9. 如图，在$4×4$的正方形网格中，$∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7$的度数为 （）


A.$300°$
B.$315°$
C.$320°$
D.$325°$

9.B

【分析】
解题思路：利用正方形网格中三角形全等的性质，找到互余的角对，再计算所有角的和。首先观察每个角所在的直角三角形，判断是否存在全等的直角三角形：如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个三角形全等，对应角相等，且直角三角形两个锐角和为90°，可以得到成对的两个角相加为90°，再单独计算中间角∠4的度数，最后求和即可。
【解析】
观察正方形网格可得：
1. 包含∠1和∠7的两个直角三角形，直角边分别为1、4和4、1，满足SAS全等判定条件，两三角形全等，因此$∠ 1+∠ 7=90°$；
2. 包含∠2和∠6的两个直角三角形，直角边分别为2、4和4、2，满足SAS全等判定条件，两三角形全等，因此$∠ 2+∠ 6=90°$；
3. 包含∠3和∠5的两个直角三角形，直角边分别为3、4和4、3，满足SAS全等判定条件，两三角形全等，因此$∠ 3+∠ 5=90°$；
4. ∠4是等腰直角三角形的锐角，因此$∠ 4=45°$。
综上，$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6+∠ 7 = 90°+90°+90°+45° = 315°$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在网格中的典型应用，解题关键是通过观察网格特征识别出全等三角形，利用互余角的性质简化计算，不需要逐个求解每个角的度数，能很好地锻炼学生的观察能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7

10. 如图，A，D，E 三点在同一条直线上，且△BAD ≅ △ACE.
(1)请探究 BD，DE，CE 之间的数量关系，并说明理由.
(2)当△ABD 满足什么条件时，BD//CE？并说明理由.

10.(1)$BD=DE+CE$.
理由:$\because △ BAD ≌ △ ACE$,
$\therefore BD=AE,AD=CE$.
$\therefore BD=AE=AD+DE=CE+DE$,
即$BD=DE+CE$.
(2)当$△ ABD$满足$∠ ADB=90°$时,$BD// CE$.
理由:$\because △ BAD ≌ △ ACE$,
$\therefore ∠ E = ∠ ADB$.
$\because ∠ ADB=90°$,
$\therefore ∠ E=90°$.
$\because ∠ ADB+∠ BDE=180°$,
$\therefore ∠ BDE = 180° - ∠ ADB = 180° - 90° = 90°$.
$\therefore ∠ BDE = ∠ E$.
$\therefore BD// CE$.

【分析】
(1) 要探究BD、DE、CE的数量关系，首先结合已知的全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，得到BD与AE、AD与CE的等量关系，再结合A、D、E三点共线的条件，将AE拆分为AD与DE的和，通过等量代换即可得到三条线段的数量关系。
(2) 要推导BD//CE的条件，根据平行线的判定定理，需找到BD、CE被截形成的内错角相等的关系。结合全等三角形对应角相等的性质，可得∠E与∠ADB相等，再结合邻补角的性质，即可推出当∠ADB为90°时，内错角∠BDE与∠E相等，满足平行的判定条件。
【解析】
(1) $BD=DE+CE$，理由：
$\because △ BAD ≌ △ ACE$，
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$（全等三角形对应边相等）。
$\because$ A、D、E三点在同一条直线上，
$\therefore AE=AD+DE$，
代入等量关系得$BD=CE+DE$，即$BD=DE+CE$。
(2) 当$△ ABD$满足$∠ ADB=90°$时，$BD// CE$，理由：
$\because △ BAD ≌ △ ACE$，
$\therefore ∠ E = ∠ ADB$（全等三角形对应角相等）。
$\because ∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ E=90°$。
$\because ∠ ADB+∠ BDE=180°$（邻补角的和为$180°$），
$\therefore ∠ BDE = 180° - 90° = 90°$，
$\therefore ∠ BDE = ∠ E$，
$\therefore BD// CE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=DE+CE}$；
(2) 当$△ ABD$满足$\boldsymbol{∠ ADB=90°}$时，$BD// CE$。
【知识点】
全等三角形的性质；线段和差计算；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查全等三角形性质的灵活应用，解题时需要结合图形位置关系对全等的对应边、对应角做合理代换，结合线段和差、平行线判定的知识推导结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

11.如图,点A,B,C在同一条直线上,点E在BD上,且$△ ABD ≌ △ EBC$,AB=2 cm,BC=3 cm.
(1)求DE的长;
(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由;
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系,并说明理由.

11.(1)$\because △ ABD ≌ △ EBC$,
$\therefore BD=BC=3\ \mathrm{cm},EB=AB=2\ \mathrm{cm}$.
$\therefore DE=BD-EB=1\ \mathrm{cm}$.
(2)$AC ⊥ BD$.
理由:$\because △ ABD ≌ △ EBC$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBC$.
又 点A,B,C在同一条直线上,
$\therefore ∠ ABD + ∠ EBC=180°$.
$\therefore ∠ ABD=90°$.
$\therefore AC ⊥ BD$.
(3)直线AD与直线CE垂直.
理由:如图,延长CE交AD于点F.
$\because △ ABD ≌ △ EBC$,
$\therefore ∠ D = ∠ C$.
$\because ∠ ABD=90°$,
$\therefore ∠ A + ∠ D=90°$.
$\therefore ∠ A + ∠ C=90°$.
$\therefore ∠ AFC=90°$,即$CE ⊥ AD$.

【分析】
(1) 求DE的长度，首先利用全等三角形对应边相等的性质，先确定△ABD和△EBC的对应边：BD对应BC，EB对应AB，代入已知边长求出BD、EB的长度，再通过线段差$DE=BD-EB$计算即可。
(2) 判断AC与BD的位置关系，先由全等三角形对应角相等得到$∠ABD=∠EBC$，结合A、B、C三点共线可知$∠ABD+∠EBC=180°$，可推出$∠ABD=90°$，即可判定垂直关系。
(3) 判断AD与CE的位置关系，可延长CE交AD于点F，利用全等三角形对应角相等得$∠D=∠C$，再结合Rt△ABD中两锐角互余，等量代换得到$∠A+∠C=90°$，由此推出$∠AFC=90°$，即可判定两直线垂直。
【解析】
(1) $\because △ ABD ≌ △ EBC$，
$\therefore BD=BC=3\ \mathrm{cm}$，$EB=AB=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=BD-EB=3-2=1\ \mathrm{cm}$。
(2) $AC ⊥ BD$，理由：
$\because △ ABD ≌ △ EBC$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBC$，
又
∵点A,B,C在同一条直线上，
$\therefore ∠ ABD + ∠ EBC=180°$，
$\therefore ∠ ABD=90°$，
$\therefore AC ⊥ BD$。
(3) 直线AD与直线CE垂直，理由：
如图，延长CE交AD于点F。
$\because △ ABD ≌ △ EBC$，
$\therefore ∠ D = ∠ C$，
$\because ∠ ABD=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ D=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ C=90°$，
$\therefore ∠ AFC=90°$，即$CE ⊥ AD$。
【答案】
(1) $DE=1\ \mathrm{cm}$；
(2) $AC ⊥ BD$；
(3) 直线$AD ⊥ CE$。
【知识点】
全等三角形的性质，垂直的判定，平角的定义
【点评】
本题主要考查全等三角形性质的综合应用，解题的关键是准确找准全等三角形的对应边和对应角，结合平角、直角三角形的内角性质推导垂直关系，属于全等三角形应用的基础题型。
【难度系数】
0.7