∠ AOD = 180°$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ AOD = 90°$，
$\therefore AC ⊥ BD$。

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△ADC，先梳理已知条件：题目明确给出AB=AD，BC=DC，同时AC是两个三角形的公共边，满足“三边对应相等的两个三角形全等”的判定规则，因此可直接用SSS定理完成证明。
(2) 要证OB=OD、AC⊥BD，可先借助(1)的全等结论，得到对应角∠BAC=∠DAC；再结合AB=AD、公共边AO，利用SAS定理证明△ABO≌△ADO，根据全等三角形的性质即可得到OB=OD，且∠AOB=∠AOD；最后结合∠AOB与∠AOD组成平角、和为180°，可推出两个角均为90°，即可证明AC⊥BD。
【解析】
(1) 在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}AB=AD,\\BC=DC,\\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SSS})$。
(2) 由(1)得$△ ABC ≌ △ ADC$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC$。
在$△ ABO$和$△ ADO$中，
$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAC = ∠ DAC,\\AO=AO,\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ ADO(\mathrm{SAS})$。
$\therefore OB=OD$，$∠ AOB = ∠ AOD$。
又$\because ∠ AOB + ∠ AOD = 180°$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ AOD = 90°$，
$\therefore AC ⊥ BD$。
【答案】
(1) $△ ABC≌△ ADC(\mathrm{SSS})$，得证；
(2) $OB=OD$，$AC⊥ BD$，得证。（完整证明过程见解析）
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，考查了全等判定与性质的综合运用，解题时可直接将前一问的结论作为后一问的已知条件，熟练掌握全等判定定理是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8

4. 如图,已知$∠ ACB=∠ ADB=90°$,AB平分$∠ CAD$,E是AB上任意一点.求证:$CE=DE$.

证明：
∵ AB平分∠CAD，
∴ ∠CAB = ∠DAB。
在△ACB和△ADB中，
$\{\begin{array}{l}∠ACB = ∠ADB = 90° \\∠CAB = ∠DAB \\AB = AB\end{array} $
∴ △ACB ≌ △ADB（AAS），
∴ AC = AD。
在△ACE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\∠CAE = ∠DAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ACE ≌ △ADE（SAS），
∴ CE = DE。

【分析】
要证明CE=DE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，即证△ACE≌△ADE。已知AB平分∠CAD，可得∠CAE=∠DAE，且AE是两个三角形的公共边，因此还缺少一组对应边相等的条件，即AC=AD。要得到AC=AD，可结合已知∠ACB=∠ADB=90°、AB平分∠CAD、AB为公共边，通过AAS先证明△ACB≌△ADB，即可得到AC=AD，进而证得△ACE≌△ADE，推出CE=DE。
【解析】
证明：
∵ AB平分∠CAD，
∴ ∠CAB = ∠DAB。
在△ACB和△ADB中，
$\{\begin{array}{l}∠ACB = ∠ADB = 90° \\∠CAB = ∠DAB \\AB = AB\end{array} $
∴ △ACB ≌ △ADB（AAS），
∴ AC = AD。
在△ACE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\∠CAE = ∠DAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ACE ≌ △ADE（SAS），
∴ CE = DE。
【答案】
CE=DE
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，需要通过两次证明三角形全等来得到线段相等的结论，解题时要注意挖掘图形中的公共边、公共角等隐含条件，逐步推导全等的判定条件即可解决问题。
【难度系数】
0.7