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5. 某班学生共60人外出参加种树活动，根据任务的不同，要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2：3：5，求各小组人数.
答案
甲、乙、丙三个小组人数分别是 12,18,30.
解析
【分析】
本题属于按比例分配的应用题，解题核心是利用比例关系巧设未知数。首先观察到甲、乙、丙三组人数比为2:3:5，我们可以设每1份的人数为x，那么三组人数就可以分别用2x、3x、5x表示，再根据三组总人数是60人的等量关系列出一元一次方程，求解出x的值后，就能算出各组的具体人数。
【解析】
解：设每一份对应的人数为x人，则甲组人数为2x人，乙组人数为3x人，丙组人数为5x人。
根据总人数为60人，可列方程：
$2x + 3x + 5x = 60$
合并同类项，得：
$10x = 60$
系数化为1，得：
$x = 6$
因此甲组人数：$2x = 2×6 = 12$（人）
乙组人数：$3x = 3×6 = 18$（人）
丙组人数：$5x = 5×6 = 30$（人）
【答案】
甲、乙、丙三个小组人数分别是12,18,30。
【知识点】
1. 按比例分配
2. 一元一次方程的应用
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是比例分配类应用题的基础题型，解题关键是根据比例关系设每份为未知数，再结合总量的等量关系列方程求解，掌握这种设元方法可高效解决同类比例问题。
【难度系数】
0.8
本题属于按比例分配的应用题，解题核心是利用比例关系巧设未知数。首先观察到甲、乙、丙三组人数比为2:3:5，我们可以设每1份的人数为x，那么三组人数就可以分别用2x、3x、5x表示，再根据三组总人数是60人的等量关系列出一元一次方程，求解出x的值后，就能算出各组的具体人数。
【解析】
解：设每一份对应的人数为x人，则甲组人数为2x人，乙组人数为3x人，丙组人数为5x人。
根据总人数为60人，可列方程：
$2x + 3x + 5x = 60$
合并同类项，得：
$10x = 60$
系数化为1，得：
$x = 6$
因此甲组人数：$2x = 2×6 = 12$（人）
乙组人数：$3x = 3×6 = 18$（人）
丙组人数：$5x = 5×6 = 30$（人）
【答案】
甲、乙、丙三个小组人数分别是12,18,30。
【知识点】
1. 按比例分配
2. 一元一次方程的应用
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是比例分配类应用题的基础题型，解题关键是根据比例关系设每份为未知数，再结合总量的等量关系列方程求解，掌握这种设元方法可高效解决同类比例问题。
【难度系数】
0.8
6. 已知一个三位数A，十位上的数字是个位上的数字的3倍，百位上的数字是个位上的数字的2倍，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到新的三位数B，且$A + B = 888$，则三位数A是多少？
答案
462
解析
【分析】
本题是数字类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，找到题目中各数位数字的关联，以个位数字为未知数设元，将十位、百位数字均用该未知数表示；第二步，掌握三位数的表示规则：三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字，分别表示出原三位数A和对调后的三位数B；第三步，根据A+B=888的等量关系列方程，求解未知数后即可算出A的各个数位数字，得到最终结果。
【解析】
解：设三位数A的个位数字为$ x $，则十位数字为$ 3x $，百位数字为$ 2x $。
根据三位数的表示方法可得：
原三位数$ A = 100×2x + 10×3x + x = 231x $
将十位和个位数字对调后，新三位数$ B = 100×2x + 10× x + 3x = 213x $
根据题意$ A+B=888 $，列方程：
$ 231x + 213x = 888 $
合并同类项得：$ 444x = 888 $
系数化为1得：$ x = 2 $
则十位数字为$ 3x=3×2=6 $，百位数字为$ 2x=2×2=4 $
所以三位数A是462。
【答案】
462
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 数的数位表示
【点评】
本题考查方程在数字问题中的应用，解题核心是正确用未知数表示各数位数字，结合数位的计数单位写出对应整数，再根据题干给出的等量关系列方程求解即可，解题时需注意各数位数字的取值范围均为0到9的整数，百位数字不能为0。
【难度系数】
0.7
本题是数字类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，找到题目中各数位数字的关联，以个位数字为未知数设元，将十位、百位数字均用该未知数表示；第二步，掌握三位数的表示规则：三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字，分别表示出原三位数A和对调后的三位数B；第三步，根据A+B=888的等量关系列方程，求解未知数后即可算出A的各个数位数字，得到最终结果。
【解析】
解：设三位数A的个位数字为$ x $，则十位数字为$ 3x $，百位数字为$ 2x $。
根据三位数的表示方法可得：
原三位数$ A = 100×2x + 10×3x + x = 231x $
将十位和个位数字对调后，新三位数$ B = 100×2x + 10× x + 3x = 213x $
根据题意$ A+B=888 $，列方程：
$ 231x + 213x = 888 $
合并同类项得：$ 444x = 888 $
系数化为1得：$ x = 2 $
则十位数字为$ 3x=3×2=6 $，百位数字为$ 2x=2×2=4 $
所以三位数A是462。
【答案】
462
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 数的数位表示
【点评】
本题考查方程在数字问题中的应用，解题核心是正确用未知数表示各数位数字，结合数位的计数单位写出对应整数，再根据题干给出的等量关系列方程求解即可，解题时需注意各数位数字的取值范围均为0到9的整数，百位数字不能为0。
【难度系数】
0.7
7.《算法统宗》中有这样一段记载:“一百三十五里关,次日脚痛减一半,四朝才得见其关.”其意思是说,某人要去某关口,路程为135里,第一天正常行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了四天才到达目的地.求此人第一天走的路程.
答案
72 里
解析
【分析】
首先明确题目中的核心等量关系：4天行走的总路程等于135里。已知从第二天起每天走的路程是前一天的一半，我们可以设第一天走的路程为未知数，依次表示出后三天的行走路程，再根据总路程的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到第一天的路程。
【解析】
设此人第一天走的路程为$ x $里。
根据题意，第二天走的路程为$ \frac{1}{2}x $里，第三天走的路程为$ \frac{1}{4}x $里，第四天走的路程为$ \frac{1}{8}x $里。
由四天总路程为135里，可列方程：
$x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{8}x = 135$
合并同类项，得：
$\frac{15}{8}x = 135$
系数化为1，得：
$x = 135 × \frac{8}{15} = 72$
【答案】
72 里
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程；行程问题等量关系
【点评】
本题结合传统数学典籍背景考查方程的实际应用，解题关键是准确找到总路程的等量关系，正确用未知数表示每天的行走路程，计算时注意分数的合并运算即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先明确题目中的核心等量关系：4天行走的总路程等于135里。已知从第二天起每天走的路程是前一天的一半，我们可以设第一天走的路程为未知数，依次表示出后三天的行走路程，再根据总路程的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到第一天的路程。
【解析】
设此人第一天走的路程为$ x $里。
根据题意，第二天走的路程为$ \frac{1}{2}x $里，第三天走的路程为$ \frac{1}{4}x $里，第四天走的路程为$ \frac{1}{8}x $里。
由四天总路程为135里，可列方程：
$x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{8}x = 135$
合并同类项，得：
$\frac{15}{8}x = 135$
系数化为1，得：
$x = 135 × \frac{8}{15} = 72$
【答案】
72 里
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程；行程问题等量关系
【点评】
本题结合传统数学典籍背景考查方程的实际应用，解题关键是准确找到总路程的等量关系，正确用未知数表示每天的行走路程，计算时注意分数的合并运算即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
