登录
6. 利用函数图象求一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -2x -2=0$的近似解(结果精确到0.1).
答案
6. 作出二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -2$的图象，由图象可知，方程有两个根，一个在0和-1之间，另一个在4和5之间。先求0和-1之间的根，当$x=-0.8$时，$y=-0.08$；当$x=-0.9$时，$y=0.205$。因此，$x=-0.8$是方程的一个近似根。同理，$x=4.8$是方程的另一个近似根。所以方程$\frac{1}{2}x^2 -2x -2=0$的两个近似根是$-0.8$或$4.8$。
解析
【分析】
要利用函数图象求一元二次方程的近似解，首先明确一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -2x -2=0$的根就是对应二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -2$的图象与x轴交点的横坐标。解题思路如下：第一步先画出该二次函数的图象，确定两个根所在的大致整数区间；第二步在每个区间内逐一代入十分位的x值计算对应的y值，找到y值最接近0时的x值，即为满足精确到0.1要求的近似解。
【解析】
1. 构造二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -2$，绘制其函数图象，观察图象可知该函数与x轴有两个交点，对应方程的两个根，一个在$-1$和$0$之间，另一个在$4$和$5$之间。
2. 求$-1∼0$区间内的近似根：
代入$x=-0.9$计算得：$y=\frac{1}{2}×(-0.9)^2 -2×(-0.9)-2=0.205＞0$；
代入$x=-0.8$计算得：$y=\frac{1}{2}×(-0.8)^2 -2×(-0.8)-2=-0.08＜0$；
对比可知$x=-0.8$时y值更接近0，因此$x\approx-0.8$是方程的一个近似根。
3. 求$4∼5$区间内的近似根：
代入$x=4.8$计算得：$y=\frac{1}{2}×4.8^2 -2×4.8 -2=-0.08＜0$；
代入$x=4.9$计算得：$y=\frac{1}{2}×4.9^2 -2×4.9 -2=0.205＞0$；
对比可知$x=4.8$时y值更接近0，因此$x\approx4.8$是方程的另一个近似根。
【答案】
方程的近似解为$x_1\approx-0.8$，$x_2\approx4.8$（或两个近似根是$-0.8$或$4.8$）
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 图象法求方程近似解
3. 近似值估算
【点评】
本题核心考查二次函数与一元二次方程的转化关系，需要学生掌握“方程根对应函数图象与x轴交点横坐标”的转换思路，再通过试值法对比y值与0的接近程度得到符合精度要求的近似解，解题时要注意代入计算的准确性。
【难度系数】
0.6
要利用函数图象求一元二次方程的近似解，首先明确一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -2x -2=0$的根就是对应二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -2$的图象与x轴交点的横坐标。解题思路如下：第一步先画出该二次函数的图象，确定两个根所在的大致整数区间；第二步在每个区间内逐一代入十分位的x值计算对应的y值，找到y值最接近0时的x值，即为满足精确到0.1要求的近似解。
【解析】
1. 构造二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -2$，绘制其函数图象，观察图象可知该函数与x轴有两个交点，对应方程的两个根，一个在$-1$和$0$之间，另一个在$4$和$5$之间。
2. 求$-1∼0$区间内的近似根：
代入$x=-0.9$计算得：$y=\frac{1}{2}×(-0.9)^2 -2×(-0.9)-2=0.205＞0$；
代入$x=-0.8$计算得：$y=\frac{1}{2}×(-0.8)^2 -2×(-0.8)-2=-0.08＜0$；
对比可知$x=-0.8$时y值更接近0，因此$x\approx-0.8$是方程的一个近似根。
3. 求$4∼5$区间内的近似根：
代入$x=4.8$计算得：$y=\frac{1}{2}×4.8^2 -2×4.8 -2=-0.08＜0$；
代入$x=4.9$计算得：$y=\frac{1}{2}×4.9^2 -2×4.9 -2=0.205＞0$；
对比可知$x=4.8$时y值更接近0，因此$x\approx4.8$是方程的另一个近似根。
【答案】
方程的近似解为$x_1\approx-0.8$，$x_2\approx4.8$（或两个近似根是$-0.8$或$4.8$）
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 图象法求方程近似解
3. 近似值估算
【点评】
本题核心考查二次函数与一元二次方程的转化关系，需要学生掌握“方程根对应函数图象与x轴交点横坐标”的转换思路，再通过试值法对比y值与0的接近程度得到符合精度要求的近似解，解题时要注意代入计算的准确性。
【难度系数】
0.6
1. 二次函数$y=x^2 -x -2$的图象如图所示，则不等式$x^2 -x -2＜0$的解集是(
A.$x＜-1$
B.$x＞2$
C.$-1＜x＜2$
D.$x＜-1$或$x＞2$
C
).A.$x＜-1$
B.$x＞2$
C.$-1＜x＜2$
D.$x＜-1$或$x＞2$
答案
1. C
解析
【分析】
要解不等式$x^2 -x -2＜0$，可结合二次函数图象与x轴的位置关系分析：不等式$x^2 -x -2＜0$等价于二次函数$y=x^2 -x -2$的函数值小于0，对应图象上就是抛物线位于x轴下方的部分，只需要找到这部分图象对应的x的取值范围即可。观察图象可知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(2,0)$两点，且抛物线开口向上，因此x轴下方的图象对应的x取值就在两个交点之间。
【解析】
不等式$x^2 -x -2＜0$的解集，就是二次函数$y=x^2 -x -2$的图象位于x轴下方时对应的自变量x的取值范围。
由图象可知，二次函数$y=x^2 -x -2$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(2,0)$，且抛物线开口向上，
因此当$-1＜x＜2$时，函数图象在x轴下方，即$y=x^2 -x -2＜0$，
故不等式$x^2 -x -2＜0$的解集是$-1＜x＜2$。
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式、二次函数图象性质、一元二次不等式解集
【点评】本题考查数形结合思想在二次函数与不等式问题中的应用，解题核心是将不等式的求解转化为判断函数图象与x轴的位置关系，结合交点坐标即可快速得到解集。
【难度系数】0.8
要解不等式$x^2 -x -2＜0$，可结合二次函数图象与x轴的位置关系分析：不等式$x^2 -x -2＜0$等价于二次函数$y=x^2 -x -2$的函数值小于0，对应图象上就是抛物线位于x轴下方的部分，只需要找到这部分图象对应的x的取值范围即可。观察图象可知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(2,0)$两点，且抛物线开口向上，因此x轴下方的图象对应的x取值就在两个交点之间。
【解析】
不等式$x^2 -x -2＜0$的解集，就是二次函数$y=x^2 -x -2$的图象位于x轴下方时对应的自变量x的取值范围。
由图象可知，二次函数$y=x^2 -x -2$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(2,0)$，且抛物线开口向上，
因此当$-1＜x＜2$时，函数图象在x轴下方，即$y=x^2 -x -2＜0$，
故不等式$x^2 -x -2＜0$的解集是$-1＜x＜2$。
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式、二次函数图象性质、一元二次不等式解集
【点评】本题考查数形结合思想在二次函数与不等式问题中的应用，解题核心是将不等式的求解转化为判断函数图象与x轴的位置关系，结合交点坐标即可快速得到解集。
【难度系数】0.8
2. 如图，已知抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=kx+m$交于$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$两点，则关于$x$的不等式$ax^2 -kx +c ≥ m$的解集是(
A.$x≤ -3$或$x≥1$
B.$x≤ -1$或$x≥3$
C.$-3≤ x≤1$
D.$-1≤ x≤3$
C
).A.$x≤ -3$或$x≥1$
B.$x≤ -1$或$x≥3$
C.$-3≤ x≤1$
D.$-1≤ x≤3$
答案
2. C
解析
【分析】
要解不等式$ax^2 -kx +c ≥ m$，首先对不等式进行变形，将其转化为两个函数值大小比较的问题：移项可得$ax^2 +c ≥ kx +m$，左边是抛物线$y=ax^2+c$的函数值，右边是直线$y=kx+m$的函数值，因此不等式的解集就是抛物线图象位于直线图象上方（包括交点）时对应的x的取值范围。接下来结合已知的两个交点坐标，观察图象的位置关系即可确定解集。
【解析】
对不等式$ax^2 -kx +c ≥ m$移项，得：
$ax^2 +c ≥ kx +m$
该不等式的几何意义是：抛物线$y=ax^2+c$的函数值大于等于直线$y=kx+m$的函数值，对应图象为抛物线在直线上方（含交点）的部分。
已知两图象交于$A(-3,y_1)$、$B(1,y_2)$两点，观察图象可得：当$-3≤x≤1$时，抛物线位于直线上方（包含交点处），满足$ax^2 +c ≥ kx +m$，即原不等式成立。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与不等式
2. 函数图象的意义
【点评】
本题考查数形结合思想在解函数不等式中的应用，解题关键是将代数不等式转化为两个函数图象的位置关系问题，结合交点坐标直接判断解集，避免了复杂的代数计算。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax^2 -kx +c ≥ m$，首先对不等式进行变形，将其转化为两个函数值大小比较的问题：移项可得$ax^2 +c ≥ kx +m$，左边是抛物线$y=ax^2+c$的函数值，右边是直线$y=kx+m$的函数值，因此不等式的解集就是抛物线图象位于直线图象上方（包括交点）时对应的x的取值范围。接下来结合已知的两个交点坐标，观察图象的位置关系即可确定解集。
【解析】
对不等式$ax^2 -kx +c ≥ m$移项，得：
$ax^2 +c ≥ kx +m$
该不等式的几何意义是：抛物线$y=ax^2+c$的函数值大于等于直线$y=kx+m$的函数值，对应图象为抛物线在直线上方（含交点）的部分。
已知两图象交于$A(-3,y_1)$、$B(1,y_2)$两点，观察图象可得：当$-3≤x≤1$时，抛物线位于直线上方（包含交点处），满足$ax^2 +c ≥ kx +m$，即原不等式成立。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与不等式
2. 函数图象的意义
【点评】
本题考查数形结合思想在解函数不等式中的应用，解题关键是将代数不等式转化为两个函数图象的位置关系问题，结合交点坐标直接判断解集，避免了复杂的代数计算。
【难度系数】
0.7
3. 抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$部分图象如图所示，其对称轴是直线$x=1$，且经过点$P(3,0)$，则下列说法：①当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；②$2a+b=0$；③$a-b+c=0$；④当$-1＜x＜3$时，$y＞0$。其中正确的有
②③
（填序号）。答案
3. ②③
解析
【分析】
解题时先结合已知条件：抛物线开口向上（$a＞0$）、对称轴为直线$x=1$、过点$P(3,0)$，利用二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，再结合二次函数的增减性、对称轴公式、函数图象与x轴交点和函数值的关系，逐个判断4个结论的正误即可。
【解析】
我们逐个分析各个结论：
1. 判断结论①：已知$a＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，故①错误；
2. 判断结论②：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，题中对称轴为$x=1$，因此$-\frac{b}{2a}=1$，整理可得$2a+b=0$，故②正确；
3. 判断结论③：抛物线关于对称轴$x=1$对称，已知过点$P(3,0)$，则它关于$x=1$的对称点横坐标为$1×2-3=-1$，即抛物线也过点$(-1,0)$。将$x=-1$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，得$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c=0$，故③正确；
4. 判断结论④：抛物线开口向上，与x轴交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此当$-1＜x＜3$时，图象位于x轴下方，即$y＜0$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性
【点评】
本题重点考查二次函数图象性质的应用，解题的突破口是利用对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，结合开口方向即可快速判断增减性和区间内函数值的正负。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件：抛物线开口向上（$a＞0$）、对称轴为直线$x=1$、过点$P(3,0)$，利用二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，再结合二次函数的增减性、对称轴公式、函数图象与x轴交点和函数值的关系，逐个判断4个结论的正误即可。
【解析】
我们逐个分析各个结论：
1. 判断结论①：已知$a＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，故①错误；
2. 判断结论②：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，题中对称轴为$x=1$，因此$-\frac{b}{2a}=1$，整理可得$2a+b=0$，故②正确；
3. 判断结论③：抛物线关于对称轴$x=1$对称，已知过点$P(3,0)$，则它关于$x=1$的对称点横坐标为$1×2-3=-1$，即抛物线也过点$(-1,0)$。将$x=-1$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，得$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c=0$，故③正确；
4. 判断结论④：抛物线开口向上，与x轴交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此当$-1＜x＜3$时，图象位于x轴下方，即$y＜0$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性
【点评】
本题重点考查二次函数图象性质的应用，解题的突破口是利用对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，结合开口方向即可快速判断增减性和区间内函数值的正负。
【难度系数】
0.7
