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1. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，A(2.18, -0.51)，B(2.68, 0.51)为图象上的两点，则方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解可能是(
A.2.75
B.2.68
C.2.45
D.2.18
C
).A.2.75
B.2.68
C.2.45
D.2.18
答案
1. C
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解，首先明确：该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象与x轴交点的横坐标，即y=0时x的取值。观察已知的两个点：A点横坐标为2.18时，函数值为-0.51＜0，说明图象在x轴下方；B点横坐标为2.68时，函数值为0.51＞0，说明图象在x轴上方。由于二次函数图象是连续的曲线，因此在2.18和2.68之间必然存在一个x，使得y=0，也就是方程的一个解在2.18~2.68的范围内，最后对比选项选出符合该范围的数值即可。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象与x轴交点的横坐标，
由A(2.18, -0.51)得：当x=2.18时，$y=-0.51＜0$，
由B(2.68, 0.51)得：当x=2.68时，$y=0.51＞0$，
∵ 二次函数图象是连续的曲线，
∴ 当y=0时，x的取值范围为$2.18＜x＜2.68$。
逐一分析选项：
A. $2.75＞2.68$，不在该范围内，排除；
B. $x=2.68$时$y=0.51≠0$，不是方程的解，排除；
C. $2.18＜2.45＜2.68$，符合取值范围，正确；
D. $x=2.18$时$y=-0.51≠0$，不是方程的解，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象的性质
【点评】
本题考查利用二次函数图象估算一元二次方程的解，解题核心是掌握二次函数的函数值与对应一元二次方程解的联系，题型基础，难度不大。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解，首先明确：该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象与x轴交点的横坐标，即y=0时x的取值。观察已知的两个点：A点横坐标为2.18时，函数值为-0.51＜0，说明图象在x轴下方；B点横坐标为2.68时，函数值为0.51＞0，说明图象在x轴上方。由于二次函数图象是连续的曲线，因此在2.18和2.68之间必然存在一个x，使得y=0，也就是方程的一个解在2.18~2.68的范围内，最后对比选项选出符合该范围的数值即可。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象与x轴交点的横坐标，
由A(2.18, -0.51)得：当x=2.18时，$y=-0.51＜0$，
由B(2.68, 0.51)得：当x=2.68时，$y=0.51＞0$，
∵ 二次函数图象是连续的曲线，
∴ 当y=0时，x的取值范围为$2.18＜x＜2.68$。
逐一分析选项：
A. $2.75＞2.68$，不在该范围内，排除；
B. $x=2.68$时$y=0.51≠0$，不是方程的解，排除；
C. $2.18＜2.45＜2.68$，符合取值范围，正确；
D. $x=2.18$时$y=-0.51≠0$，不是方程的解，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象的性质
【点评】
本题考查利用二次函数图象估算一元二次方程的解，解题核心是掌握二次函数的函数值与对应一元二次方程解的联系，题型基础，难度不大。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分取值如下表所示，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的取值范围是(
A.$x＜2.3$
B.$2.3＜x＜2.4$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$x＞2.5$
C
).A.$x＜2.3$
B.$2.3＜x＜2.4$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$x＞2.5$
答案
2. C
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的取值范围，首先明确该方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当相邻两个$x$对应的$y$值由负变正（或由正变负）时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，即方程的一个解落在这个区间内，接下来观察表格中$y$值的符号变化即可判断区间。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=2.4$时，$y=-0.8＜0$；
当$x=2.5$时，$y=1.4＞0$。
因为二次函数的图象是连续的，所以在$2.4＜x＜2.5$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的取值范围是$2.4＜x＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题主要考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题的关键是理解二次函数图象的连续性，通过函数值的正负变化判断方程根的所在区间，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的取值范围，首先明确该方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当相邻两个$x$对应的$y$值由负变正（或由正变负）时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，即方程的一个解落在这个区间内，接下来观察表格中$y$值的符号变化即可判断区间。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=2.4$时，$y=-0.8＜0$；
当$x=2.5$时，$y=1.4＞0$。
因为二次函数的图象是连续的，所以在$2.4＜x＜2.5$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的取值范围是$2.4＜x＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题主要考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题的关键是理解二次函数图象的连续性，通过函数值的正负变化判断方程根的所在区间，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
3. 小明用作图软件探索方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c$为常数)的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根$x=-3.4$，则方程的另一个近似根(精确到0.1)为(
A.2.4
B.2.6
C.1.4
D.1.6
C
).A.2.4
B.2.6
C.1.4
D.1.6
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标；其次二次函数的图象是抛物线，它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点横坐标的中点就是对称轴所在的位置。已知抛物线对称轴为$x=-1$，其中一个根为$x=-3.4$，我们可以利用对称性计算出另一个根。
【解析】
设方程的另一个近似根为$x$，根据二次函数图象的对称性，两个根的中点为对称轴$x=-1$，可得：
$\frac{x + (-3.4)}{2} = -1$
等式两边同乘2得：$x - 3.4 = -2$
解得：$x = 3.4 - 2 = 1.4$
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题型，将方程的根与二次函数图象结合，利用抛物线的对称性即可快速求解，解题的核心是理解二次函数与x轴交点横坐标和对应一元二次方程根的对应关系。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标；其次二次函数的图象是抛物线，它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点横坐标的中点就是对称轴所在的位置。已知抛物线对称轴为$x=-1$，其中一个根为$x=-3.4$，我们可以利用对称性计算出另一个根。
【解析】
设方程的另一个近似根为$x$，根据二次函数图象的对称性，两个根的中点为对称轴$x=-1$，可得：
$\frac{x + (-3.4)}{2} = -1$
等式两边同乘2得：$x - 3.4 = -2$
解得：$x = 3.4 - 2 = 1.4$
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题型，将方程的根与二次函数图象结合，利用抛物线的对称性即可快速求解，解题的核心是理解二次函数与x轴交点横坐标和对应一元二次方程根的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. 如图，抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-1,p)$，$B(3,q)$两点，则方程$ax^2+c=mx+n$的解为________。
答案
4. x=-1或x=3
解析
【分析】
解题时首先要明确方程$ax^2+c=mx+n$的解的几何意义：该方程的解就是二次函数$y=ax^2+c$和一次函数$y=mx+n$函数值相等时对应的$x$的取值，对应到图象上就是两个函数交点的横坐标。已知两个函数的交点坐标为$A(-1,p)$、$B(3,q)$，直接提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
两个函数图象交点的横坐标，就是令两个函数表达式相等所构成方程的解。
已知抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-1,p)$、$B(3,q)$两点，说明当$x=-1$和$x=3$时，$ax^2+c=mx+n$成立，因此方程$ax^2+c=mx+n$的解为$x=-1$或$x=3$。
【答案】
$x=-1$或$x=3$
【知识点】
1. 函数与方程的关系
2. 二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图象交点和对应方程解的对应关系，掌握该对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确方程$ax^2+c=mx+n$的解的几何意义：该方程的解就是二次函数$y=ax^2+c$和一次函数$y=mx+n$函数值相等时对应的$x$的取值，对应到图象上就是两个函数交点的横坐标。已知两个函数的交点坐标为$A(-1,p)$、$B(3,q)$，直接提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
两个函数图象交点的横坐标，就是令两个函数表达式相等所构成方程的解。
已知抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-1,p)$、$B(3,q)$两点，说明当$x=-1$和$x=3$时，$ax^2+c=mx+n$成立，因此方程$ax^2+c=mx+n$的解为$x=-1$或$x=3$。
【答案】
$x=-1$或$x=3$
【知识点】
1. 函数与方程的关系
2. 二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图象交点和对应方程解的对应关系，掌握该对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 下表列出了二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的一些对应值，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0.5(a≠0)$的一个负解$x_1$的取值范围是
$-1＜x_1＜0$
。答案
5. $-1＜x_1＜0$
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0.5$的负解范围，首先要明确该方程的解等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0.5时对应的自变量$x$的值。我们可以观察表格中$y$值接近0.5的两组数据，结合二次函数图象是连续曲线的特点，找到函数值从小于0.5变到大于0.5对应的$x$区间，再筛选出负解所在的区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0.5$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0.5$时对应的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=-1$时，$y=-1$，此时$y=-1＜0.5$；
当$x=0$时，$y=1$，此时$y=1＞0.5$。
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此在$-1＜x＜0$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=ax^2+bx+c=0.5$，且该区间内的$x$均为负数，符合负解的要求。
【答案】
$-1＜x_1＜0$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.函数值与自变量的对应关系
【点评】
本题主要考查利用二次函数的对应值估计方程的解，解题的核心是理解方程的解与对应二次函数函数值的联系，结合函数图象的连续性判断自变量的取值范围，是二次函数与方程结合的基础典型题。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0.5$的负解范围，首先要明确该方程的解等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0.5时对应的自变量$x$的值。我们可以观察表格中$y$值接近0.5的两组数据，结合二次函数图象是连续曲线的特点，找到函数值从小于0.5变到大于0.5对应的$x$区间，再筛选出负解所在的区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0.5$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0.5$时对应的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=-1$时，$y=-1$，此时$y=-1＜0.5$；
当$x=0$时，$y=1$，此时$y=1＞0.5$。
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此在$-1＜x＜0$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=ax^2+bx+c=0.5$，且该区间内的$x$均为负数，符合负解的要求。
【答案】
$-1＜x_1＜0$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.函数值与自变量的对应关系
【点评】
本题主要考查利用二次函数的对应值估计方程的解，解题的核心是理解方程的解与对应二次函数函数值的联系，结合函数图象的连续性判断自变量的取值范围，是二次函数与方程结合的基础典型题。
【难度系数】
0.7
