变式训练
1.在代数式$\frac{ab}{3}, -\frac{2}{3}abc, -5, x-y, \frac{2}{x}, π$中，单项式有 ()

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

1.B

【分析】
解题首先要明确单项式的判定标准：①由数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的一个数或单独的一个字母也属于单项式；②分母中含有字母的式子是分式，不属于整式，因此不是单项式；③含有加减运算的式子是多项式，不属于单项式。接下来我们逐个判断给出的代数式是否符合上述标准，统计符合条件的单项式个数即可得到答案。
【解析】
首先回忆单项式的定义：数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
逐个分析所给代数式：
1. $\frac{ab}{3}$：是$\frac{1}{3}$与$ab$的乘积，符合单项式定义，是单项式；
2. $-\frac{2}{3}abc$：是$-\frac{2}{3}$与$abc$的乘积，符合单项式定义，是单项式；
3. $-5$：是单独的常数，符合单项式定义，是单项式；
4. $x-y$：含有减法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
5. $\frac{2}{x}$：分母中含有字母$x$，属于分式，不是整式，因此不是单项式；
6. $π$：是单独的常数（$π$是固定常数，不是字母），符合单项式定义，是单项式。
综上，单项式共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的定义；整式的判定；多项式的定义
【点评】
本题是单项式判定的基础题，解题的关键是牢记单项式的判定要点，尤其要注意三点：一是分母含字母的式子不属于单项式；二是含加减运算的整式是多项式，不是单项式；三是$π$是常数，属于单项式，不要误判为字母。
【难度系数】
0.8

【例2】指出下列各单项式的系数和次数：
$-\dfrac{2xy}{3}, -mx, \dfrac{3ax^2}{2}, 7^{10}xyz^2, 2^7, -π r^2.$
解：

$-\dfrac{2xy}{3}$的系数是$-\dfrac{2}{3}$,次数是2；
$-mx$的系数是$-1$,次数是2；
$\dfrac{3ax^2}{2}$的系数是$\dfrac{3}{2}$,次数是3；
$7^{10}xyz^2$的系数是$7^{10}$,次数是4；
$2^7$的系数是$2^7$,次数是0；
$-πr^2$的系数是$-π$,次数是2.

【分析】
要确定每个单项式的系数和次数，首先牢记两个核心概念：1. 单项式的系数：单项式中的数字因数，要包含数字前面的符号，其中π是固定常数，不属于字母，算在系数里；2. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和，注意数字本身的指数不计入，单独的数字（常数项）没有字母，次数为0。解题时逐个对每个单项式先提取数字部分得到系数，再统计所有字母的指数求和得到次数即可。
【解析】
1. 对于$-\dfrac{2xy}{3}$：数字因数是$-\dfrac{2}{3}$，即系数为$-\dfrac{2}{3}$；所含字母为x、y，指数均为1，次数为$1+1=2$。
2. 对于$-mx$：数字因数是省略1的$-1$，即系数为$-1$；所含字母为m、x，指数均为1，次数为$1+1=2$。
3. 对于$\dfrac{3ax^2}{2}$：数字因数是$\dfrac{3}{2}$，即系数为$\dfrac{3}{2}$；所含字母为a（指数1）、x（指数2），次数为$1+2=3$。
4. 对于$7^{10}xyz^2$：数字因数是常数$7^{10}$，即系数为$7^{10}$；所含字母为x（指数1）、y（指数1）、z（指数2），次数为$1+1+2=4$。
5. 对于$2^7$：是单独的常数，数字因数为本身$2^7$，即系数为$2^7$；没有含字母的项，次数为0。
6. 对于$-π r^2$：π是常数，数字因数为$-π$，即系数为$-π$；所含字母为r（指数2），次数为2。
【答案】
$-\dfrac{2xy}{3}$的系数是$-\dfrac{2}{3}$,次数是2；
$-mx$的系数是$-1$,次数是2；
$\dfrac{3ax^2}{2}$的系数是$\dfrac{3}{2}$,次数是3；
$7^{10}xyz^2$的系数是$7^{10}$,次数是4；
$2^7$的系数是$2^7$,次数是0；
$-πr^2$的系数是$-π$,次数是2.
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数，常数项
【点评】
本题是单项式相关概念的基础考查题，解题关键是准确区分系数和次数的定义，尤其要注意π属于常数而非字母、数字的指数不计入单项式次数、单独的常数次数为0这几个易错点，掌握概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

2.填表.

2.1 -1 $-\dfrac{5}{2}$ $π$ $-2^3$ 1 3 4 3 5

【分析】
解决本题首先要明确单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是单项式中的数字因数，需包含数字前的符号，注意π是常数，属于系数的一部分；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，单独的字母指数为1，数字的指数不计入次数。接下来逐个分析每个单项式，分别计算对应的系数和次数即可。
【解析】
我们逐个分析每个单项式：
1. 单项式$a$：数字因数为$1$，故系数为$1$；仅含字母$a$，指数为$1$，故次数为$1$。
2. 单项式$-x^2y$：数字因数为$-1$，故系数为$-1$；字母$x$指数为$2$，字母$y$指数为$1$，次数为$2+1=3$。
3. 单项式$-\dfrac{5xy^2z}{2}$：数字因数为$-\dfrac{5}{2}$，故系数为$-\dfrac{5}{2}$；字母$x$指数为$1$，字母$y$指数为$2$，字母$z$指数为$1$，次数为$1+2+1=4$。
4. 单项式$π x^2y$：$π$是常数，数字因数为$π$，故系数为$π$；字母$x$指数为$2$，字母$y$指数为$1$，次数为$2+1=3$。
5. 单项式$-2^3a^2b^3$：数字因数为$-2^3$，故系数为$-2^3$；字母$a$指数为$2$，字母$b$指数为$3$，次数为$2+3=5$。
因此系数行从左到右依次为$1$、$-1$、$-\dfrac{5}{2}$、$π$、$-2^3$，次数行从左到右依次为$1$、$3$、$4$、$3$、$5$。
【答案】
系数：$1$，$-1$，$-\dfrac{5}{2}$，$π$，$-2^3$；次数：$1$，$3$，$4$，$3$，$5$
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要注意系数的符号、π属于常数、数字的指数不计入单项式次数这几个易错点，熟练掌握相关概念就能准确解题。
【难度系数】
0.8

【例3】用单项式填空，并指出它们的系数和次数.
(1)某种商品的售价为每袋5.6元,在某个月内销售了$x$袋,则这种商品在该月内的销售收入为元.
(2)一个长方形的长是$a$ cm,宽是7 cm,则这个长方形的面积为$\mathrm{cm}^2$.
解:

(1)5.6x 它的系数是5.6,次数是1.
(2)7a 它的系数是7,次数是1.

【分析】
解题时先结合实际问题的数量关系列出单项式，再依据单项式系数、次数的定义判断对应值：①单项式的系数是单项式中的数字因数；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。
第(1)题：根据“销售收入=单价×销售数量”的数量关系代入对应数值和字母得到单项式，再提取数字因数得系数，查看字母的指数得次数；
第(2)题：根据“长方形面积=长×宽”的公式代入对应数值和字母得到单项式，同理判断系数和次数即可。
【解析】
(1) 已知商品单价为5.6元，当月销量为$x$袋，由“销售收入=单价×销售数量”可得，销售收入为$5.6x$元；
根据单项式的定义，$5.6x$的数字因数为5.6，即系数是5.6，式子中仅含字母$x$，它的指数为1，即次数是1。
(2) 已知长方形长为$a$ cm，宽为7 cm，由“长方形面积=长×宽”可得，长方形面积为$7a$ $\mathrm{cm}^2$；
根据单项式的定义，$7a$的数字因数为7，即系数是7，式子中仅含字母$a$，它的指数为1，即次数是1。
【答案】
(1)$5.6x$，它的系数是5.6，次数是1；
(2)$7a$，它的系数是7，次数是1。
【知识点】
列单项式，单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题结合常见生活场景和几何公式考查单项式的基础概念，核心是掌握单项式系数、次数的定义，同时要熟练掌握常见的数量关系。
【难度系数】
0.9

【规律方法】
用单项式表示问题中的
数量关系的注意事项
(1)认真审题，抓住关键词语，弄清等量关系，列单项式.
(2)按照单项式的书写规则正确、规范地书写.
变式训练
3.用单项式填空，并指出它的系数和次数.
某班有女生$m$名，男生人数是女生的$1\frac{1}{4}$倍，
那么该班有男生名.
知识建构

3.解:$\dfrac{5}{4}m$ 它的系数是$\dfrac{5}{4}$,次数是1.

【分析】
解题时首先审题明确数量关系：男生人数=女生人数×$1\frac{1}{4}$，首先根据单项式的书写规则，带分数要先化为假分数，再与字母相乘得到表示男生人数的单项式；再根据单项式系数和次数的定义判断即可：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。
【解析】
解：已知女生有$m$名，男生人数是女生的$1\frac{1}{4}$倍，
先将带分数$1\frac{1}{4}$化为假分数：$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，
因此男生人数为$\frac{5}{4}×m=\frac{5}{4}m$；
根据单项式的定义：$\frac{5}{4}m$的数字因数是$\frac{5}{4}$，因此系数为$\frac{5}{4}$；
单项式中仅含字母$m$，$m$的指数是1，因此次数是1。
【答案】
$\dfrac{5}{4}m$，它的系数是$\dfrac{5}{4}$，次数是1
【知识点】
1. 列单项式
2. 单项式的系数
3. 单项式的次数
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找准数量关系列代数式，同时注意单项式的书写规范，带分数要转化为假分数，再结合单项式系数和次数的定义判断即可。
【难度系数】
0.9