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3. 已知二次函数 $y=x^2-2mx+m^2+3$（$m$ 是常数）.
(1)求证：不论 $m$ 为何值，该函数的图象与 $x$ 轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿 $y$ 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 $x$ 轴只有一个公共点？
(1)求证：不论 $m$ 为何值，该函数的图象与 $x$ 轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿 $y$ 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 $x$ 轴只有一个公共点？
答案
3. (1)
∵$\Delta=(-2m)^2-4(m^2+3)=-12＜0$，
∴方程$x^2-2mx+m^2+3=0$没有实数根，即不论$m$为何值，该函数的图象与$x$轴没有公共点.
(2)$y=x^2-2mx+m^2+3=(x-m)^2+3$，把函数$y=(x-m)^2+3$的图象沿$y$轴向下平移3个单位长度后，得到函数$y=(x-m)^2$的图象，它的顶点坐标是$(m，0)$，这个函数的图象与$x$轴只有一个公共点.
∵$\Delta=(-2m)^2-4(m^2+3)=-12＜0$，
∴方程$x^2-2mx+m^2+3=0$没有实数根，即不论$m$为何值，该函数的图象与$x$轴没有公共点.
(2)$y=x^2-2mx+m^2+3=(x-m)^2+3$，把函数$y=(x-m)^2+3$的图象沿$y$轴向下平移3个单位长度后，得到函数$y=(x-m)^2$的图象，它的顶点坐标是$(m，0)$，这个函数的图象与$x$轴只有一个公共点.
解析
【分析】
(1) 二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实数根个数是一一对应的，要证明函数图象与x轴没有公共点，只需证明令y=0得到的一元二次方程没有实数根，即计算根的判别式Δ，判断Δ＜0即可。
(2) 先把原二次函数化为顶点式，能更直观看到顶点的纵坐标；沿y轴向下平移时，函数整体减去平移的单位长度，要让新函数图象和x轴只有一个公共点，只需让平移后的函数顶点落在x轴上（顶点纵坐标为0），即可算出平移的单位长度。
【解析】
(1) 令二次函数$y=x^2-2mx+m^2+3$中$y=0$，可得一元二次方程：$x^2-2mx+m^2+3=0$
计算该方程的根的判别式：
$\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+3)=4m^2-4m^2-12=-12＜0$
因此方程$x^2-2mx+m^2+3=0$没有实数根，即不论$m$为何值，该函数的图象与$x$轴没有公共点。
(2) 先对原函数配方化为顶点式：
$y=x^2-2mx+m^2+3=(x-m)^2+3$
原函数的顶点坐标为$(m,3)$，将图象沿y轴向下平移$k$个单位后，新函数解析式为$y=(x-m)^2+3-k$。
若新函数图象与x轴只有一个公共点，需顶点落在x轴上，即顶点纵坐标为0：
$3-k=0$，解得$k=3$
即向下平移3个单位长度后，得到函数$y=(x-m)^2$的图象，它的顶点坐标为$(m,0)$，该函数图象与x轴只有一个公共点。
【答案】
(1) 证明成立，不论$m$为何值，该函数图象与$x$轴没有公共点；
(2) 沿$y$轴向下平移3个单位长度。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象平移规律
3. 根的判别式的应用
【点评】
本题属于二次函数的基础常规考题，核心考查函数与方程的转化思想，同时结合了二次函数平移的性质，掌握判别式和交点个数的对应关系、平移的变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实数根个数是一一对应的，要证明函数图象与x轴没有公共点，只需证明令y=0得到的一元二次方程没有实数根，即计算根的判别式Δ，判断Δ＜0即可。
(2) 先把原二次函数化为顶点式，能更直观看到顶点的纵坐标；沿y轴向下平移时，函数整体减去平移的单位长度，要让新函数图象和x轴只有一个公共点，只需让平移后的函数顶点落在x轴上（顶点纵坐标为0），即可算出平移的单位长度。
【解析】
(1) 令二次函数$y=x^2-2mx+m^2+3$中$y=0$，可得一元二次方程：$x^2-2mx+m^2+3=0$
计算该方程的根的判别式：
$\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+3)=4m^2-4m^2-12=-12＜0$
因此方程$x^2-2mx+m^2+3=0$没有实数根，即不论$m$为何值，该函数的图象与$x$轴没有公共点。
(2) 先对原函数配方化为顶点式：
$y=x^2-2mx+m^2+3=(x-m)^2+3$
原函数的顶点坐标为$(m,3)$，将图象沿y轴向下平移$k$个单位后，新函数解析式为$y=(x-m)^2+3-k$。
若新函数图象与x轴只有一个公共点，需顶点落在x轴上，即顶点纵坐标为0：
$3-k=0$，解得$k=3$
即向下平移3个单位长度后，得到函数$y=(x-m)^2$的图象，它的顶点坐标为$(m,0)$，该函数图象与x轴只有一个公共点。
【答案】
(1) 证明成立，不论$m$为何值，该函数图象与$x$轴没有公共点；
(2) 沿$y$轴向下平移3个单位长度。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象平移规律
3. 根的判别式的应用
【点评】
本题属于二次函数的基础常规考题，核心考查函数与方程的转化思想，同时结合了二次函数平移的性质，掌握判别式和交点个数的对应关系、平移的变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知二次函数 $y=-x^2+2x+m$.
(1)如果二次函数的图象与$x$轴有两个交点，求$m$的取值范围；
(2)若抛物线在$x$轴上截得的线段长为6，求$m$的值.
(1)如果二次函数的图象与$x$轴有两个交点，求$m$的取值范围；
(2)若抛物线在$x$轴上截得的线段长为6，求$m$的值.
答案
4. (1)根据题意知，$\Delta=2^2-4×(-1)× m＞0$，解得$m＞-1$.
(2)令$y=0$，则$-x^2+2x+m=0$，
∴$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-m$.
∵抛物线在$x$轴上截得的线段长为6，
∴$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2^2-4×(-m)}=6$，解得$m=8$.
(2)令$y=0$，则$-x^2+2x+m=0$，
∴$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-m$.
∵抛物线在$x$轴上截得的线段长为6，
∴$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2^2-4×(-m)}=6$，解得$m=8$.
解析
【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题思路如下：
(1) 二次函数图象与x轴的交点个数对应其转化的一元二次方程的实数根个数：有两个交点等价于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0，代入对应系数列不等式求解即可。
(2) 抛物线在x轴上截得的线段长等于两个交点横坐标的差的绝对值，可先根据根与系数的关系求出两根之和、两根之积，再利用$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$的变形公式，结合线段长为6列方程求解m的值。
【解析】
(1) 二次函数$y=-x^2+2x+m$对应的一元二次方程为$-x^2+2x+m=0$，其中$a=-1$，$b=2$，$c=m$。
根据题意，图象与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，因此判别式：
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×(-1)×m＞0$
化简得：$4+4m＞0$，解得$m＞-1$。
(2) 令$y=0$，可得方程$-x^2+2x+m=0$，设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-m$。
已知抛物线在x轴上截得的线段长为6，即两个交点横坐标的差的绝对值为6，因此：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=6$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-m$代入得：
$\sqrt{2^2-4×(-m)}=6$，即$\sqrt{4+4m}=6$
两边平方得：$4+4m=36$，解得$m=8$。
【答案】
(1)$m＞-1$；(2)$m=8$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心是掌握二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程实数根的对应关系，熟练运用根的判别式、根与系数的关系进行计算，其中两根差的变形公式是解决第二问的关键，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题思路如下：
(1) 二次函数图象与x轴的交点个数对应其转化的一元二次方程的实数根个数：有两个交点等价于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0，代入对应系数列不等式求解即可。
(2) 抛物线在x轴上截得的线段长等于两个交点横坐标的差的绝对值，可先根据根与系数的关系求出两根之和、两根之积，再利用$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$的变形公式，结合线段长为6列方程求解m的值。
【解析】
(1) 二次函数$y=-x^2+2x+m$对应的一元二次方程为$-x^2+2x+m=0$，其中$a=-1$，$b=2$，$c=m$。
根据题意，图象与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，因此判别式：
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×(-1)×m＞0$
化简得：$4+4m＞0$，解得$m＞-1$。
(2) 令$y=0$，可得方程$-x^2+2x+m=0$，设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-m$。
已知抛物线在x轴上截得的线段长为6，即两个交点横坐标的差的绝对值为6，因此：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=6$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-m$代入得：
$\sqrt{2^2-4×(-m)}=6$，即$\sqrt{4+4m}=6$
两边平方得：$4+4m=36$，解得$m=8$。
【答案】
(1)$m＞-1$；(2)$m=8$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心是掌握二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程实数根的对应关系，熟练运用根的判别式、根与系数的关系进行计算，其中两根差的变形公式是解决第二问的关键，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
