登录
6. 某市生产运营用水和家庭生活用水的总和是5.2亿 m³,其中家庭生活用水是生产运营用水的3倍.问:家庭生活用水和生产运营用水各多少亿立方米?
学习盘点
运用“合并同类项”解一元一次方程的步骤及注意事项有哪些？
学习盘点
运用“合并同类项”解一元一次方程的步骤及注意事项有哪些？
答案
家庭生活用水 3.9 亿 m³,生产运营用水 1.3 亿 m³.
解析
【分析】
本题包含一元一次方程实际应用和知识点梳理两部分内容。解应用题时先提取两个等量关系：一是生产运营用水量与家庭生活用水量总和为5.2亿m³，二是家庭生活用水量是生产运营用水量的3倍。我们设较小的未知量生产运营用水量为$x$亿m³，用含$x$的式子$3x$表示家庭生活用水量，再根据总用水量的等量关系列方程，最后通过合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得到结果。回答知识点梳理时，结合本节课所学内容，整理合并同类项解方程的步骤和易错点即可。
【解析】
应用题解答：
解：设生产运营用水为$x$亿$m^3$，则家庭生活用水为$3x$亿$m^3$。
根据题意列方程：
$x + 3x = 5.2$
合并同类项，得：
$4x = 5.2$
系数化为1，得：
$x = 5.2÷4 = 1.3$
家庭生活用水量为：$3x = 3×1.3 = 3.9$（亿$m^3$）
学习盘点解答：
解题步骤：
1. 合并同类项：将方程中含未知数的项合并为一项，常数项合并为一项，把方程转化为$ax=b(a≠0)$的形式；
2. 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x=\frac{b}{a}$。
注意事项：
1. 合并同类项时要准确计算各项系数，注意项的符号，避免符号计算错误；
2. 系数化为1时，不要颠倒分子分母的位置，若系数为负数，要注意解的符号不要出错。
【答案】
家庭生活用水3.9亿$m^3$，生产运营用水1.3亿$m^3$。
【知识点】
一元一次方程的实际应用、合并同类项解方程、和差倍分问题
【点评】
本题是一元一次方程的基础练习题，既考察了学生利用和差倍分关系建立方程的逻辑能力，也考察了合并同类项解方程的基础运算能力，是巩固一元一次方程入门解法的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题包含一元一次方程实际应用和知识点梳理两部分内容。解应用题时先提取两个等量关系：一是生产运营用水量与家庭生活用水量总和为5.2亿m³，二是家庭生活用水量是生产运营用水量的3倍。我们设较小的未知量生产运营用水量为$x$亿m³，用含$x$的式子$3x$表示家庭生活用水量，再根据总用水量的等量关系列方程，最后通过合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得到结果。回答知识点梳理时，结合本节课所学内容，整理合并同类项解方程的步骤和易错点即可。
【解析】
应用题解答：
解：设生产运营用水为$x$亿$m^3$，则家庭生活用水为$3x$亿$m^3$。
根据题意列方程：
$x + 3x = 5.2$
合并同类项，得：
$4x = 5.2$
系数化为1，得：
$x = 5.2÷4 = 1.3$
家庭生活用水量为：$3x = 3×1.3 = 3.9$（亿$m^3$）
学习盘点解答：
解题步骤：
1. 合并同类项：将方程中含未知数的项合并为一项，常数项合并为一项，把方程转化为$ax=b(a≠0)$的形式；
2. 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x=\frac{b}{a}$。
注意事项：
1. 合并同类项时要准确计算各项系数，注意项的符号，避免符号计算错误；
2. 系数化为1时，不要颠倒分子分母的位置，若系数为负数，要注意解的符号不要出错。
【答案】
家庭生活用水3.9亿$m^3$，生产运营用水1.3亿$m^3$。
【知识点】
一元一次方程的实际应用、合并同类项解方程、和差倍分问题
【点评】
本题是一元一次方程的基础练习题，既考察了学生利用和差倍分关系建立方程的逻辑能力，也考察了合并同类项解方程的基础运算能力，是巩固一元一次方程入门解法的典型习题。
【难度系数】
0.8
1. 解下列方程时，合并同类项正确的是(
A.$-5x - 4x = 7$,合并同类项,得$9x = 7$
B.$2y - 3y + 4y = 6 - 1$,合并同类项,得$3y = 5$
C.$-7x + \frac{1}{2}x = 3$,合并同类项,得$-\frac{15}{2}x = 3$
D.$0.5x + 0.8x = 7 + 0.8$,合并同类项,得$0.13x = 7.8$
B
)A.$-5x - 4x = 7$,合并同类项,得$9x = 7$
B.$2y - 3y + 4y = 6 - 1$,合并同类项,得$3y = 5$
C.$-7x + \frac{1}{2}x = 3$,合并同类项,得$-\frac{15}{2}x = 3$
D.$0.5x + 0.8x = 7 + 0.8$,合并同类项,得$0.13x = 7.8$
答案
B
解析
【分析】
本题考查一元一次方程合并同类项的相关知识，解题时先明确合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，再逐一验证每个选项合并同类项后的结果是否正确，最终选出正确选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：左边合并同类项，$-5x-4x=(-5-4)x=-9x$，正确结果应为$-9x=7$，原合并结果错误，故A不符合要求；
B选项：左边合并同类项，$2y-3y+4y=(2-3+4)y=3y$，右边计算得$6-1=5$，合并后为$3y=5$，计算正确，故B符合要求；
C选项：左边合并同类项，$-7x+\frac{1}{2}x=(-7+\frac{1}{2})x=-\frac{13}{2}x$，正确结果应为$-\frac{13}{2}x=3$，原合并结果错误，故C不符合要求；
D选项：左边合并同类项，$0.5x+0.8x=(0.5+0.8)x=1.3x$，右边计算得$7+0.8=7.8$，正确结果应为$1.3x=7.8$，原合并结果错误，故D不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；一元一次方程化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查合并同类项的运算能力，解题时要注意系数相加时符号的处理，以及分数、小数的计算准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程合并同类项的相关知识，解题时先明确合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，再逐一验证每个选项合并同类项后的结果是否正确，最终选出正确选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：左边合并同类项，$-5x-4x=(-5-4)x=-9x$，正确结果应为$-9x=7$，原合并结果错误，故A不符合要求；
B选项：左边合并同类项，$2y-3y+4y=(2-3+4)y=3y$，右边计算得$6-1=5$，合并后为$3y=5$，计算正确，故B符合要求；
C选项：左边合并同类项，$-7x+\frac{1}{2}x=(-7+\frac{1}{2})x=-\frac{13}{2}x$，正确结果应为$-\frac{13}{2}x=3$，原合并结果错误，故C不符合要求；
D选项：左边合并同类项，$0.5x+0.8x=(0.5+0.8)x=1.3x$，右边计算得$7+0.8=7.8$，正确结果应为$1.3x=7.8$，原合并结果错误，故D不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；一元一次方程化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查合并同类项的运算能力，解题时要注意系数相加时符号的处理，以及分数、小数的计算准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
2. 一组数按一定的规律排列：$\frac{1}{16}, -\frac{1}{4}, 1, -4, 16, -64, ···.$ 其中某三个相邻数的和是 -832，则这三个相邻数最中间的数是
256
.答案
256
解析
【分析】
首先观察数列中相邻数的运算关系，可得出后一个数是前一个数的-4倍的规律。要求三个相邻数中最中间的数，我们可以设中间的数为未知数，根据规律用它表示出前一个和后一个相邻数，再根据“三个相邻数的和是-832”的等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出结果。
【解析】
第一步：找数列规律
观察数列：$\frac{1}{16}, -\frac{1}{4}, 1, -4, 16, -64, ···$
计算相邻两数的商：$-\frac{1}{4} ÷ \frac{1}{16} = -4$，$1 ÷ (-\frac{1}{4}) = -4$，$-4 ÷ 1 = -4$，可得规律：后一个数是前一个数的-4倍。
第二步：设未知数，列方程
设这三个相邻数最中间的数为$x$，则前一个数为$\frac{x}{-4}=-\frac{x}{4}$，后一个数为$x × (-4) = -4x$。
根据三个数的和为-832，列方程：
$-\frac{x}{4} + x + (-4x) = -832$
第三步：解方程
合并同类项：
$(-\frac{1}{4} + 1 - 4)x = -832$
$-\frac{13}{4}x = -832$
两边同时乘4：
$-13x = -3328$
两边同时除以-13：
$x = 256$
【答案】
256
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，解一元一次方程
【点评】
本题是规律类方程应用题，解题的核心是先准确找到数列的排列规律，再根据题意中的等量关系列方程求解，计算过程中要注意负数运算的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先观察数列中相邻数的运算关系，可得出后一个数是前一个数的-4倍的规律。要求三个相邻数中最中间的数，我们可以设中间的数为未知数，根据规律用它表示出前一个和后一个相邻数，再根据“三个相邻数的和是-832”的等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出结果。
【解析】
第一步：找数列规律
观察数列：$\frac{1}{16}, -\frac{1}{4}, 1, -4, 16, -64, ···$
计算相邻两数的商：$-\frac{1}{4} ÷ \frac{1}{16} = -4$，$1 ÷ (-\frac{1}{4}) = -4$，$-4 ÷ 1 = -4$，可得规律：后一个数是前一个数的-4倍。
第二步：设未知数，列方程
设这三个相邻数最中间的数为$x$，则前一个数为$\frac{x}{-4}=-\frac{x}{4}$，后一个数为$x × (-4) = -4x$。
根据三个数的和为-832，列方程：
$-\frac{x}{4} + x + (-4x) = -832$
第三步：解方程
合并同类项：
$(-\frac{1}{4} + 1 - 4)x = -832$
$-\frac{13}{4}x = -832$
两边同时乘4：
$-13x = -3328$
两边同时除以-13：
$x = 256$
【答案】
256
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，解一元一次方程
【点评】
本题是规律类方程应用题，解题的核心是先准确找到数列的排列规律，再根据题意中的等量关系列方程求解，计算过程中要注意负数运算的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 已知$3x + x = 8$,则$2x + 2 =$
6
.答案
6
解析
【分析】
拿到本题首先明确已知条件是关于x的一元一次方程，待求式是含x的代数式，因此解题思路分为两步：第一步先求解给出的一元一次方程，得到x的具体值；第二步将x的值代入待求式计算结果即可。解方程时按照本节课所学的方法，先合并同类项，再将系数化为1就能求出x。
【解析】
解：先解方程$3x + x = 8$
合并同类项，得：$4x = 8$
系数化为1，得：$x = 2$
将$x=2$代入$2x + 2$中计算：
$2x + 2 = 2×2 + 2 = 4 + 2 = 6$
【答案】
6
【知识点】
解一元一次方程、代数式求值、合并同类项
【点评】
本题属于基础题，主要考察一元一次方程的基础解法和代数式代入求值的方法，只要掌握合并同类项、系数化为1的解方程基本步骤，就能顺利得出答案。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先明确已知条件是关于x的一元一次方程，待求式是含x的代数式，因此解题思路分为两步：第一步先求解给出的一元一次方程，得到x的具体值；第二步将x的值代入待求式计算结果即可。解方程时按照本节课所学的方法，先合并同类项，再将系数化为1就能求出x。
【解析】
解：先解方程$3x + x = 8$
合并同类项，得：$4x = 8$
系数化为1，得：$x = 2$
将$x=2$代入$2x + 2$中计算：
$2x + 2 = 2×2 + 2 = 4 + 2 = 6$
【答案】
6
【知识点】
解一元一次方程、代数式求值、合并同类项
【点评】
本题属于基础题，主要考察一元一次方程的基础解法和代数式代入求值的方法，只要掌握合并同类项、系数化为1的解方程基本步骤，就能顺利得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 解方程：
(1) $-5x + 3x = 15 - 8$；
(2) $\frac{2}{3}m - \frac{1}{9}m = \frac{5}{2} × 2$；
(3) $3y - 4y + 6y = 21$；
(4) $\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}a + \frac{1}{4}a = 13$。
(1) $-5x + 3x = 15 - 8$；
(2) $\frac{2}{3}m - \frac{1}{9}m = \frac{5}{2} × 2$；
(3) $3y - 4y + 6y = 21$；
(4) $\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}a + \frac{1}{4}a = 13$。
答案
(1)$x = -\frac{7}{2}$ (2)$m = 9$ (3)$y = \frac{21}{5}$ (4)$a = 12$
解析
【分析】
这4道题都是解一元一次方程的基础题型，解题思路分为两步：①合并同类项：分别将等号左右两边含未知数的同类项、常数同类项合并，将方程化为“$ax=b$（$a≠0$）”的形式；②系数化为1：等式两边同时除以未知数的系数$a$，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 合并同类项，得：$-2x=7$
系数化为1，两边同时除以$-2$，得：$x=-\frac{7}{2}$
(2) 先计算右边常数项：$\frac{5}{2}×2=5$
左边合并同类项，通分后计算：$\frac{6}{9}m-\frac{1}{9}m=\frac{5}{9}m$
此时方程为$\frac{5}{9}m=5$
系数化为1，两边同时乘$\frac{9}{5}$，得：$m=5×\frac{9}{5}=9$
(3) 合并同类项，得：$5y=21$
系数化为1，两边同时除以$5$，得：$y=\frac{21}{5}$
(4) 左边合并同类项，通分后计算：$\frac{6}{12}a+\frac{4}{12}a+\frac{3}{12}a=\frac{13}{12}a$
此时方程为$\frac{13}{12}a=13$
系数化为1，两边同时乘$\frac{12}{13}$，得：$a=13×\frac{12}{13}=12$
【答案】
(1)$x=-\frac{7}{2}$；(2)$m=9$；(3)$y=\frac{21}{5}$；(4)$a=12$
【知识点】
合并同类项；系数化为1；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础训练，重点考查合并同类项、系数化为1的基本运算技能，熟练掌握该类题型的解法，是后续学习复杂一元一次方程解法的重要基础。
【难度系数】
0.8
这4道题都是解一元一次方程的基础题型，解题思路分为两步：①合并同类项：分别将等号左右两边含未知数的同类项、常数同类项合并，将方程化为“$ax=b$（$a≠0$）”的形式；②系数化为1：等式两边同时除以未知数的系数$a$，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 合并同类项，得：$-2x=7$
系数化为1，两边同时除以$-2$，得：$x=-\frac{7}{2}$
(2) 先计算右边常数项：$\frac{5}{2}×2=5$
左边合并同类项，通分后计算：$\frac{6}{9}m-\frac{1}{9}m=\frac{5}{9}m$
此时方程为$\frac{5}{9}m=5$
系数化为1，两边同时乘$\frac{9}{5}$，得：$m=5×\frac{9}{5}=9$
(3) 合并同类项，得：$5y=21$
系数化为1，两边同时除以$5$，得：$y=\frac{21}{5}$
(4) 左边合并同类项，通分后计算：$\frac{6}{12}a+\frac{4}{12}a+\frac{3}{12}a=\frac{13}{12}a$
此时方程为$\frac{13}{12}a=13$
系数化为1，两边同时乘$\frac{12}{13}$，得：$a=13×\frac{12}{13}=12$
【答案】
(1)$x=-\frac{7}{2}$；(2)$m=9$；(3)$y=\frac{21}{5}$；(4)$a=12$
【知识点】
合并同类项；系数化为1；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础训练，重点考查合并同类项、系数化为1的基本运算技能，熟练掌握该类题型的解法，是后续学习复杂一元一次方程解法的重要基础。
【难度系数】
0.8
