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一、在○里填上“＞”“＜”或“=”。
$\frac{7}{9} ÷ \frac{3}{4} ◯ \frac{7}{9}$
$\frac{3}{16} ÷ 4 ◯ \frac{3}{16}$
$\frac{4}{7} ÷ 2 ◯ \frac{4}{7} × \frac{1}{2}$
$8 ÷ \frac{2}{3} ◯ 8 × \frac{3}{2}$
$\frac{3}{5} ÷ 4 ◯ \frac{3}{5} × 4$
$\frac{7}{9} ÷ \frac{4}{5} ◯ \frac{4}{5} ÷ \frac{7}{9}$
$\frac{7}{9} ÷ \frac{3}{4} ◯ \frac{7}{9}$
$\frac{3}{16} ÷ 4 ◯ \frac{3}{16}$
$\frac{4}{7} ÷ 2 ◯ \frac{4}{7} × \frac{1}{2}$
$8 ÷ \frac{2}{3} ◯ 8 × \frac{3}{2}$
$\frac{3}{5} ÷ 4 ◯ \frac{3}{5} × 4$
$\frac{7}{9} ÷ \frac{4}{5} ◯ \frac{4}{5} ÷ \frac{7}{9}$
答案
＞ ＜ = = ＜ ＜
解析
【分析】
解决这类分数乘除算式大小比较问题，核心用到两个知识点：1. 分数除法计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；2. 商和被除数的大小规律：当被除数不为0时，若除数大于1，商小于被除数；若除数小于1且不为0，商大于被除数；若除数等于1，商等于被除数。我们可以根据这两个规律逐个判断，无需复杂计算就能得出结果，最后也可以通过计算验证答案。
【解析】
1. 比较$\frac{7}{9} ÷ \frac{3}{4}$和$\frac{7}{9}$：除数$\frac{3}{4}＜1$，根据商的变化规律，商大于被除数，所以$\frac{7}{9} ÷ \frac{3}{4} ＞ \frac{7}{9}$；
2. 比较$\frac{3}{16} ÷ 4$和$\frac{3}{16}$：除数$4＞1$，根据商的变化规律，商小于被除数，所以$\frac{3}{16} ÷ 4 ＜ \frac{3}{16}$；
3. 比较$\frac{4}{7} ÷ 2$和$\frac{4}{7} × \frac{1}{2}$：根据分数除法法则，除以2等于乘2的倒数$\frac{1}{2}$，所以$\frac{4}{7} ÷ 2 = \frac{4}{7} × \frac{1}{2}$；
4. 比较$8 ÷ \frac{2}{3}$和$8 × \frac{3}{2}$：根据分数除法法则，除以$\frac{2}{3}$等于乘$\frac{2}{3}$的倒数$\frac{3}{2}$，所以$8 ÷ \frac{2}{3} = 8 × \frac{3}{2}$；
5. 比较$\frac{3}{5} ÷ 4$和$\frac{3}{5} × 4$：左边$\frac{3}{5} ÷ 4 = \frac{3}{5} × \frac{1}{4}$，结果小于$\frac{3}{5}$；右边$\frac{3}{5} × 4$结果大于$\frac{3}{5}$，所以$\frac{3}{5} ÷ 4 ＜ \frac{3}{5} × 4$；
6. 比较$\frac{7}{9} ÷ \frac{4}{5}$和$\frac{4}{5} ÷ \frac{7}{9}$：先转化为乘法计算，左边$=\frac{7}{9}×\frac{5}{4}=\frac{35}{36}＜1$，右边$=\frac{4}{5}×\frac{9}{7}=\frac{36}{35}＞1$，所以$\frac{7}{9} ÷ \frac{4}{5} ＜ \frac{4}{5} ÷ \frac{7}{9}$。
【答案】
＞ ＜ = = ＜ ＜
【知识点】
分数除法计算，商的变化规律，倒数的认识
【点评】
本题重点考查分数除法相关规律的灵活应用，熟练掌握相关规律可快速判断大小，无需复杂计算，能有效提升解题效率，是分数除法部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解决这类分数乘除算式大小比较问题，核心用到两个知识点：1. 分数除法计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；2. 商和被除数的大小规律：当被除数不为0时，若除数大于1，商小于被除数；若除数小于1且不为0，商大于被除数；若除数等于1，商等于被除数。我们可以根据这两个规律逐个判断，无需复杂计算就能得出结果，最后也可以通过计算验证答案。
【解析】
1. 比较$\frac{7}{9} ÷ \frac{3}{4}$和$\frac{7}{9}$：除数$\frac{3}{4}＜1$，根据商的变化规律，商大于被除数，所以$\frac{7}{9} ÷ \frac{3}{4} ＞ \frac{7}{9}$；
2. 比较$\frac{3}{16} ÷ 4$和$\frac{3}{16}$：除数$4＞1$，根据商的变化规律，商小于被除数，所以$\frac{3}{16} ÷ 4 ＜ \frac{3}{16}$；
3. 比较$\frac{4}{7} ÷ 2$和$\frac{4}{7} × \frac{1}{2}$：根据分数除法法则，除以2等于乘2的倒数$\frac{1}{2}$，所以$\frac{4}{7} ÷ 2 = \frac{4}{7} × \frac{1}{2}$；
4. 比较$8 ÷ \frac{2}{3}$和$8 × \frac{3}{2}$：根据分数除法法则，除以$\frac{2}{3}$等于乘$\frac{2}{3}$的倒数$\frac{3}{2}$，所以$8 ÷ \frac{2}{3} = 8 × \frac{3}{2}$；
5. 比较$\frac{3}{5} ÷ 4$和$\frac{3}{5} × 4$：左边$\frac{3}{5} ÷ 4 = \frac{3}{5} × \frac{1}{4}$，结果小于$\frac{3}{5}$；右边$\frac{3}{5} × 4$结果大于$\frac{3}{5}$，所以$\frac{3}{5} ÷ 4 ＜ \frac{3}{5} × 4$；
6. 比较$\frac{7}{9} ÷ \frac{4}{5}$和$\frac{4}{5} ÷ \frac{7}{9}$：先转化为乘法计算，左边$=\frac{7}{9}×\frac{5}{4}=\frac{35}{36}＜1$，右边$=\frac{4}{5}×\frac{9}{7}=\frac{36}{35}＞1$，所以$\frac{7}{9} ÷ \frac{4}{5} ＜ \frac{4}{5} ÷ \frac{7}{9}$。
【答案】
＞ ＜ = = ＜ ＜
【知识点】
分数除法计算，商的变化规律，倒数的认识
【点评】
本题重点考查分数除法相关规律的灵活应用，熟练掌握相关规律可快速判断大小，无需复杂计算，能有效提升解题效率，是分数除法部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
二、请你用课本中智慧老人的方法解释$6÷ \frac{2}{3}=6× \frac{3}{2}$的道理。
答案
$6÷ \frac{2}{3}=□$ $□× \frac{2}{3}=6$
$□× \frac{2}{3}× \frac{3}{2}=6× \frac{3}{2}$
$□=6× \frac{3}{2}$ $6÷ \frac{2}{3}=6× \frac{3}{2}$
$□× \frac{2}{3}× \frac{3}{2}=6× \frac{3}{2}$
$□=6× \frac{3}{2}$ $6÷ \frac{2}{3}=6× \frac{3}{2}$
解析
【分析】
我们可以借助已学的乘除法互逆关系和等式的性质推导这个结论。首先把$6÷\frac{2}{3}$的商设为，根据“商×除数=被除数”可以得到含的等式，再利用等式两边同时乘同一个不为0的数、等式仍然成立的性质，在等式两边同时乘$\frac{2}{3}$的倒数$\frac{3}{2}$，就能消去左侧的$\frac{2}{3}$，得到和$6×\frac{3}{2}$的等量关系，最终推导出题目中的结论。
【解析】
设$6÷\frac{2}{3}=□$，根据乘除法的互逆关系（商×除数=被除数），可得：
$\boxed{□×\frac{2}{3}=6}$
根据等式的基本性质，等式两边同时乘$\frac{3}{2}$，等式仍然成立：
$\boxed{□×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}=6×\frac{3}{2}}$
因为$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{2}$互为倒数，乘积为1，所以左边化简后仅剩，即：
$\boxed{□=6×\frac{3}{2}}$
又因为是$6÷\frac{2}{3}$的商，因此可得：
$\boxed{6÷\frac{2}{3}=6×\frac{3}{2}}$
【答案】
$6÷ \frac{2}{3}=□$ $□× \frac{2}{3}=6$
$□× \frac{2}{3}× \frac{3}{2}=6× \frac{3}{2}$
$□=6× \frac{3}{2}$ $6÷ \frac{2}{3}=6× \frac{3}{2}$
【知识点】
乘除法互逆关系，等式的基本性质，倒数的意义
【点评】
本题聚焦分数除法算理的推导，核心是引导学生借助旧知识迁移理解分数除法的计算法则，避免机械记忆公式，能有效强化对乘除关系、等式性质的应用能力，加深对分数除法计算本质的理解。
【难度系数】
0.7
我们可以借助已学的乘除法互逆关系和等式的性质推导这个结论。首先把$6÷\frac{2}{3}$的商设为，根据“商×除数=被除数”可以得到含的等式，再利用等式两边同时乘同一个不为0的数、等式仍然成立的性质，在等式两边同时乘$\frac{2}{3}$的倒数$\frac{3}{2}$，就能消去左侧的$\frac{2}{3}$，得到和$6×\frac{3}{2}$的等量关系，最终推导出题目中的结论。
【解析】
设$6÷\frac{2}{3}=□$，根据乘除法的互逆关系（商×除数=被除数），可得：
$\boxed{□×\frac{2}{3}=6}$
根据等式的基本性质，等式两边同时乘$\frac{3}{2}$，等式仍然成立：
$\boxed{□×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}=6×\frac{3}{2}}$
因为$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{2}$互为倒数，乘积为1，所以左边化简后仅剩，即：
$\boxed{□=6×\frac{3}{2}}$
又因为是$6÷\frac{2}{3}$的商，因此可得：
$\boxed{6÷\frac{2}{3}=6×\frac{3}{2}}$
【答案】
$6÷ \frac{2}{3}=□$ $□× \frac{2}{3}=6$
$□× \frac{2}{3}× \frac{3}{2}=6× \frac{3}{2}$
$□=6× \frac{3}{2}$ $6÷ \frac{2}{3}=6× \frac{3}{2}$
【知识点】
乘除法互逆关系，等式的基本性质，倒数的意义
【点评】
本题聚焦分数除法算理的推导，核心是引导学生借助旧知识迁移理解分数除法的计算法则，避免机械记忆公式，能有效强化对乘除关系、等式性质的应用能力，加深对分数除法计算本质的理解。
【难度系数】
0.7
三、小礼$\frac{4}{3}$小时走了2千米，小乐$\frac{1}{2}$小时走了$\frac{7}{8}$千米，谁走得快一些？
答案
$2÷ \frac{4}{3}= \frac{3}{2}$（千米/时）
$\frac{7}{8} ÷ \frac{1}{2}= \frac{7}{4}$（千米/时）
$\frac{3}{2}＜ \frac{7}{4}$，小乐走得快一些。
$\frac{7}{8} ÷ \frac{1}{2}= \frac{7}{4}$（千米/时）
$\frac{3}{2}＜ \frac{7}{4}$，小乐走得快一些。
解析
【分析】
要判断谁走得更快，本质是比较两人的步行速度。我们可以依据“速度=路程÷时间”的数量关系，先分别算出小礼和小乐的速度，再对两个速度的大小进行比较，速度更大的人走得更快。计算分数除法时遵循“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”的规则，比较异分母分数大小时要先通分化为同分母分数再比较。
【解析】
1. 计算小礼的速度：
$2÷ \frac{4}{3}=2× \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$（千米/时）
2. 计算小乐的速度：
$\frac{7}{8} ÷ \frac{1}{2}=\frac{7}{8}× 2=\frac{7}{4}$（千米/时）
3. 比较速度大小：
将$\frac{3}{2}$通分得$\frac{3}{2}=\frac{6}{4}$，因为$\frac{6}{4}＜ \frac{7}{4}$，即$\frac{3}{2}＜ \frac{7}{4}$，所以小乐的速度更快。
【答案】
小乐走得快一些。
【知识点】
速度的计算、分数除法运算、分数大小比较
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查速度、路程、时间三者的数量关系，解题时只要熟练掌握分数除法的计算方法和异分母分数比较大小的方法，细心计算就不容易出错。
【难度系数】
0.8
要判断谁走得更快，本质是比较两人的步行速度。我们可以依据“速度=路程÷时间”的数量关系，先分别算出小礼和小乐的速度，再对两个速度的大小进行比较，速度更大的人走得更快。计算分数除法时遵循“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”的规则，比较异分母分数大小时要先通分化为同分母分数再比较。
【解析】
1. 计算小礼的速度：
$2÷ \frac{4}{3}=2× \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$（千米/时）
2. 计算小乐的速度：
$\frac{7}{8} ÷ \frac{1}{2}=\frac{7}{8}× 2=\frac{7}{4}$（千米/时）
3. 比较速度大小：
将$\frac{3}{2}$通分得$\frac{3}{2}=\frac{6}{4}$，因为$\frac{6}{4}＜ \frac{7}{4}$，即$\frac{3}{2}＜ \frac{7}{4}$，所以小乐的速度更快。
【答案】
小乐走得快一些。
【知识点】
速度的计算、分数除法运算、分数大小比较
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查速度、路程、时间三者的数量关系，解题时只要熟练掌握分数除法的计算方法和异分母分数比较大小的方法，细心计算就不容易出错。
【难度系数】
0.8
四、“白露暧秋色，月明清漏中。”白露是农作物成熟和收获的时节。一块稻田，李叔叔第一天收割了$\frac{1}{4}$，接下来计划每天收割这块稻田的$\frac{1}{5}$，还需要几天才能收割完？
答案
$(1- \frac{1}{4}) ÷ \frac{1}{5}= \frac{15}{4}$（天）
解析
【分析】
这是典型的分数工程类应用题，解题时先把整块稻田的收割总量看作单位“1”。第一步先计算第一天收割后剩余的工作量，用总工作量“1”减去第一天收割的占比$\frac{1}{4}$；第二步根据“工作时间=剩余工作量÷每日工作效率”的关系，用剩余工作量除以接下来每天收割的占比$\frac{1}{5}$，就能求出还需要的收割天数。
【解析】
把这块稻田的总工作量看作单位“1”，先求出剩余工作量，再用剩余工作量除以每天的收割效率：
$\begin{split} & (1-\frac{1}{4})÷\frac{1}{5}\\ =& \frac{3}{4}÷\frac{1}{5}\\ =& \frac{3}{4}×5\\ =& \frac{15}{4}（天） \end{split}$
【答案】
$\frac{15}{4}$天
【知识点】
1. 分数除法应用
2. 单位“1”的判定
3. 工程问题基本关系
【点评】
本题是基础的分数应用类题目，解题核心是正确设定单位“1”，准确求出剩余工作量，再结合工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系列式计算即可，只要理清数量关系就不易出错。
【难度系数】
0.8
这是典型的分数工程类应用题，解题时先把整块稻田的收割总量看作单位“1”。第一步先计算第一天收割后剩余的工作量，用总工作量“1”减去第一天收割的占比$\frac{1}{4}$；第二步根据“工作时间=剩余工作量÷每日工作效率”的关系，用剩余工作量除以接下来每天收割的占比$\frac{1}{5}$，就能求出还需要的收割天数。
【解析】
把这块稻田的总工作量看作单位“1”，先求出剩余工作量，再用剩余工作量除以每天的收割效率：
$\begin{split} & (1-\frac{1}{4})÷\frac{1}{5}\\ =& \frac{3}{4}÷\frac{1}{5}\\ =& \frac{3}{4}×5\\ =& \frac{15}{4}（天） \end{split}$
【答案】
$\frac{15}{4}$天
【知识点】
1. 分数除法应用
2. 单位“1”的判定
3. 工程问题基本关系
【点评】
本题是基础的分数应用类题目，解题核心是正确设定单位“1”，准确求出剩余工作量，再结合工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系列式计算即可，只要理清数量关系就不易出错。
【难度系数】
0.8
五、【思维拓展】计算分数除法的方法有很多，小礼用已学知识探索出了一种巧妙的计算方法，例如：
$\frac{5}{8} ÷ 2 = (\frac{5}{8} × \frac{1}{2}) ÷ (2 × \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} × \frac{1}{2} = \frac{5}{16}$
$\frac{2}{5} ÷ \frac{4}{3} = (\frac{2}{5} × \frac{3}{4}) ÷ (\frac{4}{3} × \frac{3}{4}) = \frac{2}{5} × \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$
1. 小礼利用了(
2. 请按照小礼的方法计算下列算式。
$6 ÷ \frac{3}{7} =$ $\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{9} =$
$\frac{5}{8} ÷ 2 = (\frac{5}{8} × \frac{1}{2}) ÷ (2 × \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} × \frac{1}{2} = \frac{5}{16}$
$\frac{2}{5} ÷ \frac{4}{3} = (\frac{2}{5} × \frac{3}{4}) ÷ (\frac{4}{3} × \frac{3}{4}) = \frac{2}{5} × \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$
1. 小礼利用了(
商不变性质
)来计算分数除法。2. 请按照小礼的方法计算下列算式。
$6 ÷ \frac{3}{7} =$ $\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{9} =$
答案
1. 商不变性质
2.
$(6× \frac{7}{3}) ÷ ( \frac{3}{7} × \frac{7}{3})$
$=6× \frac{7}{3}=14$
$( \frac{4}{5} × \frac{9}{2}) ÷ ( \frac{2}{9} × \frac{9}{2})$
$= \frac{4}{5} × \frac{9}{2}= \frac{18}{5}$
2.
$(6× \frac{7}{3}) ÷ ( \frac{3}{7} × \frac{7}{3})$
$=6× \frac{7}{3}=14$
$( \frac{4}{5} × \frac{9}{2}) ÷ ( \frac{2}{9} × \frac{9}{2})$
$= \frac{4}{5} × \frac{9}{2}= \frac{18}{5}$
解析
【分析】
1. 解答第一问时，先观察小礼的计算步骤：两个算式均是给被除数和除数同时乘除数的倒数（不为0），此时除数变为1，计算结果和原算式的商相等，符合商不变的规律，据此可判断用到的性质。
2. 解答第二问时，模仿示例的计算逻辑：先找到除数的倒数，将被除数和除数同时乘这个倒数，利用“互为倒数的两个数乘积为1”把除数转化为1，此时只需计算被除数乘倒数的结果即可得到原算式的商。
【解析】
1. 商不变性质指被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，小礼的计算过程完全符合该性质的特征，因此他利用了商不变性质来计算分数除法。
2. 计算$6 ÷ \frac{3}{7}$：
除数$\frac{3}{7}$的倒数是$\frac{7}{3}$，给被除数和除数同时乘$\frac{7}{3}$得：
$6 ÷ \frac{3}{7} = (6× \frac{7}{3}) ÷ ( \frac{3}{7} × \frac{7}{3})$
因为$\frac{3}{7} × \frac{7}{3}=1$，所以原式$=6× \frac{7}{3}=14$
计算$\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{9}$：
除数$\frac{2}{9}$的倒数是$\frac{9}{2}$，给被除数和除数同时乘$\frac{9}{2}$得：
$\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{9} = ( \frac{4}{5} × \frac{9}{2}) ÷ ( \frac{2}{9} × \frac{9}{2})$
因为$\frac{2}{9} × \frac{9}{2}=1$，所以原式$= \frac{4}{5} × \frac{9}{2}= \frac{18}{5}$
【答案】
1. 商不变性质
2.
$(6× \frac{7}{3}) ÷ ( \frac{3}{7} × \frac{7}{3})$
$=6× \frac{7}{3}=14$
$( \frac{4}{5} × \frac{9}{2}) ÷ ( \frac{2}{9} × \frac{9}{2})$
$= \frac{4}{5} × \frac{9}{2}= \frac{18}{5}$
【知识点】
商不变性质；分数除法运算；倒数的认识
【点评】
本题通过探索新颖的分数除法计算方法，既考查对基础性质的理解，又锻炼知识迁移应用的能力，能帮助使用者更清晰地理解分数除法“除以一个数等于乘它的倒数”的内在算理。
【难度系数】
0.7
1. 解答第一问时，先观察小礼的计算步骤：两个算式均是给被除数和除数同时乘除数的倒数（不为0），此时除数变为1，计算结果和原算式的商相等，符合商不变的规律，据此可判断用到的性质。
2. 解答第二问时，模仿示例的计算逻辑：先找到除数的倒数，将被除数和除数同时乘这个倒数，利用“互为倒数的两个数乘积为1”把除数转化为1，此时只需计算被除数乘倒数的结果即可得到原算式的商。
【解析】
1. 商不变性质指被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，小礼的计算过程完全符合该性质的特征，因此他利用了商不变性质来计算分数除法。
2. 计算$6 ÷ \frac{3}{7}$：
除数$\frac{3}{7}$的倒数是$\frac{7}{3}$，给被除数和除数同时乘$\frac{7}{3}$得：
$6 ÷ \frac{3}{7} = (6× \frac{7}{3}) ÷ ( \frac{3}{7} × \frac{7}{3})$
因为$\frac{3}{7} × \frac{7}{3}=1$，所以原式$=6× \frac{7}{3}=14$
计算$\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{9}$：
除数$\frac{2}{9}$的倒数是$\frac{9}{2}$，给被除数和除数同时乘$\frac{9}{2}$得：
$\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{9} = ( \frac{4}{5} × \frac{9}{2}) ÷ ( \frac{2}{9} × \frac{9}{2})$
因为$\frac{2}{9} × \frac{9}{2}=1$，所以原式$= \frac{4}{5} × \frac{9}{2}= \frac{18}{5}$
【答案】
1. 商不变性质
2.
$(6× \frac{7}{3}) ÷ ( \frac{3}{7} × \frac{7}{3})$
$=6× \frac{7}{3}=14$
$( \frac{4}{5} × \frac{9}{2}) ÷ ( \frac{2}{9} × \frac{9}{2})$
$= \frac{4}{5} × \frac{9}{2}= \frac{18}{5}$
【知识点】
商不变性质；分数除法运算；倒数的认识
【点评】
本题通过探索新颖的分数除法计算方法，既考查对基础性质的理解，又锻炼知识迁移应用的能力，能帮助使用者更清晰地理解分数除法“除以一个数等于乘它的倒数”的内在算理。
【难度系数】
0.7
