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5. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$如图所示，则
(1)关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是(
(2)关于$x$的方程$ax^2+bx+c=2.5$的根的情况是(
(3)关于$x$的方程$ax^2+bx+c=3$的根的情况是(
(4)关于$x$的方程$ax^2+bx+c=4$的根的情况是(
(A) 有两个不相等的正实数根
(B) 有两个异号实数根
(C) 有两个相等的实数根
(D) 没有实数根
(1)关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是(
B
);(2)关于$x$的方程$ax^2+bx+c=2.5$的根的情况是(
A
);(3)关于$x$的方程$ax^2+bx+c=3$的根的情况是(
C
);(4)关于$x$的方程$ax^2+bx+c=4$的根的情况是(
D
).(A) 有两个不相等的正实数根
(B) 有两个异号实数根
(C) 有两个相等的实数根
(D) 没有实数根
答案
5. (1)B (2)A (3)C (4)D
解析
【分析】
解题核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系：关于x的方程$ax^2+bx+c=k$的实数根，对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$交点的横坐标，交点个数就是方程根的个数，交点横坐标的符号对应根的符号。首先从图象提取关键信息：抛物线开口向下，函数最大值为3；与x轴交于原点两侧的两个点；与y轴交于$(0,2)$，即$x=0$时函数值为2。逐问分析$k$的取值，判断直线$y=k$与抛物线的交点情况即可求解。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$对应$k=0$，即判断抛物线与$x$轴（$y=0$）的交点：图象显示抛物线与$x$轴有两个交点，分别在$x＜0$和$x＞0$区域，因此方程有两个异号实数根，选B。
(2) 方程$ax^2+bx+c=2.5$对应$k=2.5＜3$，直线$y=2.5$与抛物线有两个交点；又$x≤0$时函数最大值为$x=0$处的$2＜2.5$，因此两个交点都在$x＞0$区域，方程有两个不相等的正实数根，选A。
(3) 方程$ax^2+bx+c=3$对应$k=3$，刚好是抛物线的最大值，直线$y=3$与抛物线仅交于顶点1个点，因此方程有两个相等的实数根，选C。
(4) 方程$ax^2+bx+c=4$对应$k=4＞3$，大于函数最大值，直线$y=4$与抛物线无交点，因此方程没有实数根，选D。
【答案】
(1)B (2)A (3)C (4)D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数图象性质
3.方程根的判定
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只需结合二次函数图象特征就能快速判断对应方程的根的情况，是二次函数与方程结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系：关于x的方程$ax^2+bx+c=k$的实数根，对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$交点的横坐标，交点个数就是方程根的个数，交点横坐标的符号对应根的符号。首先从图象提取关键信息：抛物线开口向下，函数最大值为3；与x轴交于原点两侧的两个点；与y轴交于$(0,2)$，即$x=0$时函数值为2。逐问分析$k$的取值，判断直线$y=k$与抛物线的交点情况即可求解。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$对应$k=0$，即判断抛物线与$x$轴（$y=0$）的交点：图象显示抛物线与$x$轴有两个交点，分别在$x＜0$和$x＞0$区域，因此方程有两个异号实数根，选B。
(2) 方程$ax^2+bx+c=2.5$对应$k=2.5＜3$，直线$y=2.5$与抛物线有两个交点；又$x≤0$时函数最大值为$x=0$处的$2＜2.5$，因此两个交点都在$x＞0$区域，方程有两个不相等的正实数根，选A。
(3) 方程$ax^2+bx+c=3$对应$k=3$，刚好是抛物线的最大值，直线$y=3$与抛物线仅交于顶点1个点，因此方程有两个相等的实数根，选C。
(4) 方程$ax^2+bx+c=4$对应$k=4＞3$，大于函数最大值，直线$y=4$与抛物线无交点，因此方程没有实数根，选D。
【答案】
(1)B (2)A (3)C (4)D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数图象性质
3.方程根的判定
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只需结合二次函数图象特征就能快速判断对应方程的根的情况，是二次函数与方程结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c(b＞a＞0)$与$x$轴最多有一个交点，试分析关于$x$的方程$ax^2+bx+c+2=0$根的情况.
答案
6.
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴$b^2-4ac≤0$，
∴关于x的方程$ax^2+bx+c+2=0$中，$\Delta=b^2-4a(c+2)=b^2-4ac-8a＜0$，即无实根.
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴$b^2-4ac≤0$，
∴关于x的方程$ax^2+bx+c+2=0$中，$\Delta=b^2-4a(c+2)=b^2-4ac-8a＜0$，即无实根.
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况，需先明确一元二次方程根的情况由判别式的符号决定。首先根据抛物线与x轴最多有一个交点的条件，得到原二次函数对应的判别式$b^2-4ac$的取值范围；再计算待判断方程的判别式，结合已知$b＞a＞0$的条件，推导新判别式的符号，即可得出根的情况。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴最多有一个交点，
∴对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式满足$b^2-4ac≤0$，
对于方程$ax^2+bx+c+2=0$，其判别式为：
$\Delta = b^2 - 4a(c+2) = b^2 - 4ac - 8a$，
∵$b＞a＞0$，
∴$a＞0$，即$8a＞0$，
结合$b^2-4ac≤0$，可得$b^2-4ac - 8a ＜ 0$，即$\Delta ＜ 0$，
∴该方程没有实数根。
【答案】
方程$ax^2+bx+c+2=0$没有实数根。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将二次函数图象性质和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是利用抛物线与x轴交点个数得到判别式的取值范围，再通过变形推导新方程判别式的符号，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要判断方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况，需先明确一元二次方程根的情况由判别式的符号决定。首先根据抛物线与x轴最多有一个交点的条件，得到原二次函数对应的判别式$b^2-4ac$的取值范围；再计算待判断方程的判别式，结合已知$b＞a＞0$的条件，推导新判别式的符号，即可得出根的情况。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴最多有一个交点，
∴对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式满足$b^2-4ac≤0$，
对于方程$ax^2+bx+c+2=0$，其判别式为：
$\Delta = b^2 - 4a(c+2) = b^2 - 4ac - 8a$，
∵$b＞a＞0$，
∴$a＞0$，即$8a＞0$，
结合$b^2-4ac≤0$，可得$b^2-4ac - 8a ＜ 0$，即$\Delta ＜ 0$，
∴该方程没有实数根。
【答案】
方程$ax^2+bx+c+2=0$没有实数根。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将二次函数图象性质和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是利用抛物线与x轴交点个数得到判别式的取值范围，再通过变形推导新方程判别式的符号，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
1. 若关于$x$的函数$y=kx^2+2x-1$与$x$轴仅有一个公共点，则实数$k$的值为
$k=-1$或$k=0$
.答案
1. $k=-1$或$k=0$
解析
【分析】
首先，题目给出的函数二次项系数为参数k，未明确函数为二次函数，因此需分类讨论函数类型：①当k=0时，函数为一次函数，结合一次函数图象性质判断其与x轴的交点情况；②当k≠0时，函数为二次函数，二次函数与x轴仅有一个公共点等价于对应一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0，代入系数计算k值，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，函数解析式为$y=2x-1$，属于一次函数，一次函数图象是直线，与$x$轴仅有一个交点，符合题意，因此$k=0$符合要求；
2. 当$k≠0$时，函数$y=kx^2+2x-1$是二次函数，若其与$x$轴仅有一个公共点，则对应一元二次方程$kx^2+2x-1=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
其中$a=k$，$b=2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta=2^2 - 4× k× (-1)=4+4k=0$
解得$k=-1$。
综上，实数$k$的值为$0$或$-1$。
【答案】
$k=-1$或$k=0$
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式应用
【点评】
本题易错点是直接默认函数为二次函数，忽略k=0的情况导致漏解。解题时遇到二次项系数含参数的函数问题，要先分类讨论函数类型，再结合对应性质求解，核心考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
首先，题目给出的函数二次项系数为参数k，未明确函数为二次函数，因此需分类讨论函数类型：①当k=0时，函数为一次函数，结合一次函数图象性质判断其与x轴的交点情况；②当k≠0时，函数为二次函数，二次函数与x轴仅有一个公共点等价于对应一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0，代入系数计算k值，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，函数解析式为$y=2x-1$，属于一次函数，一次函数图象是直线，与$x$轴仅有一个交点，符合题意，因此$k=0$符合要求；
2. 当$k≠0$时，函数$y=kx^2+2x-1$是二次函数，若其与$x$轴仅有一个公共点，则对应一元二次方程$kx^2+2x-1=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
其中$a=k$，$b=2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta=2^2 - 4× k× (-1)=4+4k=0$
解得$k=-1$。
综上，实数$k$的值为$0$或$-1$。
【答案】
$k=-1$或$k=0$
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式应用
【点评】
本题易错点是直接默认函数为二次函数，忽略k=0的情况导致漏解。解题时遇到二次项系数含参数的函数问题，要先分类讨论函数类型，再结合对应性质求解，核心考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
2. 二次函数$y=ax^2 - 2ax + c(a≠0)$的图象过点$(3, 0)$，则方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解为________.
答案
$x_1=-1，x_2=3$
解析
【分析】
解题思路如下：①先根据二次函数的一般式求出其对称轴；②利用二次函数图像（抛物线）关于对称轴对称的性质，结合已知的一个与x轴的交点坐标，求出另一个与x轴的交点坐标；③根据“二次函数图像与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解”，直接得出方程的解。
【解析】
第一步：求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中二次函数为$y=ax^2 - 2ax + c$，对应$b=-2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即该抛物线的对称轴为直线$x=1$。
第二步：利用对称性求另一个与x轴的交点
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知抛物线过点$(3,0)$，即其中一个交点横坐标为$3$，设另一个交点横坐标为$x_1$，则：
$\frac{x_1 + 3}{2}=1$
解得$x_1=2-3=-1$，即另一个交点为$(-1,0)$。
第三步：根据二次函数与一元二次方程的关系得解
一元二次方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解就是二次函数$y=ax^2 - 2ax + c$图像与x轴交点的横坐标，因此方程的解为$x_1=-1，x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1，x_2=3$
【知识点】
二次函数对称轴计算；抛物线的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查对二次函数基本性质的理解以及二次函数与对应一元二次方程的关联，解题的关键是准确求出对称轴，再利用对称性得到另一个交点坐标，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①先根据二次函数的一般式求出其对称轴；②利用二次函数图像（抛物线）关于对称轴对称的性质，结合已知的一个与x轴的交点坐标，求出另一个与x轴的交点坐标；③根据“二次函数图像与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解”，直接得出方程的解。
【解析】
第一步：求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中二次函数为$y=ax^2 - 2ax + c$，对应$b=-2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即该抛物线的对称轴为直线$x=1$。
第二步：利用对称性求另一个与x轴的交点
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知抛物线过点$(3,0)$，即其中一个交点横坐标为$3$，设另一个交点横坐标为$x_1$，则：
$\frac{x_1 + 3}{2}=1$
解得$x_1=2-3=-1$，即另一个交点为$(-1,0)$。
第三步：根据二次函数与一元二次方程的关系得解
一元二次方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解就是二次函数$y=ax^2 - 2ax + c$图像与x轴交点的横坐标，因此方程的解为$x_1=-1，x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1，x_2=3$
【知识点】
二次函数对称轴计算；抛物线的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查对二次函数基本性质的理解以及二次函数与对应一元二次方程的关联，解题的关键是准确求出对称轴，再利用对称性得到另一个交点坐标，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
