4. 已知抛物线 $y=x^2-4x-6$.
(1)将抛物线的解析式化为顶点式：
.
(2)补全下列表格中的数据，在坐标系中利用描点法画出此抛物线.

(3)结合图象可知，当$-2＜x＜3$时，$y$的取值范围.
(4)结合图象及所学习的知识，估算$x^2-4x-6=0$的两个根为（精确到0.1）.

4. (1) $y=(x-2)^2-10$ (2) 6 -6 -10 -6 6 图略 (3) $-10≤y＜6$ (4) $x_1=-1.2，x_2=5.2$

【分析】
本题围绕二次函数的基础应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)问化顶点式：采用配方法，将二次项和一次项组合，加上并减去一次项系数一半的平方，即可转化为顶点式形式。
2. 第(2)问补全表格：将给定的x值代入解析式计算对应y值即可，描点画图按“先描点、再用平滑曲线顺次连接”的步骤操作。
3. 第(3)问求y的取值范围：先确定抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标，再分别计算区间端点对应的y值，结合开口方向判断最值的取舍，即可得到y的范围。
4. 第(4)问求方程的根：方程$x^2-4x-6=0$的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，用一元二次方程求根公式计算后按要求取近似值即可。
【解析】
(1) 对解析式用配方法变形：
$y=x^2-4x-6$
$=x^2-4x+4 - 4 - 6$
$=(x-2)^2 - 10$
(2) 将对应x值代入解析式计算：
当$x=-2$时，$y=(-2-2)^2-10=6$；
当$x=0$时，$y=(0-2)^2-10=-6$；
当$x=2$时，$y=-10$；
当$x=4$时，$y=(4-2)^2-10=-6$；
当$x=6$时，$y=(6-2)^2-10=6$；
描点后用平滑曲线连接即可得到抛物线图象。
(3) 由顶点式可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-10)$，顶点为图象最低点。
计算区间端点的函数值：当$x=-2$时$y=6$，当$x=3$时$y=(3-2)^2-10=-9$。
因为$-2＜x＜3$，$x=2$在区间内，所以$y$可取到最小值$-10$，$x$趋近于$-2$时$y$趋近于$6$但取不到$6$，因此可得$y$的取值范围。
(4) 解方程$x^2-4x-6=0$，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4×1×(-6)}}{2×1}=\frac{4\pm\sqrt{40}}{2}=2\pm\sqrt{10}$
$\sqrt{10}\approx3.16$，因此计算可得两个近似根。
【答案】
(1) $y=(x-2)^2-10$
(2) 6，-6，-10，-6，6，图略
(3) $-10≤y＜6$
(4) $x_1=-1.2，x_2=5.2$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，覆盖了二次函数解析式变形、图象绘制、区间取值范围求解、与一元二次方程的联系等核心考点，解题时要熟练运用配方法、求根公式，结合图象性质分析问题，培养数形结合的思维习惯。
【难度系数】
0.7

1. 某班“数学兴趣小组”对函数$y=x^2 - 2|x|$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数，$x$与$y$的几组对应值列表如下：

其中，$m=$.
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.

(3)观察函数图象，写出函数的两条性质：
①；
②.
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与$x$轴有个交点，所以对应的方程$x^2 - 2|x|=0$有个不相等的实数根；
②方程$x^2 - 2|x|=2$有个不相等的实数根；
③若关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个不相等的实数根，则$a$的取值范围是.
2. 探究问题：
(1)若二次函数$y=x^2 -4x + m$（$m$为常数）的图象与$x$轴有两个公共点，求$m$的取值范围.
(2)若二次函数$y=x^2 -4x + m$（$m$为常数）的图象与一次函数$y=2x -1$的图象有两个公共点，则$m$的取值范围是.
(3)若二次函数$y=x^2 -4x + m$的图象在$x≤4$的部分与一次函数$y=2x -1$的图象有两个公共点，求$m$的取值范围.

1. (1) 0 (2) 补全图形如图所示 (3) ①函数$y=x^2-2|x|$的图象关于$y$轴对称；②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。 (4)①3 3 ②2 ③$-1＜a＜0$ 2. (1)
∵二次函数$y=x^2-4x+m$的图象与$x$轴有两个公共点，
∴$\Delta=(-4)^2-4m＞0$.
∴$m＜4$； (2)方法一：由方程组$\begin{cases}y=x^2-4x+m,\\y=2x-1,\end{cases}$得$x^2-4x+m=2x-1$，即$x^2-6x+m+1=0$.
∵二次函数$y=x^2-4x+m$的图象与一次函数$y=2x-1$的图象有两个公共点，
∴$\Delta=(-6)^2-4(m+1)＞0$.
∴$m＜8$. 方法二：由$x^2-4x+m=2x-1$，可得$x^2-6x+1=-m$，可等价转化为：若二次函数$y=x^2-6x+1$的图象与一次函数$y=-m$的图象有两个公共点，也可得$m＜8$. (3)由题意，令$x^2-4x+m=2x-1$，
∴$x^2-6x+1=-m$.
∴二次函数$y=x^2-4x+m$的图象在$x≤4$的部分与一次函数$y=2x-1$的图象有两个公共点等价于二次函数$y=x^2-6x+1$的图象在$x≤4$的部分与一次函数$y=-m$的图象有两个公共点. 由题意，$y=x^2-6x+1=(x-3)^2-8(x≤4)$，作图如下.
∵二次函数$y=x^2-4x+m$的图象在$x≤4$的部分与一次函数$y=2x-1$的图象有两个公共点，结合图象，可得$-8＜-m≤-7$，
∴$7≤m＜8$.

【分析】
本题围绕二次函数的图象性质、二次函数与一元二次方程的关系展开考查：
1. 第1题是含绝对值的二次函数探究题：(1)问利用函数中$|x|=|-x|$的对称性，代入x的值即可求m；(2)问依据函数关于y轴对称的特点补全图象；(3)问从对称性、单调性、最值等角度观察图象总结性质；(4)问将方程根的个数转化为函数图象与水平线的交点个数，结合图象直接判断。
2. 第2题是二次函数交点问题：(1)问二次函数与x轴有两个交点等价于对应一元二次方程判别式Δ＞0，计算即可得m范围；(2)问联立两个函数解析式得到一元二次方程，两个公共点对应方程有两个不等实根，用判别式求解；(3)问增加x≤4的限制，结合限定范围内的二次函数图象，判断直线与图象有两个交点时参数的范围，注意端点取值。
【解析】
第1题
(1) 函数解析式为$y=x^2-2|x|$，当$x=2$时，$y=2^2-2×|2|=0$，因函数满足$y(x)=y(-x)$，故$x=-2$时的函数值与$x=2$时相等，得$m=0$。
(2) 该函数图象关于y轴对称，根据已画出的y轴一侧图象，对称画出另一侧图象即可补全。
(3) 观察图象可得性质：①函数图象关于y轴对称；②当$x＞1$时，y随x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）。
(4) ①观察图象，函数与x轴交于$(-2,0),(0,0),(2,0)$共3个点，故方程$x^2-2|x|=0$有3个不等实根；②作直线$y=2$，与函数图象有2个交点，故方程$x^2-2|x|=2$有2个不等实根；③要使方程有4个不等实根，即$y=a$与函数图象有4个交点，结合图象得a的取值范围是$-1＜a＜0$。
第2题
(1) 二次函数$y=x^2-4x+m$与x轴有两个公共点，即方程$x^2-4x+m=0$有两个不等实根，判别式$\Delta=(-4)^2-4m＞0$，解得$m＜4$。
(2) 联立两个函数解析式$\begin{cases}y=x^2-4x+m\\y=2x-1\end{cases}$，消去y得$x^2-6x+m+1=0$，两个函数有两个公共点即该方程有两个不等实根，故$\Delta=(-6)^2-4(m+1)＞0$，化简得$36-4m-4＞0$，解得$m＜8$。
(3) 联立方程得$x^2-6x+1=-m$，等价于二次函数$y=x^2-6x+1=(x-3)^2-8$（$x≤4$）与直线$y=-m$有两个公共点。当$x=4$时，$y=4^2-6×4+1=-7$，结合图象可知要有两个交点需满足$-8＜-m≤-7$，不等号两边乘-1（方向改变）得$7≤m＜8$。
【答案】
1. (1) $0$ (2) 补全图形如图所示 (3) ①函数$y=x^2-2|x|$的图象关于$y$轴对称；②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大（答案不唯一）。 (4)①$3$ $3$ ②$2$ ③$-1＜a＜0$
2. (1) $m＜4$； (2) $m＜8$； (3) $7≤m＜8$，作图如下。
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 判别式的应用
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，既覆盖了二次函数的基础性质、判别式的常规应用，也通过含绝对值的函数、限定范围的交点问题，考查学生结合图象分析问题的能力，是二次函数章节的典型综合题型。
【难度系数】
0.6