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学习任务一 单项式
从具体到抽象
|情境创设|
(1)买单价为2元的圆珠笔m支,共用多少元?
(2)某中学共有学生a人,其中女生占45%,求该中学女生有多少人,男生有多少人.
(3)一辆火车以v km/h的速度匀速行驶了t h,这辆火车行驶的路程是多少千米?
(4)若正方形的边长是a,则该正方形的周长和面积分别是多少?
问题1:请列出上面四个问题的代数式.
问题2:请总结上面代数式的共同点.
|知识梳理|
1.这些代数式都是数或字母的
2.单独的一个
从具体到抽象
|情境创设|
(1)买单价为2元的圆珠笔m支,共用多少元?
(2)某中学共有学生a人,其中女生占45%,求该中学女生有多少人,男生有多少人.
(3)一辆火车以v km/h的速度匀速行驶了t h,这辆火车行驶的路程是多少千米?
(4)若正方形的边长是a,则该正方形的周长和面积分别是多少?
问题1:请列出上面四个问题的代数式.
问题2:请总结上面代数式的共同点.
|知识梳理|
1.这些代数式都是数或字母的
积
,像这样的代数式叫作单项式.2.单独的一个
数
或一个字母
也是单项式.答案
问题1:(1)2m.
(2)女生人数为45%a,男生人数为55%a.
(3)vt.
(4)周长为4a,面积为a².
问题2:这些代数式都是数或字母的积.
知识梳理
1.积
2.数 字母
(2)女生人数为45%a,男生人数为55%a.
(3)vt.
(4)周长为4a,面积为a².
问题2:这些代数式都是数或字母的积.
知识梳理
1.积
2.数 字母
解析
【分析】
解题思路分三步：首先解决问题1，对应每个情境的基础数量关系（总价=单价×数量、部分量=总量×对应占比、路程=速度×时间、正方形周长和面积公式）列出代数式；其次解决问题2，观察列出的所有代数式的运算特征，总结共同特点；最后结合总结出的共同特征，对应填写单项式的定义内容。
【解析】
问题1：列代数式
(1) 圆珠笔单价为2元，买m支的总价=单价×数量，即$2× m=2m$；
(2) 总人数为a人，女生占45%，女生人数=总人数×女生占比，即$45\%× a=45\%a$；男生占比为$1-45\%=55\%$，男生人数=总人数×男生占比，即$55\%× a=55\%a$；
(3) 火车速度为$v\ \mathrm{km/h}$，行驶时间为$t\ \mathrm{h}$，路程=速度×时间，即$v× t=vt$；
(4) 正方形边长为a，周长=4×边长，即$4× a=4a$；面积=边长×边长，即$a× a=a^2$。
问题2：总结代数式共同点
观察得到的$2m、45\%a、55\%a、vt、4a、a^2$，可发现所有式子都只有乘法运算，要么是数与字母相乘，要么是字母与字母相乘，没有加减运算，也没有分母含字母的除法运算，因此共同点为：都是数或字母的积。
知识梳理
结合单项式的定义：
1. 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，因此第一空填“积”；
2. 单独的一个数或者一个字母也符合单项式的定义，因此后两空依次填“数”“字母”。
【答案】
问题1:(1)2m；(2)女生人数为45%a，男生人数为55%a；(3)vt；(4)周长为4a，面积为$a^2$。
问题2:这些代数式都是数或字母的积。
知识梳理
1.积
2.数 字母
【知识点】
1. 列代数式
2. 单项式的定义
【点评】
本题通过生活、几何常见情境引入单项式的概念，侧重对基础定义的理解，需要掌握实际问题中数量关系的分析方法，牢记单项式的定义特征，尤其注意单独的数或字母也是单项式这一易忽略点，为后续整式的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
解题思路分三步：首先解决问题1，对应每个情境的基础数量关系（总价=单价×数量、部分量=总量×对应占比、路程=速度×时间、正方形周长和面积公式）列出代数式；其次解决问题2，观察列出的所有代数式的运算特征，总结共同特点；最后结合总结出的共同特征，对应填写单项式的定义内容。
【解析】
问题1：列代数式
(1) 圆珠笔单价为2元，买m支的总价=单价×数量，即$2× m=2m$；
(2) 总人数为a人，女生占45%，女生人数=总人数×女生占比，即$45\%× a=45\%a$；男生占比为$1-45\%=55\%$，男生人数=总人数×男生占比，即$55\%× a=55\%a$；
(3) 火车速度为$v\ \mathrm{km/h}$，行驶时间为$t\ \mathrm{h}$，路程=速度×时间，即$v× t=vt$；
(4) 正方形边长为a，周长=4×边长，即$4× a=4a$；面积=边长×边长，即$a× a=a^2$。
问题2：总结代数式共同点
观察得到的$2m、45\%a、55\%a、vt、4a、a^2$，可发现所有式子都只有乘法运算，要么是数与字母相乘，要么是字母与字母相乘，没有加减运算，也没有分母含字母的除法运算，因此共同点为：都是数或字母的积。
知识梳理
结合单项式的定义：
1. 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，因此第一空填“积”；
2. 单独的一个数或者一个字母也符合单项式的定义，因此后两空依次填“数”“字母”。
【答案】
问题1:(1)2m；(2)女生人数为45%a，男生人数为55%a；(3)vt；(4)周长为4a，面积为$a^2$。
问题2:这些代数式都是数或字母的积。
知识梳理
1.积
2.数 字母
【知识点】
1. 列代数式
2. 单项式的定义
【点评】
本题通过生活、几何常见情境引入单项式的概念，侧重对基础定义的理解，需要掌握实际问题中数量关系的分析方法，牢记单项式的定义特征，尤其注意单独的数或字母也是单项式这一易忽略点，为后续整式的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
学习任务二 单项式的系数和次数
1.单项式的系数
(1)系数:单项式中的
(2)书写规则:单项式表示数与字母相乘时,通常把
2.单项式的次数
(1)定义:一个单项式中,所有字母的指数的
(2)一般地,我们规定:一个非零的数的次数为
1.单项式的系数
(1)系数:单项式中的
数字因数
叫作这个单项式的系数.(2)书写规则:单项式表示数与字母相乘时,通常把
数
写在前面.单项式的系数是1
或-1
时,1
通常省略不写.2.单项式的次数
(1)定义:一个单项式中,所有字母的指数的
和
叫作这个单项式的次数.如果一个单项式的次数是n,那么称这个单项式是n次单项式
.(2)一般地,我们规定:一个非零的数的次数为
0
,0没有次数.答案
1.(1)数字因数 (2)数 1 -1 1
2.(1)和 n次单项式 (2)0
2.(1)和 n次单项式 (2)0
解析
【分析】
本题考查单项式系数与次数的基础概念，属于识记类题型，解题时只需对应教材中关于单项式的相关定义、书写规则及规定直接填写即可。首先回忆单项式系数的定义和书写要求，再对应单项式次数的定义和特殊规定，逐一匹配每个空缺的内容，注意区分系数和次数的核心概念，不要混淆相关细节要求。
【解析】
1. 单项式的系数
(1) 根据定义，单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，因此此处填数字因数；
(2) 单项式书写规则：数与字母相乘时，通常把数写在前面；当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写，例如$1· a$简写为$a$，$-1· a$简写为$-a$，因此依次填写：数、1、-1、1。
2. 单项式的次数
(1) 根据定义，一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数；如果一个单项式的次数是$n$，那么称这个单项式是$n$次单项式，因此依次填写：和、$n$次单项式；
(2) 根据规定，一个非零的数的次数为0，0没有次数，因此此处填0。
【答案】
1.(1)数字因数 (2)数 1 -1 1
2.(1)和 n次单项式 (2)0
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；单项式书写规范
【点评】
本题是对单项式基础概念的直接考查，难度较低，熟练掌握相关定义、书写规则和特殊规定是解题的核心，这类基础概念是后续整式相关运算学习的重要根基，需要准确牢固记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式系数与次数的基础概念，属于识记类题型，解题时只需对应教材中关于单项式的相关定义、书写规则及规定直接填写即可。首先回忆单项式系数的定义和书写要求，再对应单项式次数的定义和特殊规定，逐一匹配每个空缺的内容，注意区分系数和次数的核心概念，不要混淆相关细节要求。
【解析】
1. 单项式的系数
(1) 根据定义，单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，因此此处填数字因数；
(2) 单项式书写规则：数与字母相乘时，通常把数写在前面；当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写，例如$1· a$简写为$a$，$-1· a$简写为$-a$，因此依次填写：数、1、-1、1。
2. 单项式的次数
(1) 根据定义，一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数；如果一个单项式的次数是$n$，那么称这个单项式是$n$次单项式，因此依次填写：和、$n$次单项式；
(2) 根据规定，一个非零的数的次数为0，0没有次数，因此此处填0。
【答案】
1.(1)数字因数 (2)数 1 -1 1
2.(1)和 n次单项式 (2)0
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；单项式书写规范
【点评】
本题是对单项式基础概念的直接考查，难度较低，熟练掌握相关定义、书写规则和特殊规定是解题的核心，这类基础概念是后续整式相关运算学习的重要根基，需要准确牢固记忆。
【难度系数】
0.9
【例1】下列各式中，哪些是单项式？
①$-13$；②$\frac{2x}{3}$；③$-\frac{8}{5}a^3$；④$2ab-3c$；⑤$3a+2b$；⑥$0$；⑦$7t$。
思路分析
思考:判断一个式子是不是单项式,先看它是不是单独的一个
解:
【规律方法】
判断代数式是否为单项式的方法
(1)前提条件:代数式的分母中不能含有字母($π$除外).
(2)观察形式:所给式子必须是数或字母的积的形式.
(3)特殊情况:单独的一个数或一个字母也是单项式.
①$-13$；②$\frac{2x}{3}$；③$-\frac{8}{5}a^3$；④$2ab-3c$；⑤$3a+2b$；⑥$0$；⑦$7t$。
思路分析
思考:判断一个式子是不是单项式,先看它是不是单独的一个
数或字母
,再看它是不是数或字母的积
的形式.若符合上述两条中的一条,则是单项式,否则不是.解:
【规律方法】
判断代数式是否为单项式的方法
(1)前提条件:代数式的分母中不能含有字母($π$除外).
(2)观察形式:所给式子必须是数或字母的积的形式.
(3)特殊情况:单独的一个数或一个字母也是单项式.
答案
思考:数或字母 数或字母的积
解:①②③⑥⑦是单项式.
解:①②③⑥⑦是单项式.
解析
【分析】
要判断式子是否为单项式，首先要明确单项式的判定规则：第一，单独的一个数或者一个字母是单项式；第二，只由数和字母的乘积组成的式子是单项式，注意式子中不能含有加减运算，分母不能含有字母（π除外）。解题时我们依次用这两个规则核对每个给出的式子，符合规则的就是单项式，不符合的就不是。
【解析】
首先完成思路思考的填空：判断一个式子是不是单项式，先看它是不是单独的一个 数或字母 ，再看它是不是 数或字母的积 的形式。
接下来逐个判断各式：
1. ①$-13$是单独的一个数，符合单项式定义，是单项式；
2. ②$\frac{2x}{3}$是$\frac{2}{3}$与$x$的乘积，不含加减运算，分母无字母，符合单项式定义，是单项式；
3. ③$-\frac{8}{5}a^3$是$-\frac{8}{5}$与$a^3$的乘积，符合单项式定义，是单项式；
4. ④$2ab-3c$含有减法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
5. ⑤$3a+2b$含有加法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
6. ⑥$0$是单独的一个数，符合单项式定义，是单项式；
7. ⑦$7t$是$7$与$t$的乘积，符合单项式定义，是单项式。
综上，属于单项式的是①②③⑥⑦。
【答案】
思考：数或字母；数或字母的积
解：①②③⑥⑦是单项式。
【知识点】
单项式的定义；单项式的判定
【点评】
本题是单项式判定的基础题，核心考查对单项式概念的掌握，解题时要注意单独的数或字母也属于单项式，含加减运算的式子不属于单项式，牢记判定规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
要判断式子是否为单项式，首先要明确单项式的判定规则：第一，单独的一个数或者一个字母是单项式；第二，只由数和字母的乘积组成的式子是单项式，注意式子中不能含有加减运算，分母不能含有字母（π除外）。解题时我们依次用这两个规则核对每个给出的式子，符合规则的就是单项式，不符合的就不是。
【解析】
首先完成思路思考的填空：判断一个式子是不是单项式，先看它是不是单独的一个 数或字母 ，再看它是不是 数或字母的积 的形式。
接下来逐个判断各式：
1. ①$-13$是单独的一个数，符合单项式定义，是单项式；
2. ②$\frac{2x}{3}$是$\frac{2}{3}$与$x$的乘积，不含加减运算，分母无字母，符合单项式定义，是单项式；
3. ③$-\frac{8}{5}a^3$是$-\frac{8}{5}$与$a^3$的乘积，符合单项式定义，是单项式；
4. ④$2ab-3c$含有减法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
5. ⑤$3a+2b$含有加法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
6. ⑥$0$是单独的一个数，符合单项式定义，是单项式；
7. ⑦$7t$是$7$与$t$的乘积，符合单项式定义，是单项式。
综上，属于单项式的是①②③⑥⑦。
【答案】
思考：数或字母；数或字母的积
解：①②③⑥⑦是单项式。
【知识点】
单项式的定义；单项式的判定
【点评】
本题是单项式判定的基础题，核心考查对单项式概念的掌握，解题时要注意单独的数或字母也属于单项式，含加减运算的式子不属于单项式，牢记判定规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
