5. 如图，$AB ⊥ AD$，$AB = AD$，$AC ⊥ AE$，$AC = AE$，F为DE的中点，连接AF. 求证：$BC = 2AF$.

5. 证明:延长 AF 至点 M,使 FM=AF,连接 ME(图略).
∵F 为 DE 的中点,
∴DF=EF.
∵∠AFD=∠MFE,
∴△AFD≌△MFE(SAS),
∴AM=2AF,AD=ME,∠ADF=∠MEF,
∴AD//EM,
∴∠DAE+∠AEM=180°.
∵∠DAE+∠BAC=180°,
∴∠AEM=∠BAC.
∵AB=AD=ME,AE=AC,
∴△AEM≌△CAB(SAS),
∴AM=CB,
∴BC=2AF.

【分析】
要证明BC=2AF，待证结论是线段的倍分关系，且已知F是DE的中点，可采用倍长中线法构造全等三角形，将2AF转化为单条线段后，再证明该线段与BC相等。首先延长AF构造全等三角形，将AD转化为ME，同时得到AD与EM的平行关系，推导角的等量关系；再结合已知的垂直、等边条件，证明包含BC和转化后线段的两个三角形全等，即可完成证明。
【解析】
证明:延长 AF 至点 M,使 FM=AF,连接 ME.
∵F 为 DE 的中点,
∴DF=EF.
∵∠AFD=∠MFE,
∴△AFD≌△MFE(SAS),
∴AM=2AF,AD=ME,∠ADF=∠MEF,
∴AD//EM,
∴∠DAE+∠AEM=180°.
∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAE+∠BAC=360°-∠BAD-∠CAE=180°,
∴∠AEM=∠BAC.
∵AB=AD=ME,AE=AC,
∴△AEM≌△CAB(SAS),
∴AM=CB,
∴BC=2AF.
【答案】
BC=2AF，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、倍长中线构造辅助线、平行线的判定与性质
【点评】
本题是证明线段倍分关系的典型题型，核心解题技巧是结合中点条件使用倍长中线法构造全等三角形，将分散的边角条件整合，进而通过全等三角形的性质推导待证结论，掌握这类辅助线的做法能大幅提升几何证明的效率。
【难度系数】
0.6

6. [一题多解题] 如图，$AB // CD$，$BE$ 平分$∠ ABC$，$CE$ 平分$∠ BCD$，点 $E$ 在 $AD$ 上. 求证：$BC=AB+CD$.

6. 证明:方法1(截长法):在 BC 上截取 BF=BA,连接 EF(图略).
∵BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,
∴∠ABE=∠FBE,∠DCE=∠FCE.
在△ABE 和△FBE 中,
∵$\begin{cases} BA=BF, \\ ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴∠A=∠BFE.
∵AB//CD,
∴∠A+∠D=180°.
又
∵∠BFE+∠EFC=180°,
∴∠EFC=∠D,
∴△CDE≌△CFE(AAS),
∴CD=CF,
∴BC=BF+CF=AB+CD.
方法2(补短法):延长 BE 交 CD 的延长线于点 F(图略).
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵AB//CD,
∴∠F=∠ABE,∠A=∠FDA,
∴∠F=∠CBE.
∵CE 平分∠BCD,
∴∠BCE=∠FCE,
∴△BCE≌△FCE(AAS),
∴BE=FE,BC=FC,
易证△ABE≌△DFE(ASA),
∴AB=DF,
∴BC=CF=DF+CD=AB+CD.

【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用“截长补短法”解题：①截长法：在较长线段BC上截取一段等于AB，将问题转化为证明剩余线段等于CD，结合角平分线条件可先证△ABE和截取得到的三角形全等，再利用平行线同旁内角互补的性质证明另一组三角形全等，即可得到线段等量关系；②补短法：通过延长线段将两条短线段拼接为一条线段，再证明拼接后的线段等于长线段BC，本题可延长BE交CD的延长线，利用平行线和角平分线的性质先得到等角，再通过两次全等推导线段关系完成证明。
【解析】
方法1（截长法）：在BC上截取BF=BA，连接EF。
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE=∠FBE，∠DCE=∠FCE。
在△ABE和△FBE中，
$\begin{cases} BA=BF, \\ ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴△ABE≌△FBE(SAS)，
∴∠A=∠BFE。
∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°。
又
∵∠BFE+∠EFC=180°，
∴∠EFC=∠D，
在△CDE和△CFE中，
$\begin{cases} ∠EFC=∠D, \\ ∠DCE=∠FCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴△CDE≌△CFE(AAS)，
∴CD=CF，
∴BC=BF+CF=AB+CD。
方法2（补短法）：延长BE交CD的延长线于点F。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE。
∵AB//CD，
∴∠F=∠ABE，∠A=∠EDF，
∴∠F=∠CBE。
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE，
在△BCE和△FCE中，
$\begin{cases} ∠F=∠CBE, \\ ∠BCE=∠FCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴△BCE≌△FCE(AAS)，
∴BE=FE，BC=FC。
在△ABE和△DFE中，
$\begin{cases} ∠ABE=∠F, \\ BE=FE, \\ ∠AEB=∠DEF, \end{cases}$
∴△ABE≌△DFE(ASA)，
∴AB=DF，
∴BC=CF=DF+CD=AB+CD。
【答案】
BC=AB+CD，证明成立
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 平行线的性质
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题型，核心考查构造全等三角形的“截长补短”辅助线作法，解题时需结合角平分线、平行线的性质寻找全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.6

7.[一题多解题]如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$∠ 1=∠ 2$,$P$为$AD$上任意一点.求证:$AB-AC＞PB-PC$.

7. 证明:方法1(补短法):延长 AC 至点 M,使 AM=AB,连接 PM(图略).
易证△ABP≌△AMP(SAS),
∴PB=PM.
在△PCM 中,CM＞PM-PC,
∴AM-AC＞PB-PC,
∴AB-AC＞PB-PC.
方法2(截长法):在 AB 上截取 AE,使 AE=AC,连接 PE(图略).
易证△AEP≌△ACP(SAS),
∴PE=PC.
在△PBE 中,BE＞PB-PE,
∴AB-AE＞PB-PC,
∴AB-AC＞PB-PC.

【分析】
要证明线段差的不等关系，优先考虑三角形三边关系中“两边之差小于第三边”的结论，因此需要将待证涉及的线段转化到同一个三角形中。已知∠1=∠2，AD是∠BAC的角平分线，可借助角平分线的对称性，通过截长或补短的方法构造全等三角形，实现线段的等量替换，将AB-AC、PB、PC转化为同一三角形的三边，再利用三边关系推导结论。
【解析】
方法1（补短法）
延长AC至点M，使AM=AB，连接PM。
在$△ ABP$和$△ AMP$中：
$\begin{cases}AB=AM \\∠ 1=∠ 2 \\AP=AP\end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ AMP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore PB=PM$。
在$△ PCM$中，由三角形三边关系得$CM＞PM-PC$，
又$\because CM=AM-AC=AB-AC$，$PM=PB$，
$\therefore AB-AC＞PB-PC$。
---
方法2（截长法）
在AB上截取AE，使AE=AC，连接PE。
在$△ AEP$和$△ ACP$中：
$\begin{cases}AE=AC \\∠ 1=∠ 2 \\AP=AP\end{cases}$
$\therefore △ AEP ≌ △ ACP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore PE=PC$。
在$△ PBE$中，由三角形三边关系得$BE＞PB-PE$，
又$\because BE=AB-AE=AB-AC$，$PE=PC$，
$\therefore AB-AC＞PB-PC$。
【答案】
$\boldsymbol{AB-AC＞PB-PC}$
【知识点】
全等三角形判定与性质；三角形三边关系；截长补短辅助线作法
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段不等关系的典型习题，借助角平分线的对称性使用截长补短法构造全等，完成线段的等量转化，再结合三角形三边关系即可证明，有助于理解几何辅助线的构造逻辑，提升几何证明能力。
【难度系数】
0.6

8. 如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,F为AB的中点,连接CF,交AD于点G,连接BG. 求证:BE=$\frac{1}{2}$AD.

8. 证明:延长 BE,AC 交于点 H(图略).
∵BE⊥AD,
∴∠AEB=∠AEH=90°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠HAE.
易证△BAE≌△HAE(ASA),
∴BE=HE=$\frac{1}{2}$BH.
∵∠H+∠CBH=90°,∠H+∠CAD=90°,
∴∠CBH=∠CAD.
在△BCH 和△ACD 中,
∵$\begin{cases} ∠BCH=∠ACD, \\ BC=AC, \\ ∠CBH=∠CAD, \end{cases}$
∴△BCH≌△ACD(ASA),
∴BH=AD,
∴BE=$\frac{1}{2}$AD.

【分析】
要证明BE=$\frac{1}{2}$AD，属于线段倍分关系的证明，可通过转化线段的思路求解：首先观察到AD是∠BAC的角平分线且BE⊥AD，符合“角平分线+垂线”的特征，可延长BE、AC交于点H，先证△BAE≌△HAE，得到BE是BH的一半；接下来只需证明BH与AD相等即可，通过同角的余角相等推导角相等，结合已知AC=BC、直角相等的条件，证明△BCH和△ACD全等，即可得到BH=AD，进而推导出结论。
【解析】
证明：延长BE，AC交于点H。
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEH=90°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠HAE。
在△BAE和△HAE中：
$\begin{cases}∠BAE=∠HAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEH\end{cases}$
∴△BAE≌△HAE(ASA)，
∴BE=HE=$\frac{1}{2}$BH。
∵∠ACB=90°，
∴∠BCH=∠ACD=90°，
∵∠H+∠CBH=90°，∠H+∠CAD=90°，
∴∠CBH=∠CAD。
在△BCH和△ACD中：
$\begin{cases}∠BCH=∠ACD \\BC=AC \\∠CBH=∠CAD\end{cases}$
∴△BCH≌△ACD(ASA)，
∴BH=AD，
∴BE=$\frac{1}{2}$AD。
【答案】
证明成立，过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，核心是根据“角平分线+垂线”的图形特征构造全等三角形得到线段倍分关系，再通过另一组全等三角形完成线段的转化，熟练掌握全等三角形的判定定理和常见辅助线构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6