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5. 如图，已知$∠ 1=∠ 2$，$AB=AD$，$AC=AE$，$BC$交$AD$于点$M$，$AC$交$DE$于点$N$. 写出图中的全等三角形：
$△ ABC≌△ ADE$
. 答案
5. $△ ABC≌△ ADE$
解析
【分析】
要找出图中的全等三角形，首先梳理已知条件：已知∠1=∠2，AB=AD，AC=AE。首先利用角的和差关系，将已知等角同时加上公共角∠MAC，可推出两个三角形的夹角∠BAC和∠DAE相等，此时两组对应边相等且夹角相等，符合全等三角形的SAS判定条件，即可得到全等三角形。
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠MAC=∠2+∠MAC，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD（已知）\\∠BAC=∠DAE（已证）\\AC=AE（已知）\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS）。
【答案】
$△ ABC≌△ ADE$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，属于典型的旋转型全等模型，解题关键是通过已知等角推导全等所需的对应夹角相等，再结合边的条件使用判定定理证明全等，熟练掌握这类模型可快速找到全等关系。
【难度系数】
0.8
要找出图中的全等三角形，首先梳理已知条件：已知∠1=∠2，AB=AD，AC=AE。首先利用角的和差关系，将已知等角同时加上公共角∠MAC，可推出两个三角形的夹角∠BAC和∠DAE相等，此时两组对应边相等且夹角相等，符合全等三角形的SAS判定条件，即可得到全等三角形。
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠MAC=∠2+∠MAC，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD（已知）\\∠BAC=∠DAE（已证）\\AC=AE（已知）\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS）。
【答案】
$△ ABC≌△ ADE$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，属于典型的旋转型全等模型，解题关键是通过已知等角推导全等所需的对应夹角相等，再结合边的条件使用判定定理证明全等，熟练掌握这类模型可快速找到全等关系。
【难度系数】
0.8
6.[2025·六安全安区期末]如图，$AE// BC$且$AE=AC$，$∠ EFA=∠ ABC$.
(1)求证：$△ ABC≌△ EFA$；
(2)若$∠ E=15°$，$∠ EAB=35°$，求$∠ C$的度数.
(1)求证：$△ ABC≌△ EFA$；
(2)若$∠ E=15°$，$∠ EAB=35°$，求$∠ C$的度数.
答案
6. (1)证明:$\because AE// BC,\therefore ∠ C=∠ EAF$.
在$△ ABC$和$△ EFA$中,
$\because \begin{cases} ∠ C=∠ EAF, \\ ∠ ABC=∠ EFA,\therefore △ ABC≌△ EFA(AAS). \\ AC=EA, \end{cases}$
(2)由(1)得$∠ C=∠ EAF,△ ABC≌△ EFA$,
$\therefore ∠ BAC=∠ E=15°$.
$\because ∠ EAB=35°,\therefore ∠ EAF=∠ EAB-∠ BAC=20°$,
$\therefore ∠ C=∠ EAF=20°$.
在$△ ABC$和$△ EFA$中,
$\because \begin{cases} ∠ C=∠ EAF, \\ ∠ ABC=∠ EFA,\therefore △ ABC≌△ EFA(AAS). \\ AC=EA, \end{cases}$
(2)由(1)得$∠ C=∠ EAF,△ ABC≌△ EFA$,
$\therefore ∠ BAC=∠ E=15°$.
$\because ∠ EAB=35°,\therefore ∠ EAF=∠ EAB-∠ BAC=20°$,
$\therefore ∠ C=∠ EAF=20°$.
解析
【分析】
(1)要证明$△ ABC≌△ EFA$，先梳理已知条件：题目已给出$∠ EFA=∠ ABC$、$AE=AC$，还缺一组对应角相等的条件；由$AE// BC$，根据平行线的内错角相等可得$∠ C=∠ EAF$，此时刚好满足AAS的全等判定条件，即可证明两三角形全等。
(2)求$∠ C$的度数时，结合(1)的全等结论，全等三角形对应角相等，可得$∠ BAC=∠ E$、$∠ C=∠ EAF$，再根据已知的$∠ E$和$∠ EAB$的度数，通过角的和差关系计算出$∠ EAF$的度数，即可得到$∠ C$的度数。
【解析】
(1)证明：$\because AE// BC$，$\therefore ∠ C=∠ EAF$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$和$△ EFA$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ EAF \\∠ ABC=∠ EFA \\AC=EA\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EFA(\mathrm{AAS})$。
(2)解：由(1)中$△ ABC≌△ EFA$，可得$∠ BAC=∠ E=15°$，且$∠ C=∠ EAF$。
$\because ∠ EAB=35°$，
$\therefore ∠ EAF=∠ EAB-∠ BAC=35°-15°=20°$，
$\therefore ∠ C=∠ EAF=20°$。
【答案】
(1)$△ ABC≌△ EFA$得证；
(2)$∠ C=20°$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题，结合平行线的性质考查全等的判定和性质，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角，再结合角的和差关系计算角度，是巩固全等相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$△ ABC≌△ EFA$，先梳理已知条件：题目已给出$∠ EFA=∠ ABC$、$AE=AC$，还缺一组对应角相等的条件；由$AE// BC$，根据平行线的内错角相等可得$∠ C=∠ EAF$，此时刚好满足AAS的全等判定条件，即可证明两三角形全等。
(2)求$∠ C$的度数时，结合(1)的全等结论，全等三角形对应角相等，可得$∠ BAC=∠ E$、$∠ C=∠ EAF$，再根据已知的$∠ E$和$∠ EAB$的度数，通过角的和差关系计算出$∠ EAF$的度数，即可得到$∠ C$的度数。
【解析】
(1)证明：$\because AE// BC$，$\therefore ∠ C=∠ EAF$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$和$△ EFA$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ EAF \\∠ ABC=∠ EFA \\AC=EA\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EFA(\mathrm{AAS})$。
(2)解：由(1)中$△ ABC≌△ EFA$，可得$∠ BAC=∠ E=15°$，且$∠ C=∠ EAF$。
$\because ∠ EAB=35°$，
$\therefore ∠ EAF=∠ EAB-∠ BAC=35°-15°=20°$，
$\therefore ∠ C=∠ EAF=20°$。
【答案】
(1)$△ ABC≌△ EFA$得证；
(2)$∠ C=20°$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题，结合平行线的性质考查全等的判定和性质，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角，再结合角的和差关系计算角度，是巩固全等相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
7.如图,已知$∠ ACB=90°,AC=BC,AD⊥ CE,BE⊥ CE$,垂足分别是点$D,E$.若$AD=3,BE=1$,则$DE$的长为
2
.答案
7. 2
解析
【分析】
首先观察已知条件，存在多个垂直关系，可先得到多个90°角，利用“同角的余角相等”推导相等的角；再结合已知的边相等条件，证明两个直角三角形全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，结合线段和差关系计算DE的长度。
【解析】
解：
∵$AD⊥CE$，$BE⊥CE$，
∴$∠ ADC=∠ CEB=90°$，
∴$∠ CAD+∠ ACD=90°$。
又
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ BCE+∠ ACD=90°$，
∴$∠ CAD=∠ BCE$（同角的余角相等）。
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ CAD=∠ BCE \\AC=BC\end{cases}$
∴$△ ACD≌△ CBE$（AAS），
∴$CE=AD=3$，$CD=BE=1$，
∴$DE=CE-CD=3-1=2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形“一线三垂直”模型的典型考法，解题核心是通过垂直关系推导等角，进而证明三角形全等，再结合全等的性质得到对应边长度即可求解。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，存在多个垂直关系，可先得到多个90°角，利用“同角的余角相等”推导相等的角；再结合已知的边相等条件，证明两个直角三角形全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，结合线段和差关系计算DE的长度。
【解析】
解：
∵$AD⊥CE$，$BE⊥CE$，
∴$∠ ADC=∠ CEB=90°$，
∴$∠ CAD+∠ ACD=90°$。
又
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ BCE+∠ ACD=90°$，
∴$∠ CAD=∠ BCE$（同角的余角相等）。
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ CAD=∠ BCE \\AC=BC\end{cases}$
∴$△ ACD≌△ CBE$（AAS），
∴$CE=AD=3$，$CD=BE=1$，
∴$DE=CE-CD=3-1=2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形“一线三垂直”模型的典型考法，解题核心是通过垂直关系推导等角，进而证明三角形全等，再结合全等的性质得到对应边长度即可求解。
【难度系数】
0.7
8.如图,直线CD经过∠BCA的顶点C,CA=CB,E,F是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠BCA=α.试猜想EF,BE,AF三条线段之间的数量关系,并说明理由.
答案
8. $EF=BE+AF$.理由略.
解析
【分析】
观察题目条件可知，已知一组等边$CA=CB$，三组等角$∠ BEC=∠ CFA=∠ BCA=α$，要推导三条线段的数量关系，优先考虑证明三角形全等。首先利用三角形内角和与平角的性质，推导$△ BEC$和$△ CFA$的两组对应角相等，结合已知等边即可证明两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，将线段转化即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
解：$EF=BE+AF$，理由如下：
$\because ∠ BEC=∠ BCA=α$，
在$△ BEC$中，$∠ CBE + ∠ BCE = 180°-∠ BEC = 180°-α$，
又$\because ∠ BCE + ∠ ACF = 180°-∠ BCA = 180°-α$，
$\therefore ∠ CBE = ∠ ACF$。
在$△ BEC$和$△ CFA$中：
$\begin{cases}∠ BEC=∠ CFA \\∠ CBE=∠ ACF \\CB=CA\end{cases}$
$\therefore △ BEC ≌ △ CFA(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=CF$，$EC=AF$，
$\because EF=EC+CF$，
$\therefore EF=AF+BE$，即$EF=BE+AF$。
【答案】
$\boldsymbol{EF=BE+AF}$
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形中“一线三等角”的典型模型，解题核心是通过角度的和差关系推导得到相等的对应角，结合已知等边证明三角形全等，再通过线段的和差转化得到结论，熟练掌握该模型可以快速解决同类线段和差类问题。
【难度系数】
0.7
观察题目条件可知，已知一组等边$CA=CB$，三组等角$∠ BEC=∠ CFA=∠ BCA=α$，要推导三条线段的数量关系，优先考虑证明三角形全等。首先利用三角形内角和与平角的性质，推导$△ BEC$和$△ CFA$的两组对应角相等，结合已知等边即可证明两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，将线段转化即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
解：$EF=BE+AF$，理由如下：
$\because ∠ BEC=∠ BCA=α$，
在$△ BEC$中，$∠ CBE + ∠ BCE = 180°-∠ BEC = 180°-α$，
又$\because ∠ BCE + ∠ ACF = 180°-∠ BCA = 180°-α$，
$\therefore ∠ CBE = ∠ ACF$。
在$△ BEC$和$△ CFA$中：
$\begin{cases}∠ BEC=∠ CFA \\∠ CBE=∠ ACF \\CB=CA\end{cases}$
$\therefore △ BEC ≌ △ CFA(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=CF$，$EC=AF$，
$\because EF=EC+CF$，
$\therefore EF=AF+BE$，即$EF=BE+AF$。
【答案】
$\boldsymbol{EF=BE+AF}$
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形中“一线三等角”的典型模型，解题核心是通过角度的和差关系推导得到相等的对应角，结合已知等边证明三角形全等，再通过线段的和差转化得到结论，熟练掌握该模型可以快速解决同类线段和差类问题。
【难度系数】
0.7
